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北京市东城区 2024-2025 学年度第二学期高三综合练习（一）
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求得集合 ，进而可求 .
【详解】由 ，可得 ，解得 或 ，
所以 或 ，所以 .
故选：C.
2. 下列函数中，定义域为 的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.
【详解】对于A，要使得根号下有意义，则 ，即定义域为 ，故A错误；对于B，要使得对数有意义，则真数 ，即定义域为 ，故B正确；
对于C，由指数函数的定义可知其定义域为 ，故C错误；
对于D，要使得正切函数有意义，则 ，即定义域为 ，故D错误；
故选：B.
3. 在 的展开式中， 的系数为10，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】写出二项式通项，令字母因数部分指数为3即可求解.
【详解】因为 的通项为 ，
令 ，解得 ，
则 ，解方程得： .
故选：D.
4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯 的热红茶置于 的房间里，茶水的温
度 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数 的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】对于A，由 ，结合函数的单调性可得 ，可判断A；结合A，以
及BCD的条件逐项计算判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为图象是上凹函数，所以 ，即 故A正确；
由A知 ，使 ，则 ，即 ，
由 ，则 ， ，故无法判断 ， 的大小关系，故B错误；
由A知 ，使 ，可得 ，结合 ，可得
，
由 的单调递减可得 ，故 ，故C错误；
由A知，存在 ，使 ，可得 ，
故存在 ，使 ，由函数的单调性可知 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，故D错误.
故选：A.
5. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得到 ，利用诱导公式和倍角公式得到 AB错误，C正确，举出反例得到D
错误.
【详解】由题意得 ，
A选项， ，A错误；
B选项， ，B错误；
C选项， ，C正确；
D选项， ，若 ，此时 ，D错误.
故选：C
6. 已知 是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为 ，则 的公差可以为（ ）
A. B. C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】【分析】由题意可得 只能是常数数列或单调递增数列，结合 中的三项为 ，可求得公差
的可能值.
【详解】因为 是各项均为正整数的无穷等差数列，所以 只能是常数数列或单调递增数列，
若 中的三项为 ，则它们在数列中的位置只能是 排在前， 排在后，
由 ， ，由 同时是公差的倍数，
所以公差可以为 .
故选：C.
7. 长度为2的线段 的两个端点分别在 轴及 轴上运动，则线段 的中点到直线 距
离的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】确定 的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设 ，
由题意可得： ，
设 的中点坐标为 ，则 ，
所以 ，即线段 的中点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
圆心 到 的距离为： ，
所以线段 的中点到直线 距离的最小值为 ，
故选：A8. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据 、 分别有 、 ，结合基本不等式有 ，
再根据推出关系判断条件间的关系.
【详解】由 ，则必有 ，
由 ，则 ，可得 ，
又 ，根据基本不等式有 ，
若 且 ，则有 ，即 是 的充分条件，
若 ，则 ，此时满足 ，但 不成立，
所以 是 的非必要条件，
综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
9. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，
分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表
十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱 和两根金柱 形
成的几何体 （图2）中， 米， ，则平面 与平面 所
成角的正切值约为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若平面 平面 ， 是 的中点，连接 ，从而得到 是平面
与平面 所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值.
【详解】若平面 平面 ，则平面 与平面 所成角，即为平面 与平面
所成角，
由题意有 ，即 是等腰三角形，腰长约为8米， ，易知
，
若 是 的中点，连接 ，则 ，且 平面 ，
由 平面 ，则 ， 都在平面 内，
所以 平面 ，则 是平面 与平面 所成角的平面角，
其中 ， ，则 .故选：B
10. 已知集合 ， ，如果 有且只有两个元素，则
实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析出曲线 表示的是双曲线 在 轴上及上方的所有点，再分情况讨论当
取不同值时， 表示的不同曲线，及与曲线 的交点个数情况即可得到结果.
【详解】因为 有且只有两个元素，
所以曲线 与 有且只有两个交点.
对于曲线 变形可得 ，
表示的是双曲线 在 轴上及上方的所有点，
对于曲线 ，
（1）当 时，如图所示， 表示的是一条直线 ，
与 交于 ， 两点，符合题意；（2）当 时， ，与 至多有一个交点，不符合题意；
（3）当 时， 表示的是两条射线，
，
①当 时， 表示的是
和 两条射线，
与 仅有 一个交点，
如下图所示，所以 不符合题意；
②当 时， 与 轴的交点为 ， ，
且 的斜率 ， 的斜率 ，
而双曲线 的两条渐近线为 ，斜率分别为 和 ，
所以 与 的左右两支各有一个交点，
如下图所示，所以 符合题意；③当 时， 与 轴的交点为 ， ，
且 的斜率 ， 的斜率 ，
而双曲线 的两条渐近线为 ，斜率分别为 和 ，
所以 与 的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示，所以 符合题意；
综上，实数 的取值范围为 .
故选：D
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数 满足 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】应用复数除法的几何意义及模长求法求结果.
【详解】由题设 ，则 .故答案为：
12. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则
__________； __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据网格写出向量 的模，再平移向量 求出 与 的夹角的余弦值，应用向量的数量
积公式求解即可.
