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北京市丰台区 2024～2025 学年度第二学期综合练习（二）
高三数学
2025.05
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式计算得出集合B，再结合交集定义计算求解.
【详解】集合 ，
则 .
故选：A.
2. 在复平面内，复数 的共轭复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数乘法计算，再应用共轭复数得出对应点判断象限即可.
【详解】复数 的共轭复数 ，所以对应的点 位于第四象限.
故选：D.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及定义得出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围，可得
出 与 的夹角.
【详解】因为 ， ，
则 ，
又 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
故选：B.
4. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设 与 的递推关系式推导出 ，再根据 求出 ，逐项求出 即可.
【详解】由题意， ，则当 时，有 ，
两式相减可得 ，即 .
当 时， ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：B.5. 已知直线 与圆 交于 两点．当 变化时，则 （ ）
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长的表达式，进而可得答
案.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
直线 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，则 ，
当 时， 取得最大值1，此时 ，
当 或 时， ，此时 趋近于4，所以无最大值.
故选：A.
6. 已知关于 的方程 的两实根为 ，则“ ”是“关于 的不等式
的解集为 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解集
之间的联系，推导证明可得出结论.【详解】充分性的判断：
若 ，则 或 ，
当 时，关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ，
因为二次函数 开口向上，所以关于 的不等式 的解集为 ；
当 时，关于 的方程 有两个不相等的实数根，不妨设 ，
因为二次函数 开口向上，所以关于 的不等式 的解集为 .
所以，由“ ”不能推出“关于 的不等式 的解集为 ”，充分性不成立.
必要性的判断：
若关于 的不等式 的解集为 ，因为二次函数 开口向上，所以
，
又因为关于 的方程 有两个实数根 ，则 ，则 ，必要性成立.
综上，“ ”是“关于 的不等式 的解集为 ”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．过 的直线与 交于 两点，过 作
的垂线，垂足分别为 ．若四边形 的周长等于 ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义可化简周长为 ，即可求得 ，可求直线
的倾斜角的正弦值即可求斜率.【详解】由抛物线的定义可知， ， ，
则四边形 的周长为 ，
则 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 或 ，
则 ，则直线 的斜率为 .
故选：C
8. 如图，在棱台 中，底面 和 为正方形， ，侧面均为
等腰梯形，且侧面与底面 的夹角均为 ，则该棱台的表面积为（ ）
A. 18 B. C. D. 34
【答案】B
【解析】
【分析】过 作 底面 ，交底面 于 ，过 作 交 于 ，根据二面角
的概念可知 即为侧面与底面 夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可.
【详解】由题意在棱台 中，底面 和 为正方形，各侧棱均相等，
过 作 底面 ，交底面 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，
因为 底面 ，所以 ，
为
又因 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，
所以 即为侧面与底面 夹角的平面角，即 ，
由题意可知 ，所以 ，
所以该棱台的表面积 .
故选：B
9. “红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念．如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频
率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频
率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移”．记接收器接收到的光波的频率为正数 ，波源发出的光波
的频率为正数 ， 和f满足光的普遍多普勒效应公式 （ 为波源运动速率与
光速的比值， 为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）．某同学依据该公式利用 工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器”，在给定范围内输入 和 的值，点击“计算”按钮后，运行结果显示
“红移”、“蓝移”或“无频移”．下列说法正确的是（ ）
A. 输入 和任意β，运行结果显示“红移”
B. 输入 和任意β，运行结果显示“蓝移”
C. 输入 和任意 ，运行结果显示“红移”
D. 输入 和任意 ，运行结果显示“蓝移”
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件去研究另一个变量的函数值域，通过值域分析与1的大小，从而去比较 与 的大
小关系，即可判断各选项.
【详解】对于A，由 ，
可知 ，
由于接收器接收到的光波的频率 大于波源发出的光波的频率 ，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝
移”．故A错误；
对于B，由 ，
可知 ，
由于接收器接收到的光波的频率 小于波源发出的光波的频率 ，则光的谱线向红光方向移动，称为“红
移”．故B错误；对于C，由 ，可知 ，
因为 ，则 ，即 ，
此时 ，由于 ，所以 与 的大小关系不确定，故C错误；
对于D，由 ，可知 ，
因为 ，则 ，即 ，
此时 ，所以 ，
由于接收器接收到的光波的频率 大于波源发出的光波的频率 ，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝
移”．故D正确；
故选：D.
10. 已知 是平面直角坐标系 中的点集．设 是 中
两点间距离的最大值， 是 中的点与原点 连线的斜率， 是 表示的图形的面积，给出下列四个结
论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，可作出符合题意点集 的区域，根据区
域即可得出结论.【详解】对于①代入可得 符合题意，故①正确；
∵ 对 恒过点 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
由此我们可知 的点集是由曲线绕A点往上直到 点扫过的区域，如图：
∴ ，故②正确；
， ， ，故③错误；
有图易得 ，故④正确.
