文档内容
2021-2022 学年北京市东城区汇文中学七年级（下）期中数学试卷
考试注意事项：
1、考生须诚信考试，遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管
理；
2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准
以任何理由离开考场；
3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答（作图可使用铅笔），不准用规定以外
的笔答卷，不准在答卷上作任何标记．考生书写在答题卡规定区域外的答案无效．
4、考试开始信号发出后，考生方可开始作答．
一．选择题（本题共10小题，共30分）
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据在第三象限的点的特征进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵第三象限的点特征是横坐标小于零，纵坐标小于零，
∴点 在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：
第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下面四个数中，无理数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：A、 是无理数，故本选项符合题意；
B、 是有理数，故本选项不符合题意；C、 是有理数，故本选项不符合题意；
D、 是有理数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 64的立方根是±4 B. ﹣ 没有立方根 C. 立方根等于本身的数是0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出每个选项中的数的立方根，再判断即可解答．
【详解】解：A、64的立方根是4，故此选项错误，不符合题意；
B、﹣ 的立方根是－ ，故此选项错误，不符合题意；
C、立方根等于本身的数是0和±1，故此选项错误，不符合题意；
D、 ，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的
立方根是0．
4. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果 ， ，那么
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行
线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
【详解】A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是
假命题，符合题意；
D、如果 ， ，那么 ，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角、平行线定理、不等式定理等，关键在熟练理解和掌握相关命题及定理；
5. 若不等式组的解集为－1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】把已知解集表示出数轴上即可．
【详解】解：若不等式组的解集为－1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是：
；
故选B．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
6. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解： 、不等式 的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
、不等式 的两边都减去3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式 的两边都乘 ，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式 的两边都除以5，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；故选： ．
【点睛】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
变．
的
7. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF 度数为（
）
A. 72° B. 60° C. 54° D. 36°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOE=144°，由邻补角定义求出∠AOC=180°-∠BOC=36°，
再根据垂直定义即可求出∠AOF的度数．
【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线、邻补角、角平分线的定义；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
8. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的
直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（
）A. 30° B. 20° C. 15° D. 14°
【答案】C
【解析】
【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图，∠2=30°，∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故选：C．
9. 如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为 ，北海北站的坐标为 ，则复兴门站的
坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知点坐标确定直角坐标系，即可得到答案．【详解】由题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则复兴门站的坐标为 ．
故选： ．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点坐标特点，由点坐标确定直角坐标系，由坐标系得到点坐标，属
于基础题型．
10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使
图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ）
A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步
【答案】B
【解析】
【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
【详解】解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，最下边的直线向
上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步．
∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步．故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连
线应该互相平行，另外使平移后成为三角形．
二．填空题（本题共8小题，共16分）
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根
的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
12. 如图，计划把河水引到水池A中，先作 ，垂足为B，然后沿 开渠，能使所开的渠道最短，
这样设计的依据是______．
【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【详解】解：∵连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿 开渠，能使所开的渠道最短，故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
13. 的平方根是____.
【答案】± ．
【解析】
【分析】利用平方根的定义求解即可．
【详解】 或 的平方等于 ．
故 平方根是± ．
故答案为± ．
【点睛】本题考查了平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个．
14. 把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“若…，则…”__．
【答案】若两直线平行，则同位角相等
【解析】
【分析】命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是
结论．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”可以改写成“若两直线平行，则同位角相等”，
故答案为：“若两直线平行，则同位角相等”．
【点睛】本题考查了命题的概念，掌握 命题写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是
题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键．
15. x的 与5的和不小于3，用不等式表示为______．
【答案】
【解析】【分析】“x的 ”为 ，“x的 与5的和”为 ，“不小于3”为“ ”列出不等式即可．
【详解】解：∵“x的 与5的和”表示为 ，“不小于3”为“ ”，
∴ 不等式表示为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查列一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次不等式的基本方法．
16. 在平面直角坐标系中，若点 到 轴的距离是3，则 的值是 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得 的值．
【详解】因为点 到 轴的距离是3，
所以 ，
解得 ．
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到
x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
17. 算法统宗 是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头
一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有 名和尚分 个馒头，正
好分完．如果大和尚一人分 个，小和尚 人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚 人，小和
尚 人，可列方程组为__________．【答案】
【解析】
【分析】根据大和尚人数+小和尚的人数=100人，大和尚一人分得的馒头个数+小和尚分得的馒头个数，列
出方程组即可．
【详解】根据题意得 .
