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北京市丰台区 2023~2024 学年度第二学期综合练习（二）
高三数学
2024.04
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由补集和交集的定义求解.
【详解】集合 ，
， ， .
故选：C
2. 在复平面内，复数 的对应点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据题意可得复数 ，然后根据共轭复数的概念，可得结果.
【详解】由题可知：复数 的对应点为 ，则
所以
故选：A
【点睛】本题考查共轭复数以及复数与所对应的点之间的关系，熟悉概念，属基础题.3. 已知数列 对于任意 ，都有 ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别取 ， 然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为数列 对于任意 ，都有 ，
取 ，则 ，
取 ，则 ，则 .
故选：C
4. 下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，再利用相应函数的性质判断ACD选项，利用 判断
B选项即可.
【详解】对于A，因为 ，所以是偶函数，当 时， ，
是反比例函数，在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 ，所以是偶函数，
当 时， ，
， ， 在 上单调递增，故B正确；对于C，因为 ，所以是奇函数，当 时， 不单
调，故C错误；
对于D，因为 ，所以是奇函数，当 时， 不
是单调递增函数，故D错误；
故选：B.
5. 若 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于 ，取 ， ， ，无法得到 ，
，故AB错误，
取 ,则 ，无法得到 ，C错误，
由于 ，则 ，所以 ，
故选：D
6. 已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，能使 成立的一组条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】利用给定条件得到 ，判断A，利用给定条件得到 判断B，举反例判断C，D即可.
【详解】对于A，若 ，则 ，故A错误，
对于B，若 ，则 ，故B正确，
对于C，若 ，则 可能相交，平行或异面，故C错误，
对于D，若 ，则 可能相交，平行或异面，故D错误.
故选：B
7. 已知函数 的导函数是 ，如果函数 的
图像如图所示，那么 的值分别为（ ）
A. 1，0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求导可得 ，从而可得 的解析式，再结合函
数图像代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，
则 ，
则，其中 ，
由图像可知，函数的最大值为 ，即 ，且 ，
所以 ， ，即 ，
又函数过点 ，将点 代入可得 ，
即 ，或 ，
又 ，则当 时，无解，
当 时， ，则 ，
所以 ， .
故选：A
8. 已知曲线 与直线 ，那么下列结论正确的是（ ）
的
A. 当 时，对于任意 ，曲线 与直线 恰有两个公共点
B. 当 时，存在 ，曲线 与直线 恰有三个公共点
C. 当 时，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点
D. 当 时，存在 ，曲线 与直线 恰有三个公共点
【答案】C
【解析】
【分析】根据曲线 的对称性，分别讨论当直线 与曲线 的上、下半部分相切时 的取值即可求解.
【详解】曲线 的图象如图所示，若 ，当直线 与曲线上半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
当直线 与曲线下半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
结合曲线 图象的对称性可得，当 或 时，曲线 与直线 有一个交点，
当 时，曲线 与直线 没有交点，当 或 时，，曲线 与直线 有两个交点，AB
说法错误；
若 ，当直线 与曲线上半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
当直线 与曲线下半部分相切时，由 整理得 ，
由 得 ，
结合曲线 图象的对称性可得，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点，C说法正确，D说
法错误，
故选：C9. 已 知 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 首 项 ， 那 么 “ ” 是 “ 集 合
恰有两个元素”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】依据题意证明充分性成立，举反例否定必要性即可.
【详解】对于充分性，已知等差数列 的公差为 ，首项 ，
当“ ”时，集合 恰有两个元素 ，
故充分性成立，对于必要性，当 时，
“集合 也恰有两个元素”，故必要性不成立，
故“ ”是“集合 恰有两个元素”的充分而不必要条件.
故选：A
10. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口
曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆
（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的轴截面 是等
边三角形，椭圆 所在平面为 ，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得 ，再由相似三角形的相似比结合勾
股定理可分别计算出椭圆的 ，结合椭圆的离心率即可得到结果.
【详解】设 ，由于 ，所以 ，在等边三角形 中，
点 为 的中点，于是 ，在平面 中，由椭圆的对称性可知，
，连接 ，延长 与 交于点 ，
由于 为中点，所以在 中， ，
由勾股定理可得 ，
在 中， ， ， ，由余弦定理可得
，
在 中，由于 ，所以 ，
于是有 ，设椭圆 短轴的两个顶点为 ，连接 分别交圆锥于 ，
由于 ，所以 ，
由于 为圆锥母线，所以 ，
从而有 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
所以在椭圆 中， ， ，
则 ，
则离心率为 .
