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北京市东城区 2021—2022 学年度第二学期高三综合练习（三）
数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合交集运算处理，注意端点值得取舍．
【详解】根据题意：
故选：A．
2. 在复平面内，复数 ，则 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由题知 ， ，进而根据几何意义求解即可.
【详解】解: ,故 ,
所以, 对应的点为 ,位于第二象限.
故选：B
3. 在公差不为零的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据等差数列性质若 ，则 ，可得 ．
【详解】∵ ，则
∴
故选：B．
4. 下列函数中最小正周期不是 的周期函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的性质，依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项， 不为周期函数；
对于B选项， 的图像是将 图像在 轴下方的翻到 轴上方，进而函数为周期函数，周
期是 ，故正确；
对于C选项， ，故周期为 ；
对于D选项， 图像是将 图像在 轴下方的翻到 轴上方，其周期性不变，故依然为 ，
正确；
故选：C
5. 如图，在正方体 中，E，F分别为CC ，DC 的中点，则下列直线中与直线 相交
1 1 1
的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】A【解析】
【分析】利用正方体的性质可得 ，进而可判断A，根据经过平面外一点和平面内
一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线可判断BCD.
【详解】连接 ，则 ，
由 ，可得四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
所以 ，即四边形 为梯形，
故直线 与直线 相交，
直线 与直线 为异面直线，直线 与直线 为异面直线，直线 与直线 为异面直线.
故选：A.
6. 已知直线 与圆 交于 两点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知直线 过定点 ，且在圆 内，进而结合题意将问题转化
为圆心 到直线 的距离为 ，再根据点到直线的距离公式求解即可.【详解】解：因为直线 ，
所以，直线 过定点 ，且在圆 内，
因为直线 与圆 交于 两点，且 ，
所以，圆心 到直线 的距离为 ，
所以， ，即 ，即 .
故选：B
7. 若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率
为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接
种的概率为（ ）
A. 0.6 B. 0.375 C. 0.36 D. 0.216
【答案】A
【解析】
【分析】设事件 为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件 为抽取的一人完成加强免疫接种，进而结
合题意，根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：设事件 为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件 为抽取的一人完成加强免疫接种，
所以 ， ，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率
为 .
故选：A
8. 已知 ， 是两个非零向量，则“存在实数 ，使得 ”是“ 的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量模的运算充分条件与必要条件的概念求解即可.【详解】解：当存在实数 ，使得 ， ， ，显然
与 不一定相等，故充分性不成立；
反之，当 时， ，所以 ，即 ， 共线反向，故“存在实数 ，
使得 ，故必要性成立.
故“存在实数 ，使得 ”是“ 的必要而不充分条件
故选：B
9. 已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 中的项不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意 ， ， ，再分别讨论 ， ， 时对应的
情况，进而求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ， ， ，
所以，当 时，则 ， 或 ，此时 或 ；
当 时，则 ， 或 ，此时 或 ；
当 时，则 ， 或 ，此时 或 ；
故 中的项不可能为 .
故选：D
10. 如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 ，转盘直径为 ，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要 .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动 后距离地面的高度为 ，
则在转动一周的过程中，高度 关于时间 的函数解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设 ，进而结合题意求解即可.
【详解】解：根据题意设， ，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为 ，转盘直径为 ，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为 ，
所以 ，解得 ，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要 ，所以， ，解得 ，
因为 时， ，故 ，即 ，解得 .
所以，
故选：B
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中， 的系数为___________.（用数字作答）
【答案】10
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于4，求出 的值，即可求得展开式中 的系数．
【详解】 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，
故展开式中 的系数为 ，
故答案为：10．
12. 双曲线 的离心率为___________；设 为坐标原点，过 的右焦点 且垂直于 轴的直
线与 的两条渐近线分别交于 两点，则△ 的面积为___________.
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】由题知 ，进而根据题意，依次求解即可.
【详解】解：由题知 ，故双曲线 的离心率为 .所以，右焦点为 ，渐近线方程为 ，
所以 ，
所以 的面积为 .