【详解】平移向量 与 共起点，易看出 的夹角为 ，
；
， ， ，
的夹角的余弦值 ， 的夹角为 ，
.故答案为： ； .
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上任意一点，且总有 ，则 的一个
值可以为__________.
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据抛物线性质有 ，结合已知得 ，即可得.
【详解】由抛物线的性质知 ，又 ，即 .
所以 的一个值可以为2.
故答案为：2（答案不唯一）
14. 已知函数 ，若 的最小正周期为 ，则 __________；若存在
，使得 ，则 的最小值为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由正弦型函数的最小正周期公式可求 ，由题意可得 为函数的最大值或最小值，
由题意可得 或 ，可求 的最小值.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，又 ，所以 为函数的最大值或最小值，
要使 最小，则最大值与最小值应在同一个周期内，
由 ，则 ，
则 或 ，解得 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：① ；② .
15. 已知数列 满足 ，且 .给出下列四个结论：
①若 ，当 时， ；
②若 ，当 时， ；
③若 ，对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；
④若 ，对任意负数 ，存在正整数 ，当 时， .
其中正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】先根据 构造新数列 是首相为 ，公比为 的等比
数列，得出 ，再构造新数列 是首相为 ，公比为 的等比
数列，从而求出数列 的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取 即可判断错误；对于③，求解不等式 ，利用放缩法找到正整数 即可；对于④，求解不等式 ，利用放
缩法找到正整数 即可.
【详解】因为 且 ，所以 ，
所以 是首相为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，又 ，
所以 是首相为 ，公比为 的等比数列，所以 ，
即 ，
对于①，若 ，当 时，
，
当 且为奇数时， ；
当 且为偶数数时， ；
综上 ，即 ，故①正确；
对于②，若 ，取 ，则 ，故②错误；
对于③，若 ，则 ，
对任意正数 ，由 得 ，所以 ，又 ，
当 时上式一定成立，即 ，
故存在正整数 ，当 时， ，故③正确；
对于④，若 ，则 ，
对任意负数 ，由 得 ，
所以 ，又 ，
当 时 成立，即 ，
故存在正整数 ，当 时， ，故④正确；
故答案为：①③④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中 .
（1）求 的值及 的面积；
（2）求证： .
【答案】（1） ， ；
（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）由正弦值得 ，再应用余弦定理列方程求得 ，最后应用三角形面积公式求面
积；
（2）由（1）及二倍角余弦公式得 ，再应用余弦定理求得 ，结合三角形内角的性质
即可证.
【小问1详解】
在 中 ,所以 是锐角，.
由 ，可得 ，而 ，
所以 ，
可得 ，则 ，
故 ；
【小问2详解】
由（1）易知 ，则 ，
由（1）及余弦定理有 ，
所以 ，又 ，则 .
17. 如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形，平面 平面
.（1）证明： 平面 ；
（2）已知点 到平面 的距离为 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的长.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析；
（2）所选条件见解析， .
【解析】
【分析】（1）由题设得 ， ，应用线面平行的判定证明 平面 ， 平
面 ，再由面面平行的判定及性质证明结论；
（2）根据已知证明 ， ， ，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点
面距，列方程求 的长.
【小问1详解】
由四边形 为平行四边形，则 ，又 ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，同理 平面 ，
由 ， 都在平面 内，则平面 平面 ，
平面 ，则 平面 ；【小问2详解】
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ， ，
选条件①： ， 都在平面 内，则 平面 ，
平面 ，则 ；
选条件②：由 ， ， ，
则 ，又 ，故 ，
所以 ，则 ，
综上， ， ， ，
以 为原点， 为 的正方向建立空间直角坐标系 ，
所以 ，令 ，则 ，
故 ， ，
令 是平面 的一个法向量，则 ，
取 ，则 ，
由题设 ，可得 ，所以 .
18. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下
表：
水稻 小麦
播种面积（千公 产量（万 播种面积（千公 产量（万
顷） 吨） 顷） 吨）
江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5
浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4
华
安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7
东
地
福建省 601.1 394.6 0.1 0.0
区
江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5
山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8
辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8
东
北 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7
地
区 黑龙江
3268.5 2110.0 19.3 7.5
省
（1）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；
（2）从表1的9个省份中随机抽取2个，设 为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求
的分布列与数学期望；
（3）2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作
物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：
粮食 播种面积 新技术 粮食 播种面积 新技术
作物 （千公顷） 占比率 作物 （千公顷） 占比率
.
华东地区 水稻 9456.7 0 70 小麦 9425.1 0.60
东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65
华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60
记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为 .依据表2中的数据比较 的
大小.（结论不要求证明）
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析， ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）应用古典概型的概率求法求华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率；
（2）由题意 可能值为 ，应用超几何分布的概率求法求概率，即得分布列，进而求期望；
（3）根据表格分别求出各地区作物新技术占比率，比较大小即可.
【小问1详解】
由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少，
所以华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率 ；
【小问2详解】
由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林，
其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个，
水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数 可能值为 ，
， ， ，
分布列如下，
0 1 2
所以 ；【小问3详解】
由表格知 ， ，
，
.