故选：D
【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键
在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得 ，从而得到结果.
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数 ，那么 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出 ，再求 即可.【详解】易知 ，故 ，
故答案为：1
12. 若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将 展开计算，即可得到结果.
【详解】 ，
所以 .
故答案为：
13. 如图，在正方形 中， ，点 分别为 的中点，点 在 上，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可得 ，即可利用数量积的运
算律求解.
【详解】设 ,则.
故答案为：4
14. 如图，正方体 的棱长为2， 分别为 的中点， 为过直线 的平面
从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结
论是______命题（填“真”或“假”）．
①平面 截该正方体所得截面面积的最大值为 ；
②若正方体的12条棱所在直线与平面 所成的角都等于 ，则 ．
【答案】 ①. ①（答案不唯一） ②. 假（答案不唯一）
【解析】
【分析】选①，根据四边形 的面积即可判断，选②，根据三棱锥 为正三棱锥，利用等
体积法求解 与平面 所成角的正弦值即可求解②.
的
【详解】若选①，平面 是过直线 平面．此时四边形 即为该平面截正方体所得
截面，由于四边形 的面积为 ,故①为假命题，
若选②，由于三棱锥 为正三棱锥，所以 与平面 所成角均相等，故平面
平面 ，
设 到平面 的距离为 ，则所以 与平面 所成角的正弦值为 ，故 ，②为真命题
故答案为：①（答案不唯一），假（答案不唯一）
15. 设函数 给出下列四个结论：
①当 时，函数 在 上单调递减；
②若函数 有且仅有两个零点，则 ；
③当 时，若存在实数 ，使得 ，则 的取值范围为 ；
④已知点 ，函数 的图象上存在两点 ， 关于坐标
原点 的对称点也在函数 的图象上．若 ，则 ．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】根据 时， 即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状
态时 ，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断 ，继而根据对称性联立方程得， ， 根 据 可 得
，代入即可求解④.
【详解】当 时， 时， ，故在 上不是单调递减，①错误；
对于②，当 显然不成立，故 ，
当 时，令 ，即 ，得 ， ，要使 有且
仅有两个零点，则 ，故 ，②正确，
对于③, 当 时, ,此时 在 单调递减，在 单调递增，
如图：
若 ，由 ，故 ，所以 的取值范围为 ；③正
确
对于④,由①③可知： 时，显然不成立,故 ，
要使 ， 关于坐标原点 的对称点也在函数 的图象上，
则只需要 的图象与 有两个不同的交点，如图：故 ，
，
由对称可得 ，
化简可得 ，故 ，
，化简得
所以
由于 均大于0，所以 ， ，
因此
由于 ， 为 单调递增函数，且 ，此时 ，因此 ，④正确，
故答案为：②③④
【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.
16. 已知 满足 ．
（1）求 ；
（2）若 满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
【答案】（1）
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式可得 ，即可求解 ，
（2）选择①②，根据正弦定理可得 与 矛盾，即可求解，选择②③，根据
,故 ， ，这与 矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式
即可求解，选择①③，根据余弦定理可得 ， ，即可由面积公式求解.
【小问1详解】
由 得 ，所以 ,由于 ，所以
【小问2详解】
若选① ，② ，
则 ,
由正弦定理可得 ，这与 矛盾，故不可以选择
①②，
若选① ，③ ，
由余弦定理可得 ，解得 ， ，
此时 ，不满足②，符合题意；
此时 ，
选② ，③ ，
由于 ,
又 ,故 ，
而 ，故 ，这与① 矛盾，因此可以选择②③；
则 ， ，由正弦定理可得 ，
所以 .
