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北京市东城区 2023-2024 学年度第二学期高三综合练习（二）
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 （选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得 ，易求 .
【详解】 ，
所以 .
故选：A.
2. 下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D，利用导数判断C选项的单调性.
【详解】对于A： 在定义域 上单调递增，故A错误；对于B： 在定义域 上单调递减，故B正确；
对于C： ，则 ，
当 时 ，所以 在 上单调递增，故C错误；
对于D： 在定义域 上单调递增，故D错误.
故选：B
3. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得： ，结合正弦定理运算求解.
【详解】由题意可得： ，
由正弦定理 可得 .
故选：D.
4. 已知双曲线 过点 ，且一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的方程为
（ ）
A. B.
C. D.【答案】A
【解析】
【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为 ，代入点 运算求解即可.
【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为 ，
设双曲线方程为 ，
代入点 ，可得 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A.
5. 直线 与圆 交于 ， 两点，若圆上存在点 ，使得 为等腰三角形，
则点 的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 的中点为 ，连接 、 、 ，即可求出 ，分析可知 为等边三
角形，即可得到点 在 的中垂线 与圆 的交点（ 上方），从而求出 点坐标.
【详解】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
设 的中点为 ，连接 、 、 ，则 ，且 ，
则 ，所以 ，则 ，即 ，若在圆上的点 使得 为等腰三角形，
若 （ 也类似），连接 ，则 ，
此时 ，则 ，所以 为等边三角形，
若 也可得到 为等边三角形，所以点 在 的中垂线 与圆 的交点（ 上方），
由 ，解得 或 ，所以可以是 .
故选：D
6. 袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同
时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分第一次从袋中摸出 个白球，一次从袋中摸出 个黑球两种情况可求解.
【详解】若第一次从袋中摸出 个白球，则放入 个白球，第二次摸出黑球的概率为 ，
若第一次从袋中摸出 个黑球，则放入 个黑球，第二次摸出白球的概率为 ，
故两次摸到的小球颜色不同的概率为 .
故选：B.7. 已知函数 与直线 交于 ， 两点，则 所在的区间为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 ，分 和 ，利用导数判断 的单调性，进而
可得函数 与直线 的交点，即可得结果.
【详解】不妨设 ，
因 ，
为
若 ，则 ，可得 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
即 与 有且仅有一个交点，且交点横坐标在 内；
若 ，则 ，可得 ，
当 ， ；当 ， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，则 ，
即 与 有且仅有一个交点，且交点横坐标为0；
综上所述： ，所以 .故选：B.
8. 已知平面向量 ， ， ， 是单位向量，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意不妨设 ，举反例结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为平面向量 ， ， ， 是单位向量，且 ，
不妨设 ，
若 ，例如 ，
满足 ，但 ，即充分性不成立；
若 ，例如 ，
满足 ，但 ，即 ，即必要性不成立；
综上所述：“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
9. 声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为
，其中 表示振幅，响度与振幅有关； 表示最小正周期， ，它是
物体振动一次所需的时间； 表示频率， ，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率 ：
音 宫 商 角 徵 羽
频率
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔 个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设
两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在
上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（ ）
A. 宫 B. 商 C. 角 D. 徵
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知： ，可得 ，结合题意分析判断即可.
【详解】由题意可知： ，可得 ，
则 ，
结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，
所以小明弹奏的音是“角”.
故选：C.
10. 设无穷正数数列 ，如果对任意的正整数 ，都存在唯一的正整数 ，使得
，那么称 为内和数列，并令 ，称 为 的伴随数列，则（
）
A. 若 为等差数列，则 为内和数列
B. 若 为等比数列，则 为内和数列C. 若内和数列 为递增数列，则其伴随数列 为递增数列
D. 若内和数列 的伴随数列 为递增数列，则 为递增数列
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得 ，结合单调性可得 ，
即可得结果.
