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北京市东城区 2023-2024 学年度第二学期高三综合练习（二）
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 （选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
2. 下列函数中，在区间 上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
4. 已知双曲线 过点 ，且一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的方程为
（ ）
A. B.
C. D.5. 直线 与圆 交于 ， 两点，若圆上存在点 ，使得 为等腰三角形，
则点 的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
6. 袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同
时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概
率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 与直线 交于 ， 两点，则 所在的区间为（
）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量 ， ， ， 是单位向量，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为
，其中 表示振幅，响度与振幅有关； 表示最小正周期， ，它是
物体振动一次所需的时间； 表示频率， ，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五
声音阶及其对应的频率 ：
音 宫 商 角 徵 羽
频率小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔 个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设
两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在
上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（ ）
A. 宫 B. 商 C. 角 D. 徵
10. 设无穷正数数列 ，如果对任意的正整数 ，都存在唯一的正整数 ，使得
，那么称 为内和数列，并令 ，称 为 的伴随数列，则（
）
A. 若 为等差数列，则 为内和数列
B. 若 为等比数列，则 为内和数列
C. 若内和数列 为递增数列，则其伴随数列 为递增数列
D. 若内和数列 的伴随数列 为递增数列，则 为递增数列
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式 的展开式中常数项为 __________.(用数字作答)
12. 若复数 满足 .则在复平面内， 对应的点的坐标是________.
13. 设函数 ，则 ________，不等式 的解集是________.
14. 如图，在六面体 中，平面 平面 ，四边形 与四边形
是两个全等的矩形. ， ， 平面 . ， ，，则 ________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________.
15. 已知平面内点集 ，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合
， .
给出以下四个结论：
①若 ，则 ；
②若 为奇数，则 ；
③若 为偶数，则 ；
④若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，平面 平面
.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.17. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的值；
（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在，并求函数 在 上 的最大值
和最小值.
条件①：函数 是奇函数；
条件②：将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
18. 北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为
非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口
为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：
行政区 东城区 西城区 朝阳区 丰台区 石景山区 海淀区 门头沟区 房山区
城镇人口（万人） 70.4 110 343.3 199.9 56.3 305.4 36.2 102.6
乡村人口（万人） 0 0 0.9 1.3 0 7 3.4 28.5
行政区 通州区 顺义区 昌平区 大兴区 怀柔区 平谷区 密云区 延庆区
.
185.
城镇人口（万人） 137.3 87.8 161.6 32 8 27.9 34.9 20.5
9
乡村人口（万人） 47 44.7 40.8 37.5 11.1 17.7 17.7. 13.9（1）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；
（2）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过
100万人的行政区的个数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
（3）记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为 ， ， .试判断 ， ，
的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的右焦点为 ，左、右顶点分别为A， ，直线
，且A到 的距离与A到 的距离之比为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ， 为椭圆 上不同的两点（不在坐标轴上），过点 作直线 的平行线与直线 交于
点 ，过点 作直线 的平行线与直线 交于点 .求证：点 与点 到直线 的距离相等.
20. 已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的极值点个数.
21. 已知 为有穷整数数列，若 满足： ，其中
， 是两个给定的不同非零整数，且 ，则称 具有性质 .
的
（1）若 ， ，那么是否存在具有性质 ？若存在，写出一个这样的 ；若不存在，
请说明理由；（2）若 ， ，且 具有性质 ，求证： 中必有两项相同；
（3）若 ，求证：存在正整数 ，使得对任意具有性质 的 ，都有 中任意两项均
不相同.
