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北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二
数学
2024.5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的
四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，结合交集的定义与运算即可求解.
【详解】由题意知， ，
又 ，
所以 .
故选：B
2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.
【详解】 是奇函数，它在区间 上单调递增，在定义域内不是增
函数，所以选项A是错误的；是偶函数，所以选项B是错误的；
既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；
满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；
故选：D.
3. 设等差数列的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 60 B. 80 C. 90 D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】先求出等差数列的公差，再由等差数列的求和公式求解.
【详解】等差数列的公差为： ，
则 .
故选：D
4. 已知抛物线 的焦点为F，点P为C上一点.若 ，则点 P的横坐标为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程可得 ，结合抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意知， ，
由抛物线的定义知， ，得 ，
即点P的横坐标为7.
故选：C
5. 已知函数 ，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，无最小值，
根据题意， 存在最小值，
所以 ，即 .
故选：A.
6. 已知 是两个互相垂直的平面， 是两条直线， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知， ，
若 ，当 时，有 ；当 时， 与 可能相交、平行、垂直.
若 ，由 ，得 .
故“ ”是“ ”是必要不充分条件.
故选：B
7. 在平面直角坐标系 中，锐角 以 为顶点， 为始边.将 的终边绕 逆时针旋转 后与单位圆交于点 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角的平方关系求出 ，结合三角函数的定义和两角和的正弦公式计算即可求解.
【详解】如图，
由 ， ，得 ，
所以 .
故选：D
8. 假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 满足公式 ，其中 是空气密度， 是该飞
行器的迎风面积， 是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），
反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 . 当 不变， 比原来提高 时，下列
说法正确的是（ ）
A. 若 不变，则 比原来提高不超过
B. 若 不变，则 比原来提高超过C. 为使 不变，则 比原来降低不超过
D. 为使 不变，则 比原来降低超过
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 ， ，结合选项，依次判断即可.
【详解】由题意， ，所以 ， ，
A：当 ， 不变， 比原来提高 时，
则 ，
所以 比原来提高超过 ，故A错误；
B：由选项A的分析知， ，
所以 比原来提高不超过 ，故B错误；
C：当 ， 不变， 比原来提高 时， ，
所以 比原来降低不超过 ，故C正确；
D：由选项C的分析知， 比原来降低不超过 ，故D错误.
故选：C
9. 已知双曲线 的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆
上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率
为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件求得 ，然后解直角三角形即可得答案.
【详解】设双曲线左焦点为 ，如图： ，可得 ，
由双曲线的定义字 ，
在 中， ，
在 中，
即 ，可得 .
故选：A.
10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小
相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球，第二层有 个小球，第三层有
个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有 层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的
总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数
为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】转化题给条件为 ，再由 皆为正整数分类讨论即可求解.
【详解】由题意知， ，于是得最底层小球的数量为 ，即 ， .
从而有 ，
整理得 ，
，
，
， ，
由于 皆为正整数，所以
（i）当 时， ，
当 时， ，
（iii）当 时， ，
（iv）当 时，
只有 符合题意，即 的值为2.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定 是解决本题的关键.
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5 小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 满足 ，则 的虚部是__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由已知条件求出复数 ，从而可求出复数 的虚部.
【详解】∵复数z满足 ，
，
故z的虚部是1.
故答案为：1
12. 已知向量 ， ，且 ，则实数k=______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用已知求得 ，进而根据 ，可得 ，求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 在 的展开式中，若二项式系数的和等于 ，则 ________，此时 的系数是_______.（用
数字作答）
【答案】 ①. 6 ②. 135【解析】
【分析】利用二项式系数的和等于 ，求解 值，利用通项公式求解 的系数.
【详解】由二项式系数的和等于 ，则 ， ；
通项公式为 ，
令 ，所以 的系数为 .
故答案为： ； .
14. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的一个取值为_______.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】画出图，由图可知有两个交点的时候的临界状态为相切与过点 ，求出此时直线的斜率，则
实数 的取值范围即可求解.
【详解】
直线 过定点 ，
曲线 ，即 ，表示半圆，
如图所示，当直线与圆相切时，圆心 到直线 的距离 ，
所以 （舍去）或 ，
由于直线 与曲线 有两个不同的交点，当直线 过 时，斜率最小为 ，
所以由图可知，实数 的取值范围为： ，
故实数 的一个取值为1，
故答案为：1（答案不唯一）.
15. 设 为正整数，已知函数 ， ， . 当 时，记
，其中 . 给出下
列四个结论：
① ， ；
② ， ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 .
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①③
【解析】
【分析】依据 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调
递增， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
利用单调性逐项计算可判断每个选项的正确.
【详解】对于①，因 为 ，所以 .又 在 上单调递增，所以 ，
所以
，故①正确；
对于②，当 时， ，
，所以此时 ，故②错误；
对于③，当 时，因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且关于直线
对称.
又有 ，且 和 在数轴上关于 对称，所以
， ，
.
所以
.
而 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
又有 .所以 ， .
所以
.
这就得到 ， ， ，所以此时 ，故③正确；
对于④，当 时，因为 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 ， .
所以
.
所以此时 ，故④错误.
故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，弄清题意与每个函数的单调性是关键，利用单调性比较数的大
小去绝对符号，运算量大，细心是关键.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， 为锐角，且
（1）求 的值;
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求 .
条件①:
条件②: ;
条件③: .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式可求 ，进而可求 ；
（2）选条件①②:由已知可求 ，进而由正弦定理可求 ，再利用余弦定理可求 .
