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北京市东城区 2024-2025 学年度第二学期高三综合练习（二）数学
2025.5
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】 ，且 ，
则 .
故选：A
2. 已知 ，则复数 的实部为（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简 ，再根据实部的概念求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以复数 的实部为 .
故选： .
3. 已知单位向量 的夹角为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 两边平方化简得 ，再根据向量夹角的范围即可求解.
【详解】因为向量 为单位向量，且 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，
因为向量 的夹角 ，
所以 .
故选：B.
4. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量
为 ，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以 为首项，
公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列，
设首项为 ，公比为 ，
则通项公式为 ，
第一轮参数为 ,
第二轮参数增加的数量为 ,第三轮参数增加的数量为 ,
第四轮参数增加的数量为 ，
第五轮参数增加的数量为 ,
所以第五轮训练的模型参数的数量为 ..
故选：C.
5. 若双曲线 的离心率大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的离心率公式计算即可.
【详解】由题， ，解得 .
故选：D.
6. 已知 下列选项中能使 既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数图象判断即可.
【详解】对于A选项：如图，不符，对于B选项：如图，符合，
对于C选项：如图，不符，
对于D选项：如图，不符，
故选：B.
7. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先验证充分性，由已知可得 或 ，即可知 之间的关系；再验证必
要性，根据 之间的关系，结合诱导公式即可判断.
【详解】充分性：因为 ，所以 或 ，
当 时， 或 ， ，
当 时，
或 ， ，可得 或 ，所以充分性不成立，
必要性：若 ，
当 为偶数时，设 ，则 ，
则 ，满足 ，
当 为奇数时，设 ，则 ，
则 ，满足 ，
所以必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 已知直线 过点 ，且 上至少有一点到点 的距离为2，则 的倾斜角的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，直线l与以 为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求
出直线倾斜角的范围即可.
【详解】以 为圆心，2为半径作圆C，如图所示，
依题意直线l与圆C至少有一个交点，①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角 ；
②当直线l的斜率存在时，设为 ，则 ，即
依题意 ，解得 或 ，
此时直线l的倾斜角
综上所述，直线l的倾斜角 ，
故直线l的倾斜角的最大值为 ．
故选：C.
9. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度 （单位：
）和燃料的质量 （单位： ）、飞行器（除燃料外）的质量 （单位： ）的函数关系是
.已知当该飞行器所处高空的音速为 ，最大速度对应的马赫数分别为8和13
时，燃料的质量分别为 和 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得 ， ，即可求解.
【详解】当马赫数为8时，速度 ，解得 ，即 ， ，
当马赫数为13时，速度 ，
解得 ，即 ， ，
所以 , .
故选：C.
10. 设无穷数列 满足 ，则（）
A. 存在 ， 为等差数列 B. 存在 ， 为等比数列
C. 存在 ， 为递减数列 D. 存在 ， 为递增数列
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，等差数列要求 为常数，即 恒定；对于B，等比数列要求 为常数，即
与 成比例；对于 C，递减数列需 ，但 时 ；对于 D，递增数列需
，结合 的范围分析其单调性.
【详解】选项A：若存在 ，数列 为等差数列，
则 （常数），即 对所有 成立，
则 必须满足 ，且 ，
唯一可能解为 ，此时 ，但 不包含端点，故A错误；选项B：若存在 ，数列 为等比数列，
则 （常数），即 ，即 ，
若 ，则 与 成正比，
由 的图象可知，无法保证 与 的变式速度相同；
若 ，则 ，仅当 时成立，但 ，故B错误；
选项C：若存在 ，则 ，数列 不是递减数列，故C错误；
选项D：若存在 ，数列为递增数列，
则 ，即 ，故 ，数列 递增，故D正确.
故选：D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 中， ， ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理即可求出sinA，结合三角形大边对大角的性质即可求出答案.
【详解】由正弦定理， ，则 ， ，且 ，即 ，故
.
所以本题答案为 .
【点睛】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题..
12 已知 ，则实数 _____
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得 的值.
【详解】因为
，
所以 ，
故 .
故答案为： .
13. 已知直线 与抛物线 在第一象限交于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为抛
物线的焦点 ，则 _____；若该抛物线的准线上的点到点 与点 的距离之和的最小值为 ，则
_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：先根据抛物线焦点坐标求出点 的坐标，进而求出直线斜率 ；空2：根据反射法将距离
之和进行转化，最后根据最小值求出 的值.
【详解】对于抛物线 ，其焦点坐标为 .
