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北京市东城区 2024-2025 学年度第二学期高三综合练习（二）数学
2025.5
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则复数 的实部为（ ）
A. B. 1 C. D. 3
3. 已知单位向量 的夹角为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量
为 ，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以 为首项，
公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线 的离心率大于 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 下列选项中能使 既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.7. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知直线 过点 ，且 上至少有一点到点 的距离为2，则 的倾斜角的最大值为（）
A. B. C. D.
9. 马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度 （单位：
）和燃料的质量 （单位： ）、飞行器（除燃料外）的质量 （单位： ）的函数关系是
.已知当该飞行器所处高空的音速为 ，最大速度对应的马赫数分别为8和13
时，燃料的质量分别为 和 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 设无穷数列 满足 ，则（）
A. 存在 ， 为等差数列 B. 存在 ， 为等比数列
C. 存在 ， 为递减数列 D. 存在 ， 为递增数列
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 中， ， ，则 ___________．
12. 已知 ，则实数 _____
13. 已知直线 与抛物线 在第一象限交于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为抛
物线的焦点 ，则 _____；若该抛物线的准线上的点到点 与点 的距离之和的最小值为 ，则
_____.14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个
形如直四棱柱 的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中 与平面 所成
的角均为 ， ， 米， 米， 米，则需要挖土_____立方米.
15. 已知曲线 .给出下列四个结论：
①曲线 为中心对称图形；
②曲线 与直线 有两个交点；
③曲线 恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线 上任意两点 ， ，当 时， .其中正确结论的序号是_____.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，长方体 的底面 是正方形， ， ，点 在棱 上，
平面 .
（1）求证： 为 的中点；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.17. 已知函数 .
（1）若 的最小值为 ，求 的值；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数 存
在且唯一，求 在区间 上的取值范围.
条件①： 的图象关于 和 对称；
条件②： 在区间 上单调，且 的图象关于点 对称；
条件③： 的最小正周期 ，且 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
18. 已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示.
（1）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
（2）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为 （单位：
摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为 （单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周
期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中 的概率；（3）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由.
19. 已知椭圆 的一个顶点为 .且过点 .
的
（1）求椭圆 方程及焦距
（2）过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 .直线 的斜率分别记为 与 ，当
时，求 的面积.
20. 设函数 ，其中 .
（1）当 时，求 的零点：
（2）当 时，证明：
（i）1为 的极小值点；
（ii）对于任意 ，存在 ，使得曲线 在点 处的切线斜率与在点
处的切线斜率互为相反数.
21. 已 知 有 穷 整 数 数 列 ， 满 足 . 记 集 合 为
，或 ，或 ， .若数
列 ，则称数列 是 的“恒元”.
（1）已知数列 ，请写出 中所有满足 的数列；
（2）当 时，是否存在数列 满足 ，且 是 的“恒元”?若存在，请写出一个满
足条件的数列 ；若不存在，请说明理由；
（3）当数列 是 的“恒元”时，若 是 个连续正整数的一个排列，求数列 的项数 的最大值.
