四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试数学答案_2025年4月_250413四川省雅安市2024-2025学年高三下学期第二次诊断性考试（全科）

雅安市高中2022级第二次诊断性考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.C 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.D 8.B
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9.ACD 10.ABD 11.ABC
（11题解析）将所有两位素数列表如下：
1 3 7 9
第一句：甲不知道说明不是97，A选项正确；
1 11 13 17 19
2 23 29
第二句：乙笃定甲不知道，说明个位数不是7，排除17，37，47，67，
3 31 37 第三句：甲回答还是不知道，说明十位数不是3，6，排除31，61，B
4 41 43 47
选项正确；
5 53 59
6 61 67
第四句：乙仍然笃定刚才甲不知道，说明个位数不是1，
7 71 73 79 第五句：甲回答知道了，说明该素数十位所在行划去1，7列后剩唯一
8 83 89
素数，只有43满足条件，C选项正确，D选项错误.
9 97
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
x2 y2
12.  1 13.135 14.10或4049
100 36
（注：第14题，若只填写10或只填写4049，给3分）
四、解答题(本大题共5小题，共77分）
12345678910
15.解：（1）（i）x   5.5 ………2分
10
10
y
i 355.03
y  i1  35.503 ………4分
10 10
10
（ii）因为x2 10x2 385105.5 2 82.5 ………6分
i
i1
10
x xy y
i i 594.495
所以b  i1   7.206 ………8分
10 82.5
x2 nx2
i
i1
因此aˆ ybx 35.5037.2065.54.13 ………9分
故yˆ 7.206x4.13 ………10分
（2）不合理. ………11分
当x180时，y的值高达千亿，显然不符合实际情况，误差非常大，所以不合理.
………13分
注：用其他x的值计算后指出误差较大，给满分；
用自然语言说明建立的模型自变量的取值范围决定了模型的适用范围，通常不能超出太多，
否则会出现较大的误差，给满分；
用自然语言说明结合生活实际，应建立非线性回归模型（不必指出具体模型），给满分.
16.（1）由正弦定理和二倍角公式得sinA2sinCcosC  3sinCsinA， .............4分
3
因为在三角形中sinA0，sinC 0，所以cosC  ，
2
数学参考答案第1页/共4页
{#{QQABRYwAogigAhBAAAgCQw2SCAAQkAACCYoOgAAUIAABQRFABAA=}#}
又C(0,)，所以C  . ..............6分
6
1 1
（2）由面积公式可得S  absinC  a，
ABC
2 4
a b
又由正弦定理  ，
sinA sinB
 3 1
sin(B ) sinB cosB
可得a sinA  6  2 2  3  1 ， ................9分
sinB sinB sinB 2 2tanB
1 3 1 3 1
所以S  (  )  ，
ABC
4 2 2tanB 8 8tanB
 
0 A
 2  5 



0 B
 
因为锐角三角形中，0B ，所以 6 2 ，解得 B ， ...........12分
 2  0B  3 2

 0C  2
  2
1 3
所以tanB 3，所以0  ，
tanB 3
3 3
所以S ( , ). ..............15分
ABC
8 6
17.（1）当a0,b1时， f xlnxx，其定义域为0,，
1 x1
 fx 1 …………………………………..2分
x x
令 fx0，得x1，
当0 x1时， fx0，当x1时， fx0
 f x的单调减区间为0,1，单调增区间为1,
f x的极小值为 f 11，无极大值. …………………………………..6分
（2）当b0时， f xaex lnxx0，
1
 fxaex  ，
x
1 1
令g(x)aex  ，则g'(x)aex  0，
x x2
g(x)在(0,)上单调递增，即y f'(x)在(0,)上单调递增 ……..9分
1 1  1 
当x0时， fx， f  aea aaea 10
a  
1
x 0,使得 fx aex 0  0，
0 0 x
0
当0 x x 时， f'(x)0， f(x)在(0,x )上单调递减；
0 0
当x x 时， f'(x)0， f(x)在(x ,)上单调递增 ……..11分
0 0
 f x在xx 处取得极小值，也是最小值，最小值为
0
1 1
f x aex0 lnx  lnx  x lna2lna ，
0 0 x 0 x 0
0 0
1
当且仅当x  即x 1时等号成立，
o x o
0
 f x2lna． ……………………… ………………..15分
数学参考答案第2页/共4页
{#{QQABRYwAogigAhBAAAgCQw2SCAAQkAACCYoOgAAUIAABQRFABAA=}#}18.（1）过B作BH  AC，交AC 于H ，
因为平面ABC 平面ACD，平面ABC平面ACD  AC，BH 平面ABC，
所以BH 平面ACD ………………………………………………..2分
又CD平面ACD，所以BH CD．
又因为BC CD ，BH BC B，BH 平面ABC，BC平面ABC,
所以CD平面ABC． ………………………………………………..4分
又AB平面ABC，所以CD AB． …...…………………………………… ……..5分
（2）由（1）得CD AB，又BD AB，CDBDD ，CD,BD平面BCD，
所以AB平面BCD，
以B为原点，过B作BD的垂线为x轴，BD、BA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直
角坐标系Bxyz， …...…………………………………………..6分
因为AD2BC 2CD4，
故 BD BC2 CD2  2 2,AB AD2 BD2  2 2 ，
所以B0,0,0,A  0,0,2 2  ,C  2, 2,0  ,D  0,2 2,0  …………………..7分
 