故选：C.
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 函数 的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域.
【详解】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，故答案为：
12. 已知双曲线 (a＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率求得 ，即可求得渐近线方程.
【详解】因为双曲线 的离心率为2，则 ，解得 ，
故双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
13. 已知直线 为函数 图象的一条对称轴，则满足条件的一个 的取值
为_____；若 在区间 上有零点，则 的最小值为_______．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 4
【解析】
【分析】根据余弦函数的对称性求出 的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出 的最
小值.
【详解】因为直线 为函数 图象的一条对称轴，
所以 ，解得 ，
又 ，所以取 （答案不唯一）；若 在区间 上有零点，令 ，解得 ，
由 ，故 且 ,
又 且要求 的最小值，故 ，所以 的最小值为 ；
故答案为： （答案不唯一）；
14. 已知 ，则 _______； _______．
（用数字作答）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先应用通项公式计算得出 ，应用赋值法令 计算求出系数和的值.
【详解】 ，
所以 的系数为 ；
令 ， ，
令 ， ，
作差得 ，所以
则 ； .
故答案为： ； .
15. 已知数列 满足 ，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数 ，使得 是常数列；
②当 时， 是等比数列；③若 是递增数列，则 ；
④若对任意的正整数 ，都有 ，则 ．
其中所有正确结论的序号为_____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由 是常数列，得 ， ，可解出 ，判断①正确；当 时，由
可得 ，可得 是等比数列，判断②正确；由
是递增数列，可得 ，可解得 ，判断③错误；由已知可得 的通
项，由 ，可得 ，通过讨论 ，可得 ，判断④正确．
【详解】若 是常数列，则 ，
又 ，则 ，代入 ，
得 ，解得 ，故①正确；
当 时， ，则 ，
则 ，
又 ，所以 ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，故②正确；
若 是递增数列，则 ，
即 ，
又 ，则 ，由 ，得 ，解得 ，故③错误；
由 ，得 ，
则 ，
则 ，
当 ，即 时,
则 ，
又 ，所以 ，则 ，所以 ，
即对任意的正整数 ，都有 ，
当 ，即 时,
则 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
若对任意的正整数 ，都有 ，则 ，
所以 ，
整理得 ，
当 ，即 且 时， ，该式恒成立，
当 ，即 时，该式不恒成立，综上，对任意的正整数 ，都有 ，则 ，故④正确．
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中， ．
（1）求 ；
（2）若 , ，求 边上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角 ；
（2）先根据余弦定理求出边 ，然后利用三角形面积公式求出 边上的高.
【小问1详解】
在 中，因为 ，
由正弦定理 及 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
【小问2详解】因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 ．设 边上的高为 ，
又 的面积 ，
所以 ，
所以AB边上的高为 ．
17. 如图，在四棱柱 中，底面 与侧面 均为菱形， 平面
为 的中点， 与平面 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段 上是否存在点 ，使得直线
与平面 所成角 的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由已知可得 平面 ，由线面平行可得 ，进而得四边形 为平行
四边形，即可证得 为 的中点；
（2）选择条件①：取 中点 ，连接 ，由已知条件可证得 两两垂直，以 为原点建
立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面 的一个法向量，设 ，再利用坐标
运算和直线 与平面 所成角的正弦值为 ，解出 ，即可解答；
选择条件②：先证得 平面 ，同①建立空间直角坐标系，则平面 的一个法向量为 ，
然后解答同①.
【小问1详解】
在菱形 中， ．
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
又四棱柱 中， ，
所以四边形 为平行四边形．
所以 ，所以 为 的中点．
【小问2详解】
选择条件①：取 中点 ，连接 ，
在菱形 中， ．
因为 ，所以 为等边三角形．
因为 为 中点，所以 ，故 ．
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
所以 两两垂直．
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ．
设 ，
所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ．
解得 ，
所以存在符合条件的点 ．
选择条件②：
取 中点 ，连接 ．
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
又 ，且 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
又因为 为 中点，所以 ．
在菱形 中， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，故 ．
所以 两两垂直．如图建立空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ．
因为 平面 ，
所以取平面 一个法向量为 ．
的
设 ，
所以 ．设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ．
解得 ，
所以存在符合条件的点 ．
18. 为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了 100名学生，记录他们的
日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间 内有70人，近
视率为 ；日均户外活动时长在区间 内有20人，近视率为 ；日均户外活动时长在区间
内有10人，近视率为 ．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．
（1）估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
（2）用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2
名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
（3）为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2
项措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加
相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 ，采取措施二后该校全体学生
的日均户外活动时长的平均值为 ．用样本估计总体，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意求相应人数和频率，即可得结果；
（2）分析可知从该校日均户外活动时长低于1小时、不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视
的概率为 、 ，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（3）根据题意结合加权平均数公式分别求 ，比较大小即可得结果.
