文档文本内容
北京市东城区 2024-2025 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，定义域为 的函数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在 的展开式中， 的系数为10，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯 的热红茶置于 的房间里，茶水的温
度 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数 的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
5. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零
的是（ ）
.
A B. C. D.
6. 已知 是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为 ，则 的公差可以为（ ）
A. B. C. 4 D. 3
7. 长度为2的线段 的两个端点分别在 轴及 轴上运动，则线段 的中点到直线 距
离的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
8. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，
分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表
十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱 和两根金柱 形
成的几何体 （图2）中， 米， ，则平面 与平面 所
成角的正切值约为（ ）A. B. C. D.
10. 已知集合 ， ，如果 有且只有两个元素，则
实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数 满足 ，则 __________.
12. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则
__________； __________.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上任意一点，且总有 ，则 的一个
值可以为__________.
14. 已知函数 ，若 的最小正周期为 ，则 __________；若存在，使得 ，则 的最小值为__________.
15. 已知数列 满足 ，且 .给出下列四个结论：
①若 ，当 时， ；
②若 ，当 时， ；
③若 ，对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；
④若 ，对任意负数 ，存在正整数 ，当 时， .
其中正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中 .
（1）求 的值及 的面积；
（2）求证： .
17. 如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形，平面 平面
.
（1）证明： 平面 ；
（2）已知点 到平面 的距离为 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下
表：
水稻 小麦
播种面积（千公 产量（万 播种面积（千公 产量（万
顷） 吨） 顷） 吨）
.
江苏省 2221 0 2003.2 2389.5 1373.5
浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4
华
安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7
东
地
福建省 601.1 394.6 0.1 0.0
区
江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5
山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8
.
辽宁省 500.5 412.9 2.0 0 8
东
北 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7
地
区 黑龙江
3268.5 2110.0 19.3 7.5
省
（1）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；
（2）从表1的9个省份中随机抽取2个，设 为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求
的分布列与数学期望；
（3）2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作
物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：
粮食 播种面积 新技术 粮食 播种面积 新技术
作物 （千公顷） 占比率 作物 （千公顷） 占比率
华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60
东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65.
华北地区. 小麦 3184 5 0.65 玉米 9564.7 0.60
记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占
比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为 .依据表2中的数据比较 的
大小.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ， 上的点 关于 轴
的对称点为 .设 为原点， ，过点 与 轴平行的直线交 于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在以 为直径的圆上，求 的值.
20. 设函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
的
（2）求不等式 解集；
（3）已知 ，其中 ，直线 的方程为 .若 ，且 ，求
证： .
21. 已知有限数列 满足 .对于给定的
，若 中存在 项满足 ，则称 有 项递
增子列；若 中存在 项满足 ，则称 有 项递减子列.当
既有 项递增子列又有 项递减子列时，称 具有性质 .
（1）判断下列数列是否具有性质 ；
① ；② .
（2）若数列 中有 ，证明：数列 不具有性质 ；
（3）当数列 具有性质 时，若 中任意连续的 项中都包含 项递增子列，求 的最大值.