【详解】对于选项AB：例题 ，可知 即为等差数列也为等比数列，
则 ，但不存在 ，使得 ，
所以 不为内和数列，故AB错误；
对于选项C：因为 ，
对任意 ， ，可知存在 ，
使得 ，
则 ，即 ，
且内和数列 为递增数列，可知 ，
所以其伴随数列 为递增数列，故C正确；
对于选项D：例如 ，
显然 是所有正整数的排列，可知 为内和数列，且 的伴随数列为递增数列，
但 不是递增数列，故D错误；
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 二项式 的展开式中常数项为 __________.(用数字作答)
【答案】60
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出 的指数为0的项即得.
【详解】二项式 的展开式的通项公式 ，
由 ，得 ，则 ，
所以二项式 的展开式中常数项为60.
故答案为：60
12. 若复数 满足 .则在复平面内， 对应的点的坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算求 ，再结合复数的几何意义分析求解.
【详解】因为 ，可得 ，
所以 对应的点的坐标是 .
故答案为： .
13. 设函数 ，则 ________，不等式 的解集是________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求 ；分 、 和 三种情况，
结合题中函数解析式分析求解.
【详解】由题意可知： ；
因为 ，
当 ，即 时，则 ，可得 ，不合题意；
当 ，即 时，可得 ，
解得 或 ，所以 ；
当 ，即 或 时，则 ，可得 ，符合题意；
综上所述：不等式 的解集是 .
故答案为：1； .
14. 如图，在六面体 中，平面 平面 ，四边形 与四边形
是两个全等的矩形. ， ， 平面 . ， ，
，则 ________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________.【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】建系，求相关点的坐标，结合空间中两点间距离公式求两点间距离，即可得结果.
【详解】因为 平面 ，且 平面 ，则 ，
且 ，即 两两垂直，
如图，以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ；
要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离，
则 ，
所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 .
故答案为： ；6.
15. 已知平面内点集 ，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合
， .
给出以下四个结论：
①若 ，则 ；
②若 为奇数，则 ；
③若 为偶数，则 ；④若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】先证明 ，得到①③正确，②错误，然后在 和 的情况下推
导出矛盾，从而得到 ，即④正确.
【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有 个向量 两两不相等.
这表明对任意 ， 当且仅当 ，有 .
的
将其转换为更通俗的语言就是：对于点 ， 当且仅当 是集合 里除了 以外的
点中到 的距离最短的点.
所以，对每个 ，显然存在另一个到 距离取到最小值的点 ，
则此时就有 ，从而 ，这就直接说明了 .
所以①③正确，②错误；
对于④，假设 ， .
由于 ，
故 两两不同，且对每个 ，点 都是 中除 外到 距离最短的点.
特别地， 都是到 各自的距离最短（不包括其本身）的点.
不妨设 ，并记 为点 ，
则 是到 各自的距离最短（不包括其本身）的点.
对两个不同点 ，记直线 的倾斜角为 .假设存在 使得 ，不妨设 ，
则 ，这与 是到 的距离最短（不包括 本身）的点矛盾.
所以 两两不相等，不妨设 .
由于 ， ，故 ， ，
所以 .
故 ，同理 .
而对 ，有 或 ，
故 .
所以 ，这意味着 ，矛盾.
这表明假设不成立，所以 ，④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大
小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，平面 平面
.（1）求证： ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，结合平面 平面 ，可得 平面 ，可证结论；
（2）延长 与 交于点 ，可证 ， ，所以 为平面 与平面 所
成角的平面角，求解即可.
【小问1详解】
为
因 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ；
【小问2详解】
延长 与 交于点 ，连接 ，则平面 平面 ，因为 ， ,
所以 是 的中点，又因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
的
所以 为平面 与平面 所成角 平面角，
在 中，因为 ，可得 ，
在 中，因为 ，可得 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知函数 的部分图象如图所示.（1）求 的值；
（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上的最大值和最
小值.