选条件①③: 由已知可求 ，进而由正弦定理可求 ，后面同选条件①②.
选条件②③:利用余弦定理可求 .
【小问1详解】
因为 所以因为∠A为锐角，cosA >0，所以
又因为
所以
【小问2详解】
选条件①②:
因为 又0<B<π，所以
由 得
由 得
即 又c>0，所以
选条件①③:
因为 又0<B<π，所以
由 得
下同选条件①②.
选条件②③:
由 得
即 解得
经检验，符合题意.17. 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区
电动汽车市场各月的销售量数据如下：
10 12
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 11月
月 月
A 地区
29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2
（单位：万辆）
B 地区
7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.0 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1
（单位：万辆）
月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
（1）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量
的概率；
（2）从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1
个月的月销量比低于5的概率；
（3）记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为 ， ，试判断
与 的大小.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由表中数据找出符合的月份个数即可求解.
（2）先由表中数据找出月销量比超过8的月份个数和低于5的月份个数再结合组合分配情况即可求解.
（3）由表中数据和方差定义即可判断.
【小问1详解】
设事件C为“A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量”，
在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的月份为2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9个月，
所以 .
【小问2详解】
设事件D为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1 个月的月销量比低于5”，
在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11月和12月，月销量比低于5的只有1月和2月，
则 .
【小问3详解】
A地区销售量最低有29.4万辆，最高有89.2万辆，数据波动较大；
相比之下B地区销售量最低有7.8万辆，最高有10.4万辆，数据波动幅度较小，变化较为平稳；
故 .
18. 如图，六面体 是直四棱柱 被过点 的平面 所截得到的几何
体， 底面 ，底面 是边长为2的正方形，
（1）求证: ；
（2）求平面. 与平面 的夹角的余弦值；
（3）在线段 DG上是否存在一点 P，使得 若存在，求出 的值；若不存在，说
明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）存在， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得 ，由 ，结合线面垂直的判定定理与性质即可
证明；
（2）建立如图空间直角坐标系 ，利用空间向量法求面面角即可；
（3）设 ，由向量线性运算的坐标表示可得 ，结合 计
算即可求解.
【小问1详解】
连接 ，直四棱柱 ， ，
则点 在平面 内.
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
又底面 为正方形，所以 ，又 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ；
【小问2详解】
为
因 平面 ， 平面 ，所以 ，
又底面 为正方形，所以 ，建立如图空间直角坐标系 ，则 ，故
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，于是 .
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为θ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ；
【小问3详解】
存在一点 使得 平面 ，此时 ，理由如下：
设 ，
则 ，
线段 上存在一点 使得 平面 等价于 ，
即 ，解得 ，所以 .
19. 已知椭圆E的两个顶点分别为 ， ，焦点在x轴上，且椭圆E过点 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点 ，直线BP
与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
的
（i）求点H 坐标（用 ， 表示）；
（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的顶点和椭圆上的点列方程求解即可；
（2）（i）设直线BP的方程为 ，联立方程求得H的坐标即可；
（ii）设直线l的方程为 ，与椭圆方程联立韦达定理，根据三点共线结合两点斜率公式列式化简
得 或 ，从而求解直线恒过的定点.
【小问1详解】
设椭圆E的方程为
由题意得 ，解得 ，所以椭圆E的方程为
【小问2详解】
（i）由题可知： 且 .
设直线BP的方程为 ，直线OC的方程为 .
由 得 ，
所以H的坐标为 .
（ii）由题可知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为 ，
由 得 ，
由于直线l与椭圆E交于不同的两点，
所以 ，
则 ， .由题可知 .
因为A，H，M三点共线，所以 ，化简得 ，
即 .
所以 ，所以 .
化简得 ，即 ，
解得 或 .
当 时，直线l的方程为 ，经过 ，不符合题意.
当 时，直线l的方程为 ，经过 ，
其中 .
综上，直线l经过定点 .
20. 已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求a的值；
（3）若 有两个不同的零点 ，且 ，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）求导可得 ，易知当 时不符合题意；当 时，利用导数研究函数
的单调性可得 ，设 ，利用导数研究函数
的性质即可求解；
（3）易知当 时不符合题意，当 时，易知 不符合题意；若 ，由（2）可知只需
，解之即可.
【小问1详解】
由 ，得 ，
因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
，
①当 时， ，不符合题意.
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ；若 恒成立，则 ，
设 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减，
所以 ，即 的解为 .
所以 ；
【小问3详解】
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以f（x）至多有一个零点，不符合题意；
当 时，因为 ，不妨设 ，
若 ，则 ，不符合题意；
若 ，则 ，
由（2）可知，只需 ，即 ，解得 ，
即a的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需
恒成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用的
导数求得函数 单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数 的图象在 的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成
立.
21. 设 为正整数，集合 对于 ，
设集合 .
（1）若 ，写出集合 ；
（2）若 ，且 满足 令 ，求证：
；
（3）若 ，且 ，求证：
.
【答案】（1） ；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，即可直接写出 ；
（2）由 可得 ，结合 可得 ，即可证明；
（3）若 且 则 ，进而 ，由（2）可知 ，
分类讨论 、 时 与 的大小关系，即可证明.
【小问1详解】
；
【小问2详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
【
小问3详解】
对任意 ，令 ，
若 且 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
对 ，因为 ，
由（2）可知，令 ，则 .
若 ，因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
若 ，则 ，
所以 .
综上， 即 .【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、
运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，
落脚点仍然是集合相关知识..