因为过点 作 轴的垂线，垂足为抛物线的焦点 ，所以点 的横坐标为 .
将 代入抛物线方程 ，可得 ，因为点 在第一象限，所以 ，即
.已知直线 过点 ，将点 的坐标代入直线方程可得 ，因为 ，两边同时除以
得 ；
当 时，已知 ，焦点 ，准线为 .
设焦点 关于准线 的对称点 ，则 .
因为 ，故其最小值为 ，
又 .
所以 ，可得 .
故答案为： ； .
14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个
形如直四棱柱 的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中 与平面 所成
的角均为 ， ， 米， 米， 米，则需要挖土_____立方米.【答案】
【解析】
【分析】根据条件得四边形 为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可.
【详解】因为 与平面 所成角均为 ，且 ,
所以四边形 为等腰梯形，
因为 ,
所以等腰梯形的高 ，
故 ，
所以直四棱柱体积 .
故答案为： .
15. 已知曲线 .给出下列四个结论：
①曲线 为中心对称图形；
②曲线 与直线 有两个交点；
③曲线 恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线 上任意两点 ， ，当 时， .其中正确结论的序号是_____.
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①，将假设曲线 的对称中心为 代入曲线 化简后通过对照系数，如果能求出 ，则说明曲线 为中心对称图形；对于②，联立方程求解即可；对于③，对方程进行变形，通过
分析可知 必须为整数，故 或 ，对应的整数点有两个；对于④， 三点共线时取得
最小值，因此先求出 的取值范围即可判断④.
【详解】对于①，假设曲线 的对称中心为 ，将对称点 代入原方程：
，
整理得 ，
与原方程比较系数，有 ，解得 ，
说明曲线 关于点 对称，故①正确；
对于②，联立 与 ，
消去 并整理可得 ，此时 ，
故曲线 与直线 有一个交点 ，故②错误；
对于③，当 时，原方程不成立，故曲线 可变形为 ，
若横、纵坐标均为整数，则 必须为整数，故 或 ；
当 时， ，当 时， ，
故曲线 恰好经过两个整点 和 ，故③正确；
对于④，由③可知 ，因为 ，
令 ， ， ，
，
当且仅当 即 时等号成立，
同理 ，
由①知曲线 关于点 成中心对称，所以当 和 都最小时， 三点共线，
此时 最小，所以 ，故④错误.
故选：①③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，长方体 的底面 是正方形， ， ，点 在棱 上，
平面 .
（1）求证： 为 的中点；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理 平面 得出 即可得证；
（2）求出平面 与平面 两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值.
【小问1详解】
连接 ，
因为底面 是正方形，所以 是 的中点，点 在棱 上，因为 平面 ， 平
面 ，
且平面 平面 ，所以 ，所以 为 的中点.
【小问2详解】
如图，以 为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴，建立空间直角坐
标系，设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17. 已知函数 .
（1）若 的最小值为 ，求 的值；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数 存
在且唯一，求 在区间 上的取值范围.
条件①： 的图象关于 和 对称；
条件②： 在区间 上单调，且 的图象关于点 对称；
条件③： 的最小正周期 ，且 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为 ，根据三角函数的性
质可得最小值，即可求解；
（2）由 ，即可求解 ，可得 ；若选择条件①：由已知可得 ，
，求解函数 的对称轴，将 和 代入可知函数 存在且不唯一；若选择条
件②：根据单调区间可得 ，将点 代入 ，可得 ，根据 的范围即
可求解 ，根据 的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由 可知
，再根据 可知 或 ，结合 的范围即可
求解 ，根据 的范围结合三角函数的图象与性质即可求解.
【
小问1详解】
，
因为 的最小值为 ，所以 ，所以 ；
【小问2详解】因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
若选择条件①：函数 的图象的对称轴为 ，
所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，故 ，且 ，对应的 满足题意，
所以函数 存在且不唯一；
若选择条件②：因为 在区间 上单调，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 的图象关于点 对称，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，此时当 时， ，故 在 上单调减，故 符合题设要求.
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
若选择条件③：因为 的最小正周期 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，因为 ，所以 ，此时 ，
当 时， ，因为 ，所以不存在满足不等式的 ，此时 无解，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
18. 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.（1）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
（2）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为 （单位：
摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为 （单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周
期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中 的概率；
（3）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不能预测，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可；
（2）先确定满足 的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解；
（3）根据图表中数据的特点分析即可.
【
小问1详解】
由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022，
所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为 ；
【小问2详解】
由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为，
满足 的有 个，
从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中 的概率为
；
【小问3详解】
不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下：
从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是
随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度.