条件①：函数 是奇函数；
条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）2 （2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 ，即可得 的值；
（2）若选条件①：根据题意结合三角函数的奇偶性可得 ，以 为整体，结合正弦函数有界性
分析求解；若选条件②：根据题意结合图象变换可得 ，以 为整体，结合正弦函数有界性分析
求解；若选条件③：根据题意代入，结合正弦函数值的符号分析判断.
【小问1详解】
设 的最小正周期为 ，由题意可得： ，即 ，
且 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知： ，
若选条件①：函数 是奇函数，
且 ，则 ，
可得 ，解得 ，则 ，
又因为 ，则 ，
可知：当 ，即 时， 取到最小值 ；
当 ，即 时， 取到最大值 ；
若选条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 ，
且 ，则 ，
可得 ，解得 ，则 ，又因为 ，则 ，
可知：当 ，即 时， 取到最小值 ；
当 ，即 时， 取到最大值 ；
若选条件③：因为 ，即 ，
且 ，则 ，
可知 ，即 ，不合题意，舍去.
18. 北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为
非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口
为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：
行政区 东城区 西城区 朝阳区 丰台区 石景山区 海淀区 门头沟区 房山区
城镇人口（万人） 70.4 110 343.3 199.9 56.3 305.4 36.2 102.6
乡村人口（万人） 0 0 0.9 1.3 0 7 3.4 28.5
行政区 通州区 顺义区 昌平区 大兴区 怀柔区 平谷区 密云区 延庆区
城镇人口（万人） 137.3 87.8 185.9 161.6 32.8 27.9 34.9 20.5
乡村人口（万人） 47 44.7 40.8 37.5 11.1 17.7 17.7. 13.9
（1）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；
（2）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过
100万人的行政区的个数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
（3）记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为 ， ， .试判断 ， ，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意 的可能取值为 ， ， ， ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（3）根据极差判断 最小，再分别计算出 ， ，即可得解.
【小问1详解】
在16个行政区中有10个非中心城区，乡村人口在20万人以下的有门头沟区，怀柔区，平谷区，密云区，
延庆区，共 个；
所以随机选择一个行政区，则该区为非中心城区且乡村人口在20万人以下的概率 .
【小问2详解】
6个中心城区中常住人口超过100万人的有4个区，
10个非中心城区中常住人口超过100万人的有5个区，
则 的可能取值为 ， ， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：所以 .
【小问3详解】
，
由数据可知城镇人口的最大值为 ，最小值为 ，极差为 ；
乡村人口的最大值为 ，最小值为 ，极差为 ，
常住人口为城镇人口与乡村人口之和，最大值为 ，最小值为 ，极差为 ，
所以城镇人口的极差最大，乡村人口的极差最小，
所以乡村人口的方差 最小，
又城镇人口的平均数为 ，
常住人口的平均数为 ，
所以城镇人口的方差为 ，
常住人口的方差为
，
所以 .
19. 已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为A， ，直线
，且A到 的距离与A到 的距离之比为 .（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 为椭圆 上不同的两点（不在坐标轴上），过点 作直线 的平行线与直线 交于
点 ，过点 作直线 的平行线与直线 交于点 .求证：点 与点 到直线 的距离相等.
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）可知 ，根据题意求得 ，进而可得 ，即可得方程；
（2）设 ，求相应的直线方程，进而可得点 、 的横坐标，
对比分析即可证明.
【小问1详解】
由题意可知： ，
因为A到 的距离与A到 的距离之比为 ，即 ，解得 ，
可得 ，
所以椭圆 的方程 .
【小问2详解】
由（1）可知： ，
设 ， ，可知直线 ，
过点 作直线 的平行线为 ，
联立方程 ，解得 ，
即点 的横坐标为 ，
可知直线 ，
过点 作直线 的平行线为 ，
联立方程 ，解得 ，
即点 的横坐标为 ，
可知点 、 的横坐标相等，所以点 与点 到直线 的距离相等.
