文档文本内容
西城区高三统一测试试卷
数学
2024.4
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 的展开式中，常数项为
A. B.
C. D.
4. 已知抛物线 与抛物线 关于直线 对称，则 的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设 ，其中 ，则（ ）A. B.
C. D.
6. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
（ ）
A. B. 1 C. D. 7
7. 已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在等比数列 中， ．则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 关于函数 ，给出下列三个命题：
① 是周期函数；
②曲线 关于直线 对称；
③ 在区间 上恰有3个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
的
10. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物 遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 随时间 （小时）变化的趋势可由函数 近似描述，则记
忆率为 时经过的时间约为（ ）（参考数据： ）
A. 2小时 B. 0.8小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数z满足 ，则 ______
12. 已知 ．使 成立的一组 的值为 __________；
__________．
13. 双曲线 的渐近线方程为__________；若 与圆 交于
四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 __________．
14. 在数列 中， .数列 满足 .若 是公差为1的等差
数列，则 的通项公式为 ______， 的最小值为______.
15. 如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直．点 在正方形 及其内部运动，点
在矩形 及其内部运动．设 ，给出下列四个结论：
①存在点 ，使 ；
②存在点 ，使 ；
③到直线 和 的距离相等的点 有无数个；④若 ，则四面体 体积 的最大值为 ．
的
其中所有正确结论 序号是__________．
三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 为
的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
17. 在 中， ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在，求 的面积．
条件①： 边上中线的长为 ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子
弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：
环数 6环 7环 8环 9环 10环
甲的射出频数 1 1 10 24 24乙的射出频数 3 2 10 30 15
丙的射出频数 2 4 10 18 26
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．
（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
（3）甲､乙､丙各射击10次，用 分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于 环的次数，其中
．写出一个 的值，使 ．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点．直线 与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆的顶点）， 与直线 交于点 ，
直线 分别与直线 交于点 ．求证： ．
.
20 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）若集合 有且只有一个元素，求 的值．
21. 对正整数 ，设数列 . 是 行 列的数阵， 表
示 中第 行第 列的数， ，且 同时满足下列三个条件：①每行
恰有三个 1；②每列至少有一个 1；③任意两行不相同．记集合 或
中元素的个数为 ．（1）若 ，求 的值；
（2）若对任意 中都恰有 行满足第 列和第 列的数均为1．
① 能否满足 ？说明理由；
②证明：．