19. 已知椭圆 的一个顶点为 .且过点 .
（1）求椭圆 的方程及焦距
（2）过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 .直线 的斜率分别记为 与 ，当
时，求 的面积.
【答案】（1）椭圆方程 ，焦距为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆过顶点 和点 构造方程求得 ，由此可得椭圆方程；
（2）设过点 的直线为 ，与椭圆 方程联立可得韦达定理的形式，由 解得，再由弦长公式求 以及点 到直线 的距离 ，最后求 即可.
【小问1详解】
由题意，因为椭圆 的一个顶点为 ,且过点 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ，焦距为 .
【小问2详解】
设过点 的直线为 ， ，
由 ，化简得 ，
则 ，即 ，
所以 ，
即 ，
则 ，
所以直线方程为 ， ，
故 ，且点 到直线 的距离 ，
所以 .
20. 设函数 ，其中 .
（1）当 时，求 的零点：
（2）当 时，证明：
（i）1为 的极小值点；
（ii）对于任意 ，存在 ，使得曲线 在点 处 切线斜率与在
的
点 处的切线斜率互为相反数.
【答案】（1）1 （2）（i）证明见解析
（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知函数解析式，直接令函数等于0，即可求得结果；
（2）（i）利用极小值定义即可证明结论；
（ii）先根据题干得到 ，令函数 ，求
得其在区间 上的值域，再令函数 ，求其在区间 上的值域，有交集即
可证明结论.【小问1详解】
已知 ，定义域为 ，令 ，
则 ，解得 （舍去）或 （舍去）或 ，故 的零点为1.
【小问2详解】
（i）当 时，函数 ，定义域为 ，
，则 ，
当 时， 所以 ，
故 在区间 上单调递减，
当 时， 所以 ，
故 在区间 上单调递增，
因为 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故1为 的极小值点.
（ii）已知 ，
故曲线 在点 处 的切线斜率为 ，
在点 处的切线斜率为 ，
因为 与 互为相反数，所以 ，
令 ， ，
则 ，当 时， 单调递增，且 ，
根据零点存在定理可知：存在 ，使得 ，
故函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且 ，故函数 在区间 上的值域为 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， 单调递减，且 ，
故 时， 恒成立，所以函数 在区间 单调递减，
故 的值域为 ，
因为当 时， ，
所以 是 的子集，
故对于任意 ，存在 ，使得曲线 在点 处的切线斜率与在点
处的切线斜率互为相反数.
21. 已 知 有 穷 整 数 数 列 ， 满 足 . 记 集 合 为
，或 ，或 ， .若数
列 ，则称数列 是 的“恒元”.（1）已知数列 ，请写出 中所有满足 的数列；
（2）当 时，是否存在数列 满足 ，且 是 的“恒元”?若存在，请写出一个满
足条件的数列 ；若不存在，请说明理由；
（3）当数列 是 的“恒元”时，若 是 个连续正整数的一个排列，求数列 的项数 的
最大值.
【答案】（1） ； ； ； .
（2）不存在，理由见解析；
（3）7
【解析】
【分析】（1）分析得 ，再写出满足题意的数列即可；
（2）假设存在满足条件的数列 ，则分析有 是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明
不存在；
（3）首先分析得当 时，有 ，再分 和 讨论即可.
【小问1详解】
因为数列 ，所以 中的数列满足 ．因为 ，
所以 中所有满足 的数列有
； ； ； .
【小问2详解】
假设存在满足条件的数列 ，
则满足 ，有 ，或 ，或 ．
所以 与 同为奇数或同为偶数．
所以 是偶数．所以 是偶数．
又 是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列 ．
【小问3详解】
当数列 是 的“恒元”时，
因为数列 中， 是 个连续正整数的一个排列，
所以当 时，有 ，且至多一项为1．
不妨记 ，所以 ，且 ．
当 时， .
当 时，有 .
此时 ，或 ．
又 ，所以 ， ，或 ， ．
①当 时，有 ，或 ，所以 ，或者 ．
当 时，有 ， ， ， ，
所以 ， ， .
因为 ， ，所以 ．所以 ．
当 时，有 ， ， ， ，所以 （舍）．
②当 时，有 ，或 ，所以 ，或者 ．
当 时，有 ， ， ， ，所以 ， ， ,
所以 ．
当 时，有 ， ， ， ，
所以 ．所以 （舍）．
又由于数列 和 满足条件．
综上所述， ．