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；（2）求函数 在区间 上的极值点个数.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）求导，可得 ，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）换元令 ，构建函数 ，利用导数判断 在 内的单调性，结合
的奇偶性可知 在 内的单调性，进而可得 的单调性和极值点.
【小问1详解】
因为
则 ，
可得 ，
可知切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
令 ，则 ，令 ，
因为 的定义域为 ，且 ，可知 为偶函数，
因为 ，
若 ，则 ，
取 ，构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，
故 在 内存在唯一零点 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
对于 ，结合偶函数对称性可知：
在 内单调递减，在 内单调递增，
又因为 在定义域内单调递增，
由复合函数单调性可知：
在 内单调递减，在 内单调递增，所以 在区间 上的有2个极值点 ，极值点个数为2.
【点睛】方法点睛利用导数研究函数极值的方法
（1）若求极值，则先求方程 的根，再检查 在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程 在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 根的大小或存在情况来求解．
21. 已知 为有穷整数数列，若 满足： ，其中
， 是两个给定的不同非零整数，且 ，则称 具有性质 .
（1）若 ， ，那么是否存在具有性质 的 ？若存在，写出一个这样的 ；若不存在，请
说明理由；
（2）若 ， ，且 具有性质 ，求证： 中必有两项相同；
（3）若 ，求证：存在正整数 ，使得对任意具有性质 的 ，都有 中任意两项均
不相同.
【答案】（1）不存在具有性质 的 ，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给定义，设 ， ， ， 中有 个 ， 个 ，从而有
，推出矛盾；
（2）设 ， ， ， ， 中的最大值为 ，则存在 ，使得 或 ，若存在 ，
使 ，先证： ， ， ， 可以取遍 到 之间所有的整数，再对 分类讨论，即可得证；
（3）不妨设 ，根据性质 推导出 ，再利用反证法证明 中任意两项均不相同，即可得证.
【小问1详解】
不存在具有性质 的 ，理由如下：
设 ，由于 ， ，
设 ， ， ， 中有 个 ， 个 ，
则有 ，
所以 ，解得 ，与 为整数矛盾，
所以不存在具有性质 的 .
【小问2详解】
设 ， ， ， ， 中的最大值为 ，则存在 ，使得 或 ，
若存在 ，使 ，下证： ， ， ， 可以取遍 到 之间所有的整数，
假设存在正整数 使得 ， ， ， 中各项均不为 ，
令集合 ，设 是集合 中元素的最大值，
则有 ，
这与 矛盾，
所以 ， ， ， 可以取遍 到 之间所有的整数，
若 ，则 ， ， ， ， 的取值只能为 ， 中的数，
此时 ， ， ， ， 中必有两项相同，
若 ，则 ， ， ， ， 的取值只能为 ， ， 中的数，
此时 ， ， ， ， 中必有两项相同，若 ，则 ， ， ， ， 中一定有异于 和 的正整数，
再由 ， ， ， 可以取遍 到 之间所有的整数，
所以 ， ， ， ， 中必有两项相同，
当 ，同理可证： ， ， ， 可以取遍 到 之间所有的整数，
从而 ， ， ， ， 中必有两项相同.
【
小问3详解】
不妨设 ，当 ， ， ， 中恰有 个 ， 个 ，
由于 ，
所以取 ，此时 具有性质 ，
下证： 中任意两项均不相同，
若存在 使得 ，
令 ， ，
则有 ， ，
令 ， ，则有 且 ， ，
由于 ，则有 ，
若 ，则有 ，即 ，
当 时，有 ，从而 ，矛盾；
若 ，则有 且 ，
因此有 ， ， ， ，
所以此时 ， ，矛盾；综上所述，存在正整数 ，使得对任意具有性质 的 ，都有 中任意两项均不相同.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质 ”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键.