故答案为： ；
13. 能说明“若 ，则 ，其中 ”为假命题的一组 ， 的值是___．
【答案】答案不唯一，如 ，
【解析】
【分析】即举满足条件 但不满足 的例子.
【详解】 ， 时，满足 ，但 不成立
故答案为答案不唯一，如 ，
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享
受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购
物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元
和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照
两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元.
【答案】61.6##
【解析】
【分析】由题可得由小昭一次性付款实际付款，进而可得合并支付比他们分别支付节省的钱，然后可得小
敏需要给小昭的钱数.
【详解】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为 元，
他们分别支付应付款为 元，故节省 元，故小敏需要给小昭 元.
故答案为：61.6.
15. 已知函数 .
①对于任意实数 ， 为偶函数；
②对于任意实数 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
③存在实数 ，使得 有3个零点；
④存在实数 ，使得关于 的不等式 的解集为 .
所有正确命题的序号为___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①：利用偶函数定义判断；对于②：根据单调性的性质以及偶函数的对称性判断；对于③：
根据题意得 ，结合图像判断 与 交点个数；对于④： ，通过函数
性质解不等式 ．
【详解】 ， 为偶函数，①正确；
当 时， 在 上单调递增，再根据偶函数可得 在 上单调递减，②正
确；
令 ，则 ，结合图像可知： 与 至多有两个交点，则 至多有两个
零点，③不正确；
当 时， ，根据②可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且
∴不等式 的解集为 ，④正确；故答案为：①②④．
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 ；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长.
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得 ，进而根据余弦定理求解即可；
（2）结合（1）得选择条件②时，三角形不唯一，故再分别讨论选择条件①､条件③时的情况，并求解即
可.
【小问1详解】
解：在 中，因为 ，
由正弦定理 ，得 .
设 ，则 .
因为 ，所以 .
【
小问2详解】
解：选择条件①：
由（1）知 ，且 ，
所以 .
设D为 的中点， .
在 中， ，
所以 ，即 边上中线的长为 .
选择条件②：由（1）知 ，即 ，故此时可用余弦定理计算得三个内角，但由于
三边未知，故三角形不唯一，不满足条件.
选择条件③：
因为 的面积为 ，
所以 .
所以 .
由（1）知 ，
所以 .
设D为 的中点， .在 中， ，
所以 ，即 边上中线的长为 .
17. 如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的大小；
（3）线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 到平面 的距离；若不存在，
说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，距离为
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，进而根据几何关系证明四边形 是平行四边形，进而
证明结论；
（2）分别取 中点O， ，连接 ，进而以O为原点， 所在的直线分别为x
轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（3）假设存在点G，设 ，进而根据 得 ，再计算点到
面的距离即可.【小问1详解】
证明：取 中点 ，连接 .
因为正三棱柱 ，
所以 ，且 .
因为E为线段 的中点，
所以 且 .
所以 且 .
因为D为 中点，所以 .
所以 且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .【小问2详解】
解：分别取 中点O， ，连接 .
因为 是正三棱柱，
所以 平面 ， .
所以 平面 .
所以 .以O为原点， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
.
则
所以 .
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即
令 ，解得 ，所以 .
设直线 与平面 所成角为 ， ，
则 ，
所以 .
即直线 与平面 所成角为 .
【小问3详解】
解：假设存在点G，设 .
所以 .
所以 .
由 知，
若 ，则 .
为
解得 .即G与C 同一个点.因为 ，平面 的法向量为 ，
所以点G到平面 的距离 .
18. 为了解某地区高中生的每天日间户外活动现状，分别在两所学校随机抽取了部分学生，得到甲校抽取
的学生每天日间户外活动时间（单位：h）的统计表和乙校抽取的学生每天日间户外活动时间（单位：h）
的频率分布直方图如下.