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系列出方程组．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于平面内任意一点(x， y)，规定以下两种变化：
① f (x， y) (x， y) ．如 f (1， 2) (1， 2) ；
② g x， y x， 2 y．
根据以上规定：
（1） g 1， 2 （ ）；
（2） f g 2， 1 （ ）
【答案】 ①. （1，0） ②. （﹣2，3）
【解析】
【分析】（1）根据所给规定进行进行计算即可；
（2）根据所给规定进行进行计算即可．
【详解】解：（1）∵g（x，y）＝（x，2﹣y）
∴g（1，2）＝（1，2﹣2）＝（1，0）
故答案为：（1，0）
（2）∵g（2，﹣1）＝（2，3）且f（x，y）＝（﹣x，y）
∴f（g（2，﹣1））＝f（2，3）＝（﹣2，3）故答案为：（﹣2，3）
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是正确理解题目意思．
三．选择题（本题共10小题，共74分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键．
20. 解不等式： ．
【答案】x≤﹣2
【解析】
【分析】先去括号，再移项合并同类项，然后系数化为1求出解集即可．
【详解】解：去括号得：4x﹣2﹣5x+1≥1，
移项得：4x﹣5x≥1+2﹣1，
合并得：﹣x≥2，
系数化为1得：x≤﹣2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一
次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．解题的
关键在于系数化为1时，要注意系数的正负，是负数的话要记得变号．
21. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】将方程②进行变形，用代入法即可解答．【详解】解：
由②得： ③
把 代入 ①，得： ，
把 代入 ③，得： ，
∴方程组的解为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解题的关键是用代入消元法和加减消元法进行消元．
22. 解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为： ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】首先分别求解不等式，再根据不等式组的性质得到解集，结合数轴的性质作图，即可得到答案．
【详解】∵ ，
移项并合并同类项，得： ，
∵
去分母，得：
移项并合并同类项，得： ，
∴不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，
从而完成求解．
23. 完成下面的证明．已知：如图， 求证：
（_____）
即
_____//_____（_____）
（_____）
【答案】两直线平行，同位角相等； ； ；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．
【解析】
【分析】由平行线的性质得到 ，可推出 ，即可判定 ，由平行线的性
质得到 ，即可得解．【详解】证明： ，
两直线平行，同位角相等），
，
，
即 ，
（同位角相等，两直线平行 ，
，
，
（垂直的定义 ，
，
．
故答案为：两直线平行，同位角相等； ； ；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”及“同位角相等，两直
线平行”是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分别是 ，
，将三角形 平移，使点 与点 重合，得到三角形 ，其中点 ， 的对
应点分别为 ， ．
（1）画出三角形 ；（2）写出点 ， 的坐标；
（3）三角形 的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）先根据平移的性质画出点 ， ，再顺次连接点 ， ， 即可得；
（2）根据点 ， 在平面直角坐标系中的位置即可得；
（3）利用一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得．
【小问1详解】
解：如图，三角形 即为所求．
【小问2详解】
解：由图可知， ．
【小问3详解】
解：三角形 的面积为 ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平移作图、点的坐标、坐标与图形，熟练掌握平移作图的方法是解题关键．
25. 关于 的方程 的解是负数，求字母 的取值范围.
【答案】k＜−1
【解析】
【分析】解方程得出x＝k＋1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．
【详解】解：解方程得x＝k＋1，∵方程的解是负数，
∴k＋1＜0，
∴k＜−1．
字母 的取值范围为：k＜−1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注
意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
26. 如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析（2）①45°− α②∠DFC＝2∠BDF，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可；
（2）①根据余角的定义和角平分线的定义可得；
②根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可
得∠DFC＝2∠BDF．
【详解】（1）如图：
（2）①∵∠A＝90°，
∴∠ABC＝90°−∠C＝90°−α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ （90°−α）＝45°− α，故答案为45°− α；
②∠DFC＝2∠BDF，
证明：∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC．
∠ABD＝∠BDF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠DFC＝2∠BDF．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角
相等．
27. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京 年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进
了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
销售量 件
销售额
月份
元
冰墩墩 雪容融
第 个
月
第 个
月
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
【答案】此款“冰墩墩”玩具的零售价格为 元，“雪容融”玩具的零售价格为 元
【解析】
【分析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为 元，“雪容融”玩具的零售价格为 元，利用销售总额 销售
单价 销售数量，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为 元，“雪容融”玩具的零售价格为 元，依题意得： ，
解得： ．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为 元，“雪容融”玩具的零售价格为 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A，B，我们把A，B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差
的绝对值的和叫做A，B两点间的折线距离，记作d（A，B）．
即：如果A（ ， ），B（ ， ）．那么d（A，B）=| |+ |．
（1）已知A（2，1），B（-3，0），求出d（A，B）的值；
（2）已知C（2，0），D（0，a），且d（C，D）≤3，求a的取值范围；
（3）已知M（0，2），N（0，-3），动点P（x，y），若P，M两点间的折线距离与P，N两点间的折线
距离的差的绝对值是3，直接写出y的值并画出所有符合条件的点P组成的图形．
【答案】（1）6 （2）
（3）1或-2，图见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意给出的公式即可求出答案；
（2）根据题意给出的公式列出不等式组后即可求出a的取值范围；（3）根据题意给出的等量关系列出等式即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：由题意可知：d（A，B）=|2-（-3）|+|1-0|=5+1=6；
【
小问2详解】
解：∵d（C，D）=2+|a|≤3，
∴|a|≤1，
∴-1≤a≤1；
【小问3详解】
解：d（P，M）=|x|+|y-2|，d（P，N）=|x|+|y+3|，
由题意可知：||y-2|-|y+3||=3，
当y＜-3时，
等式的左边=5，此时不满足题意；
当-3＜y＜2时，
的
等式 左边=|2y+1|，
即|2y+1|=3，
解得：y=1或y=-2，
当y＞2时，
等式的左边=5，不符合题意，
综上所述，点P（x，1）或（x，-2），
如图所示．
．【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确理解题意给出的公式，本题属于中等题型．
