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西城区高三模拟测试试卷数学
2024.5
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分选择题共40分
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项）.
1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 已知向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合 ， ．若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ．则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线 的焦点在 轴上，且 的离心率为 ，则（ ）
.
A B. C. D.
7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象再关于 轴对称，得到函数 的图象，
则 （ ）A. B. C. D.
8. 楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体 ，其中面
为正方形．若 ， ，且 与面 的距离为 ，则该楔体形构件的体
积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知 是无穷等比数列，其前 项和为 ， ．若对任意正整数 ，都有
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则
这组学生人数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
第二部分非选择题共110分
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）.
的
11. 函数 定义域是_______．
12. 已知圆 经过点 和 ，且与直线 相切，则圆 的方程为_______．
13. 已知函数 ．直线 与曲线 的两个交点 如图所示，若 ，且 在区间 上单调递减，则 _______； _______．
14. 已知函数 ， ，其中 ．
①若函数 无零点，则 的一个取值为_______；
②若函数 有4个零点 ，则 _______．
15. 在数列 中， ， ．给出下列三个结论：
①存在正整数 ，当 时， ；
②存在正整数 ，当 时， ；
③存在正整数 ，当 时， ．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.
16. 已知函数 ．在 中， ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
17. 如图，正方体 的棱长为 ， 为 的中点，点 在 上．再从下列三个条件
中选择一个作为已知，使点 唯一确定，并解答问题．条件①： ；条件②： ；条件③： 平面 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）求直线 与平面 所成角的大小，及点 到平面 的距离．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了 年工业机器人的产量和销量数
据，如下表所示．
年份
产量万台
销量万台
记 年工业机器人产量的中位数为 ，销量的中位数为 ．定义产销率为“
”．
（1）从 年中随机取 年，求工业机器人的产销率大于 的概率；
（2）从 年这 年中随机取 年，这 年中有 年工业机器人的产量不小于 ，有 年工业机
器人的销量不小于 ．记 ，求 的分布列和数学期望 ；
（3）从哪年开始的连续 年中随机取 年，工业机器人的产销率超过 的概率最小．结论不要求证明
.
19 已知函数 ，其中 ．的
（1）若 在 处取得极小值，求 值；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值；
（3）证明： 有且只有一个极值点．
20. 已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是第一象限内椭圆 上一点，过 作 轴的垂线，垂足为 ．点 关于原点的对称点为 ，
直线 与椭圆的另一个交点为 ，直线 与 轴的交点为 ．求证： 三点共线．
21. 已知数列 ，从 中选取第 项、第 项、…、第 项 构成数列
， 称为 的 项子列．记数列 的所有项的和为 ．当 时，若 满足：对任意
， ，则称 具有性质 ．规定： 的任意一项都是 的 项子列，且具有性质
．
（1）当 时，比较 的具有性质 的子列个数与不具有性质 的子列个数的大小，并说明理由；
（2）已知数列 ．
（ⅰ）给定正整数 ，对 的 项子列 ，求所有 的算术平均值；
（ⅱ）若 有 个不同的具有性质 的子列 ，满足： ， 与 都有公共项，且
公共项构成 的具有性质 的子列，求 的最大值．
