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北京市丰台区 2023~2024 学年度第二学期综合练习（一）
高三数学
2024．03
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知公差为 的等差数列 满足： ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线 （ ）的离心率为 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
4. 在二项式 的展开式中， 的系数为（ ）
A. ﹣80 B. ﹣40 C. 40 D. 80
5. 已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 ( )
A. B. C. 2 D. 4
6. 按国际标准，复印纸幅面规格分为 系列和 系列，其中 系列以 ， ，…等来标记纸张的幅面
规格，具体规格标准为：
① 规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ；②将 （ ）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为 规格纸张（如图）．
某班级进行社会实践活动汇报，要用 规格纸张裁剪其他规格纸张．共需 规格纸张40张， 规格纸
张10张， 规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供 规格纸张的张数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 在平面直角坐标系 中，直线 上有且仅有一点 ，使 ，则直线 被圆
的
截得 弦长为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 ，则“ ”是“ 是偶函数，且 是奇函
数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状
的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2
是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于
该半正多面体的四个结论：
①棱长为 ；
②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；
③表面积为 ；
④外接球的体积为 ．其中所有正确结论 的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
10. 已知数列 满足 则（ ）
A. 当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B. 当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C. 当 时，存在正整数 ，当 时，
D. 当 时，对于任意正整数 ，存在 ，使得
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 计算 _______.
12. 在 中，若 ， ， ，则 ________.
13. 已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中点到
轴的距离为__________．
.
14 已知函数 具有下列性质：
①当 时，都有 ；②在区间 上， 单调递增；
③ 是偶函数．
则 ________；函数 可能的一个解析式为 _________．
15. 目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳
体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材
料科技条件下，对于一个 级火箭，在第 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为
，
其中 ．
注： 表示人造天体质量， 表示第 （ ）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时，若 ，则 ．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在直三棱柱 中， ， 为 中点．（1）求证： 平面 ；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知函数 ( )．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 在区间 上单调递减， ，求 的值．
18. 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将
这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：
）
第1组（只） 3 4 1 2 0
第2组（只） 1 3 2 3 1
（1）现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于
的概率；
（2）从两组皮肤疱疹面积在 区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数
的分布列和数学期望 ；
（3）用“ ”表示第 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在 区间内，“ ”表示第 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在 区间内（ ），写出方差 ， 的大小关系．（结论不
要求证明）
19. 已知椭圆 ( )的焦距为 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形的周长为
16．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ．是否存在定点 ，使得
？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．
20. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线为 ，记
．
（1）当 时，求切线 的方程；
的
（2）在（1） 条件下，求函数 的零点并证明 ；
（3）当 时，直接写出函数 的零点个数．（结论不要求证明）
21. 已知集合 （ ， ），若存在数阵 满足：
① ；
② ．
则称集合 为“好集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
（1）已知数阵 是 的一个“好数阵”，试写出 ， ， ， 的值；
（2）若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；（3）判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不
是，说明理由．
