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北京市房山区 2024-2025 学年高三下学期第一次综合练习
数学试卷
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，卷上作答无效.考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一
项.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 直线 与圆 交于 两点，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
5. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
6. 若 ，则 （ ）A. B. 41 C. D. 40
7. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
.
B 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体 ， 为棱 上一点，则
下列四个结论中错误的是（ ）
A. 平面
B. 八面体 的体积为
C. 的最小值为
D. 点 到平面 的距离为
9. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同
的
世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：
，其中 为种群起始个体数量， 为增长系数， 为 时刻的种群个体数量.当 时，
种群个体数量是起始个体数量的2倍.若 ，则 （ ）
A. 300 B. 450 C. 600 D. 75010. 已知数列 的各项均为正数，且满足 （ 是常数， ），则下列四个结论
中正确的是（ ）
A. 若 ，则数列 是等比数列
B. 若 ，则数列 是递增数列
C. 若数列 是常数列，则
D. 若数列 是周期数列，则最小正周期可能为2
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数 ，则 __________.
12. 已知 是等差数列，且 ，则 的通项公式 __________.
13. 已知 是抛物线 的焦点，则 的坐标为__________，设 是直线 上一点，直线
与抛物线 的一个交点为 ，若 ，则点 到 轴的距离为__________.
14. 若对任意实数 恒成立，则满足条件的一组 的值为
__________， __________.
15. 数学中有许多形状优美、寓意美好 的曲线，曲线 就是其中之一.设曲线 与
轴交于 两点，与 轴交于 两点，点 是 上一个动点，给出下列四个结论：
①曲线 关于 轴对称；
②曲线 恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 面积的最大值为1；
④ （ 为坐标原点）.其中正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面
积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
17. 如图，在长方体 中， 为 的中点， 与平面 交于点 .
（1）求证： 为 的中点；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的长度.
18. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入人们的日常生活，在教育领域， 赋能潜力巨大.为
了解某校学生对某款学习软件 的使用情况，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法随机抽取
了90名学生，获得数据如下：是否使用该款学习软件
男生 女生
使用 40人 30人
不使用 10人 10人
假设学生是否使用该款学习软件 相互独立.用频率估计概率.
（1）估计该校学生使用该款学习软件 的概率；
（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，记这3人中使用该习软件 的人数
为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）从该校所有学生中随机抽取1人，“ ”表示该生使用该款学习软件 ，“ ”表示该生不使
用该款学习软件 .假设该校一年级有200名男生和180名女生，从除一年级外其他年级学生中随机抽
取1人，“ ”表示该生使用该款学习软件 ，“ ”表示该生不使用该款学习软件 . 的
方差分别记为 ，试比较 与 的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆 的长轴长为4，一个焦点为 .
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）过点 且斜率存在的直线交椭圆 于 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 ？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数 在 处取得极值.
（1）求 的单调区间；
（2）设 ，求证：曲线 存在两条斜率为 且不重合的切线.
21. 设 为正整数，集合 ，对于集合 中2个元素
，若 ，则称 具有性质．记 为 中的最小值．
（1）当 时，若 ，判断 是否具有性质 ．如果是，求出
；如果不是，说明理由；
（2）当 时，若 具有性质 ，求 的最大值；
（3）给定不小于3的奇数 ，对于集合 中任意2个具有性质 的元素 ，求 的最大值．