【小问1详解】
由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有 人，
其中近视的学生有 人，
所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为 ．
【小问2详解】
设事件 “从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4
名学生中恰有2名近视”．
由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为 ，
从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为 ．
则 ．
【小问3详解】
由题意可知：日均户外活动时长在区间 内的频率为 ；日均户外活动时长在区间 内的频率为；日均户外活动时长在区间 内的频率为 ，
则原数据的平均数为 ，
采取措施一后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 ；
采取措施二后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为
；
因为 ，所以 .
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，线段 的垂直平分线与 轴
交于点 ，与 轴交于点 ．过点 且与 平行的直线与 轴交于点 ．若 与 的面积
之比为 ，求 的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由已知及椭圆中 的关系，解出 ，即可得到椭圆 的方程；
（2）由题意，直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理可由 表示出线段
的中点坐标，进而写出线段 垂直平分线的方程，得到点 和点 坐标，表示出 的面积，
再由 表示出 的面积，再由面积之比为 得到方程，即可求得 的值．
【小问1详解】由题意 ，
解得 ．
所以椭圆 的方程为 ．
【小问2详解】
由题意，直线 的方程为 ，
由 ，得 ．
由题意， ．
设 ，则 ，
解得 ，
所以线段 的中点为 ．
线段 垂直平分线的方程为： ，
令 得 ，所以 ．令 得 ，所以 ．
所以 ．
因为过点 与直线 平行的直线的方程为 ，故 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，整理得 ．
若 ，则 ，解得 ，故 ；
若 ，则 ，解得 ，故 ．
综上， 或 ．
20. 已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的单调区间；
（3）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）（2）单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数在某点处的切线方程，利用导数几何意义以及该点在函数图像和切线上来求解
的值；
（2）通过对函数求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间；
（3）将 的表达式代入不等式，通过移项、因式分解等方法求解 的取值范围.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ．
由题意 解得 .
【小问2详解】
由（1）得 ．
令 ，解得 ．
当 变化时， 的变化情况如表所示：
-4 -1 0
- 0 + 0 - 0 +
单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增
所以 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ．
【小问3详解】设 ．
设 ，则 ．
当 时， 在 上单调递增， ，
当 时， 在 上单调递减， ，
所以 恒成立．
由题意， 等价于 或 ，
解得 或 ．
综上， 的取值范围是 ．
21. 设数列 是 的一个排列．由 中连续 项组成的集合称作“ 的长为 的子
列集”，其中 ．任取不大于 的正整数 ，当 时，若数列 的任意长为 的子列集
和数列 的任意长为 的子列集 ，都有 ，则称数列
为“好数列”．
（1）判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
（2）证明：由 的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过 的“好数列”（ 表示不
超过 的最大整数）；
（3）若数列 为“好数列”，求 的最大值．
【答案】（1）①是“好数列”；②不是“好数列”
（2）证明见解析 （3）7
【解析】【分析】（1）根据“好数列”的定义逐项检验即可判断①②；
（2）分析可知若 是“好数列”，可知存在 ，结合“好数列”的定义
分析可得 且 ，即可得结果；
（3）分类讨论 的奇偶性，利用反证法结合（2）可知 为偶数不成立， 为奇数时且 ，不存在
“好数列”，即可得结果.
【小问1详解】
对于①：检验可知①是“好数列”；
对于②：例如 ，取长为2的子列集 和长为3的子列集 ，
此时 ，所以②不是“好数列”．
【
小问2详解】
若 是“好数列”，可知存在 ．
令 与 ，
于是集合 和 也分别是数列 和数列 的子列集，
又存在 ，得 ．
因此 ．
所以，数列 也是“好数列”．
设 与 中较小者为 ，则 且 ，
因此 ，即 ，于是 ，
所以存在首项不超过 的“好数列”．
【小问3详解】的最大值为7．
①先考虑 ．
假设存在“好数列” ．由（2）可知，不妨设 ．
若 ，则由长为 的子列集 和 与集合 的交集非空，知
，
即此“好数列”为： ．
又 ，长为 的子列集 和 与集合 的交集
非空．
所以 且 ，与 矛盾．
若 ，则由长为 的子列集 和 与集合 的交集非空，
知 ；
又与集合 的交集非空，知 ，矛盾；
②再考虑 ．假设存在“好数列” ．
由（2）可知，不妨设 ．
若 ，则由长为 的子列集 和
与集合 的交集非空，知 ．
又 ，长为 的子列集 和 与集合 的
交集非空．
所以 且 ，与 矛盾．
若 ，则由长为 的子列集 和与集合 的交集非空，知 ；
又与集合 的交集非空，知 ，
此时，长为 的子列集 ，矛盾．
所以，当 时，不存在“好数列”．
又数列1，4，6，2，5，3，7是“好数列”．
综上， 的最大值为7．
