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北京市三十九中 2022 年高考数学三模试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在复平面内，复数 对应的点位于第二象限，则角 的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中， ，点P是 的中点，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 6
6. 在 中， ，则 （ ）
A. B. C. 6 D. 5
7. 已知直线 经过点 ，则原点到点 的距离可以是（ ）
A. B. C. D.
8. 在 中，“ ”是“ 为钝角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件9. 等差数列 前 项和为 .已知 ， .记 ，则数列 的（
的
）
A. 最小项为 B. 最大项为 C. 最小项为 D. 最大项为
10. 在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者
平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决
定，假定某种传染病的基本传染数 ，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传
染轮数为（ ）
为
注：初始感染者传染 个人 第一轮传染，这 个人再传染 个人为第二轮感染.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 函数 的定义域为________.
12. 已知双曲线 （其中 ）的渐近线方程为 ，则 ________， 的右焦点坐
标为________.
13. 已知平面向量 与 的夹角为 ，则 ________.
14. 已知函数 .若非零实数 ， ，使得 对 都成立，则满足条件的一
组值可以是 ____， ___.（只需写出一组）
15. 已知曲线 ， ，其中 .
①当 时，曲线 与 有4个公共点；
②当 时，曲线 围成的区域面积大于曲线 围成的区域面积；③ ，曲线 围成的区域面积等于 围成的区域面积；
④ ，曲线 围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线 围成的区域内整
点个数.
其中，所有正确结论的序号是________.
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形， ， ． 为等边三角形，平面
平面ABCD，E为AD的中点．
（1）求证： ；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
17. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求 的解析式，并求其在区间 上的最大值和最
小值．
条件①： 的值域是 ；
条件②： 在区间 上单调递增；
的
条件③： 图象经过点 ；
条件④： 的图象关于直线 对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．18. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位
就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
的
（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐 概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就
餐的概率；
（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
的
（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐 条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并
说明理由．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，曲线 在 轴的上方，求实数a的取值范围．
20. 已知椭圆 的离心率为 ，上下顶点分别为 ，且 .过点
的直线与椭圆 相交于不同的两点 （不与点 重合）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与直线 相交于点 ，求证： 三点共线.
21. 对于数列 ， ，…， ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ， ，…， ，
，记 ， ， ．对于数列 ， ，…， 与 ， ，…，，定义 ．若数列 ， ，…， 满足 ，
则称数列 为 数列．
（1）若 ，写出 ，并求 ；
（2）对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 若存在，写出一个数
列 ，若不存在，说明理由：
（3）若 数列 满足 ，求数列A的个数．