乙校抽取的学生每天日间户外活动时间频率分布直方图
每天日间户外活
组别 人数
动时间（单位：h）
1 120
2 250
3 60
4 70
甲校抽取的学生每天日间户外活动时间统计表
（1）根据图表中的数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间的25%分位数在第几组；
（2）已知每天日间户外活动时间不低于2h可以对保护视力起到积极作用.现从乙校全体学生中随机选抽取
2人，记其中每天日间户外活动时间不低于2h的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）根据上述数据，能否推断甲校抽取的学生每天日间户外活动时间的平均值一定低于乙校抽取的学生
每天日间户外活动时间的平均值？说明理由.
【答案】（1）第2组 （2）分布列答案见解析，数学期望：
（3）不能，理由见解析
【解析】【分析】（1）利用图表中的数据结合25%分位计算判断；
（2）根据题意可得 ，根据二项分布求分布列和期望；
（3）用每组区间的中点值进行估计求平均数的估计值，用每组区间的左端点值进行估计求平均数最小值，
计算判断．
【小问1详解】
根据表中数据，估计甲校学生每天日间户外活动时间25%分位数在第2组.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知，乙校参与调查的学生每天日间户外活动时间不低于 的频率为 .
由此估计乙校全体学生每天日间户外活动时间不低于 的概率约为0.3.
X的所有可能取值为0，1，2.
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
.
【小问3详解】
不能.
若甲校参与调查的学生每组中的数据恰好都取区间中点值，则甲校参与调查的学生每天的日间户外活动时
间的平均值
.
若乙校参与调查的学生每组中的数据恰好都取相应区间的左端点值，则乙校参与调查的学生每天的日间户
外活动时间的平均值
.
此时， .19. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求 ， 的值；
（2）设函数 ，若 有两个实数根 （ ），将 表示为 的函
数，并求 的最小值.
【答案】（1）
（2） ，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题知 ，进而得 ，再构造函数
，结合导数求函数的最小值即可.
【
小问1详解】
解：（1）因为 ，所以 .
又因为 ，
所以曲线 在点 处 的切线方程为 ，即 .
所以
【小问2详解】解：
由 有两个实数根分别为 ，所以 .
由 有 .
令 ，则 .
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.
对任意 有 .
即当 时， 的最小值为 .
20. 已知椭圆 的左焦点为 ，长轴长为 .过右焦点 的直线 交椭圆
C于 两点，直线 分别交直线 于点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设线段 中点为 ，当点 位于 轴异侧时，求 到直线 的距离的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）由题可知 ，求解即可；（2）利用韦达定理求斜率的范围以及线段 中点T
的横坐标为 ，注意讨论直线斜率是否存在．
【小问1详解】
由题可知 解得 .
故椭圆C的方程为 .
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，T到直线 的距离为1.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 .
联立 消y，得 .
由 及题意，可得 .
设 ，则 .
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，则 .
同理， .因为点M，N位于x轴异侧，所以 .
即
，
解得 .
线段 中点T的横坐标为t，则 .
T到直线 的距离为 .
由 ，得 ，故 .
综上，T到直线 的距离的取值范围为 .
21. 已知无穷数列 满足：① ；② （
； ； ）.设 为 所能取到的最大值，并记数列
.
（1）若 ，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求数列 的前100项和.【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据数列的新定义即得；
（2）由题可得 或 ，分情况讨论，进而可得 ；
（3）由题可得 ，进而猜想数列 ：1，2，4，5，7，8， ，然后利用数学归纳法证明，再利用数
列求和公式即得.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为 ，
所以 ，所以 或 .
因此 .
当 时，
且 同时成立，
此时 .
当 时，
且 同时成立，此时矛盾.
综上， .
【小问3详解】因为 ，
所以 .
所以 .
由 知， .
事实上，当 时，
与 同时成立，
所以 ，从而 .
猜想数列 ：1，2，4，5，7，8， ，
即数列 由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A： 的两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当 时结论成立.
②假设 时结论成立，则当 时，
当 时，此时 ，
由于 ；
；
上面各式均成立，此时有 .
当 时，此时 ，
由于 ；
；上面各式均成立，此时有 .
综上，数列 是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列 的前100项和为： .
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进
行再迁移.