所以
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ， 上的点 关于 轴
的对称点为 .设 为原点， ，过点 与 轴平行的直线交 于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在以 为直径的圆上，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆 过点 可求出 ，由离心率为 及椭圆中 ，可求得
，即可得到椭圆方程；
（2）先由条件得到 的坐标，再得到过 的直线方程，代入双曲线得到 的坐标，进而得到以
为直径的圆的方程，再利用点 既在圆上，又在椭圆上，化简整理即可求出 的值.
【小问1详解】
因 为椭圆 过点 ，
所以 ，即 .因为椭圆的离心率为 ，所以 ， ，
又因为椭圆中 ，代入可得 ，
解得 ，所以椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
如图所示，因为 关于 轴的对称点为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
的
所以过点 与 轴平行 直线为 ，
将直线 代入椭圆方程 ，
可得 ，即 ，
所以 ， ，
所以以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为 ，
因为点 在圆上，所以 ，
即 ，又因为点 在椭圆上，所以 ，即 ，
代入 可得 ，
化简后可得 ，解得 或 （舍），
所以 .
20. 设函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求不等式 的解集；
（3）已知 ，其中 ，直线 的方程为 .若 ，且 ，求
证： .
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，结合已知求参数值；
（2）导数研究函数的单调性，结合函数的零点求不等式的解集；
（3）问题化为 且 上 恒成立，即判定证明 、 在 上单
调递增即可证.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，而 ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，
所以 ，即为 ，则 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，则 ，
令 ，则 ，
当 ， ， 在 上单调递减，
当 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，故 在R上单调递增，且 ，
所以 的解集为 ；
【小问3详解】
由（2）知 在R上单调递增，要证 ，即证 ，
由 且 ，即证 ，
由 ， ，则 且 ，
所以 且 上，证明 ，即 恒成立，
所以，只需证 在 上单调递增，且增长速度逐渐变快，
由（2） ， 、 在 上均单调递增，
所以 且 上， 恒成立，故 ，得证.
21. 已知有限数列 满足 .对于给定的，若 中存在 项满足 ，则称 有 项递
增子列；若 中存在 项满足 ，则称 有 项递减子列.当
既有 项递增子列又有 项递减子列时，称 具有性质 .
（1）判断下列数列是否具有性质 ；
① ；
② .
（2）若数列 中有 ，证明：数列 不具有性质 ；
（3）当数列 具有性质 时，若 中任意连续的 项中都包含 项递增子列，求 的最大值.
【答案】（1）数列①具有性质 ，数列②不具有性质
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据性质 判断即可；
（2）利用反证法，假设数列 具有性质 ，则数列 中存在 项递增的数列 和 项递减数列 ，
分析可知，存在 在 中恰出现一次，不妨记为 ，
记 ，则必有 ，再根据数列 递增， 递减，推导出 ，推出矛盾，从而说明结
论成立；
（3）由（2）知，数列 中恰有一项 既是 的项，也是 的项，记 ，所以， ，
对数列 项数最多的子列进行分析，可知递增子列的项数最多为 ，所以， ，
然后对 为奇数和偶数进行分类讨论，求出 的最大值，并通过构造数列 确定 的最大值能取到，由此
可得出结果.
【小问1详解】数列①： 具有性质 ；数列②： 不具有性质 .理由如下：
对数列①，记该数列为 ，
该数列有 项递增子列： ，
该数列有 项递减子列： ，故数列①具有性质 ；
对于数列②，记该数列为 ，
该数列有 项递增子列： ，该数列没有 项递减子列，
故数列②不具有性质 .
【小问2详解】
假设数列 具有性质 ，则数列 中存在 项递增的数列 和 项递减数列 ，
因为 ，所以 为 ， 为 ，
所以对任意的 ，在 中至少存在一项 ，
因为 中有 项，所以存在 在 中恰出现一次，不妨记为 ，
记 ，则必有 ，
因为 递增， 递减，
所以，数列 中排在 前面的项至少有 ，共 项，
排在 后面的项至少有 ，共 项，
因为数列 中有 项，所以 是第 项，即 .
这与题设矛盾，所以假设不成立，即数列 不具有性质 .
【小问3详解】
当数列 具有性质 时，
记数列 的 项递增子列为 为 和 项递减子列 为 ，由（2）知，数列 中恰有一项 既是 的项，也是 的项，
记 ，所以， ，
所以数列 的前 项 由 组成，
因为 ，
所以项数最多的递增子列只能是 或 ，
所以递增子列的项数最多为 ，
数列 的后 项 由 组成，
所以项数最多的递增子列是 或 ，
所以递增子列的项数最多为 ，所以， ，
因为 ，所以
当 为奇数， 时， 有最大值 ，所以 ，
构造数列 ，
该数列具有性质 ，且满足任意连续的 项中，都包含 项的递增子列；
当 为偶数， 时， 有最大值 ，所以 ，
构造数列 ，
该数列具有性质 ，且满足任意连续 项中，都包含 项的递增子列，
的综上所述， .