   
所以AC  2, 2,2 2 ,CD  2, 2,0 ．
 
 nAC 0
设平面ACD的法向量为nx,y,z，则有  ，
nCD0
  2x 2y2 2z0 x y2z0
即 ，即 ， …………………..8分
  2x 2y0  x y0

令z1，则x y1，即平面ACD的一个法向量为n1,1,1． …………………..9分
  3
设在线段BD上存在一点E使得BE BD,且此时直线CE与平面ACD所成角的正弦值为 ，
3
    
 
CE BEBC BDBC   2,2 2 2,0 …………………..10分
 
  CEn  22 2 2 3
则 cos CE,n      ，
CE n  2 3
2 2 2 2  3
1 3
解得 ，即在线段BD上存在一点E使得直线CE 与平面ACD所成角的正弦值为 ，
2 3
BE 1
且  . …………………..12分
BD 2
（3）6条棱中任选2条，共有C2 15种情况，其中相互垂直的棱有5对：
6
5 1
ABBC,ABCD,ABBD,AC CD,BC CD ，故P   ； ………..13分
1 15 3
数学参考答案第3页/共4页
{#{QQABRYwAogigAhBAAAgCQw2SCAAQkAACCYoOgAAUIAABQRFABAA=}#}4个面任选2个面，共有C2 6种情况，其中相互垂直的面有3对：
4
3 1
平面ABC 平面BCD，平面ABC 平面ACD，平面ABD平面BCD，故P   ．
2 6 2
………..14分
任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有C1 4种情况，
4
再从不在此面上的3条棱中选1条，有C1 3种情况，故共有C1C1 12种情况，
3 3 4
其中满足垂直关系的有2种，分别为平面BCD和棱AB，平面ABC和棱CD，
2 1
故P   ， ………..16分
3 12 6
所以P P P ． ………..17分
3 1 2
19.（1）解法1：设在P处的切线方程为y y kxx ，与：y x2联立得：
0 0
x2 kxkx y 0，由题意，该方程的判别式k2 4kx  y 0 ………2分
0 0 0 0
因为P在抛物线上，所以y x2，代入上式得k2 4kx 4x2 k2x 20
0 0 0 0 0
1
所以k 2x ，切线方程为y y 2x xx ，整理得 y  yx x，即证 ………4分
0 0 0 0 2 0 0
解法2：对二次函数yx2求导，得：y2x，所以在点P处的切线斜率k 2x ………2分
0
1
所以切线方程为y y 2x xx ，整理得 y  yx x，即证. ………4分
0 0 0 2 0 0
（2）（i）令E  x，x2，F  x，x2，G  x，x2，则切线CE ，CF ， AB 的方程分别为：
1 1 2 2 3 3
1 x2  y  xx， 1 x2  y  x x ， 1 x2  y  x x
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x x x x x x
分别联立，解得x  1 2 ，x  1 3 ，x  2 3 ………7分
c 2 A 2 B 2
x x
2 1
所以 EC  x C x E  2  x 2 x 1 ………9分
CA x x x x x x
A C 3 2 3 2
2
x x x x
2 1 2 1
同理： CF  2  x 2 x 1 ， AB  2  x 2 x 1 ，故 EC  CF  AB ………10分
FB x x x x BG x x x x CA FB BG
3 2 3 2 3 2 3 2
2 2
EC CF AB x x
注：也可解出y ，y ，y ，进一步解出    2 1
c A B CA FB BG x x
3 2
EC CF AB x x
（ii）由（i）：令    2 1
CA FB BG x x
3 2
S S S S S S S S
1 AEG ABC CEF BGF  AEG  CEF  BGF 1 ………13分
S S S S S
2 ABC ABC ABC ABC
12
 1 1
    1 ………15分
 1  1
 3 32 31  3 1  2   22 2
 
1 1
2 ………17分
S
注：指出 1 2，给2分.
S
2
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{#{QQABRYwAogigAhBAAAgCQw2SCAAQkAACCYoOgAAUIAABQRFABAA=}#}