17. 在正四棱柱 中， 为 中点，直线 与平面 交于点 ．
（1）证明： 为 的中点；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理判断；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定 点位置，再由空间向量法求二面角．
【小问1详解】
如图，连接 ， ，在正四棱柱 中，
由 与 平行且相等得 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，所以 ， 是 中点，
所以 是 的中点；
【小问2详解】
以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，设 （ ），
则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量是 ，则
，取 ，得 ，
因为直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ，平面 的一个法向量是 ，
为
平面 即 平面 ，则 ，
二面角 为锐角，因此其余弦值为 ．
18. 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行
发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．
某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状
态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．
原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3
0， 0，1， 1，2， 0，2，
解密信息的单光子的偏振状态
1，2 3 3 3
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．
（1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信
息的单光子的偏振状态相同的概率；
（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状
态为1的个数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只
有一种偏振状态的可能性为 ，有两种偏振状态的可能性为 ，有三种偏振状态的可能性为 ，试比较
的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）列出基本事件，再求解概率即可.
（2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可.
（3）依据贝叶斯公式得出结论即可.
【小问1详解】
设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件 ，易知共有3个基本事
件，则 ．
【小问2详解】
的可能取值为 .
， ，
， ，
所以， 的分布列如下：
0 1 2 3
P
．
【小问3详解】
结论：
证明：由窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1可得原始信息只能包含0，1，2，
设原始信息的单光子只有一种偏振状态为事件A，有两种偏振状态为事件B，有三种偏振状态为事件C，
窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1为事件M,
则 ，,
易知 ， ，
，
故 得证.
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求导，代值可得 ，即可求解切线，
（2）求导得 ，对 分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求
解.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，
所以 ，故 在点 处的切线方程为
【小问2详解】
，
当 时，则 ，令 则 ，令 则 ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
故当 ， 取极小值也是最小值，
则 ，
又当 且 ，
故要使函数 有两个零点，只需要 ，解得 ；
当 时，则 ，令 则 ，令 则 ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
故当 ， 取极小值也是最小值，则
，
又当 且 ，
故要使函数 有两个零点，只需要 ，解得 ；
综上可得 或 .20. 已知两点 ，曲线 上的动点 满足 ，直线 与曲线 交
于另一点 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设曲线 与 轴的交点分别为 （点 在点 的左侧，且 不与 重合），直线 与直线
交于点 ．当点 为线段 的中点时，求点 的横坐标．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理 ，即可根据中点关系以及向量共线
得 ，代入韦达定理中即可求解 ，进而可求解.
【小问1详解】
由于 ，
所以 是以 为焦点，以 为长轴长的椭圆，
故 ，
故椭圆方程为 .
【小问2详解】
由于 斜率不为0，故设直线 方程为： ，联立 ，
设 ,则 ，
,
由于点 为线段 的中点，则 ，
又 是直线 与直线 的交点，所以 ,
,故 ，
，
将 代入 可得 ，
故 ，解得 ，
故 ，由 可得 ，
故点 的横坐标为0.
21. 将数列 中项数为平方数的项依次选出构成数列 ，此时数列 中剩下的项构成数列 ；再将数列 中项数为平方数的项依次选出构成数列 ，
剩下的项构成数列 ；…．如此操作下去，将数列 中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列 ．
（1）分别写出数列 的前2项；
（2）记数列 的第 项为 ．求证：当 时， ；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1） 的前2项为3，8； 的前2项为5，11；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）直接利用数列定义求解；
（2）证明 为等差数列即可求解；
（3）先利用数学归纳法证明 进而求得 的
表达式，利用累加法再解方程求解
【小问1详解】
数列 的前2项为3，8；数列 的前2项为5，11；
【小问2详解】
首先 ，当 时， 结论成立；
当 时，对于相邻的两个数列：
1 4 9 16 25 36 49 64
2 6 12 20 30 42 56 723 8 15 24 35 48 63 80
5 11 19 29 41 55 71 89
7 14 23 34 47 62 79 98
10 18 28 40 54 70 88 108
13 22 33 46 61 78 97 118
17 27 39 53 69 87 107 129
因为 都在数列 中，且 在 之前，
所以 在数列 中，必有 ，
所以 ，
所以
所以 构成首项为 ，公差为1的等差数列，
所以
【小问3详解】
由各个数列生成的规则知， 中不可能有两个元素是同一数列的项．
从上面的表格，我们猜想：集合 中的每个元素，且仅是数列 中某
个数列的项.
具体地可概括成结论P：对任意 ，有
下面用数学归纳法证明：
(i)当 时， 由题意数列 的首项分别是2, 3，结论成立；
(ii)假设当 时，结论成立，即对 ，那么由第（2）问的结论知：当 时，
,
,
上式表明，集合 中除了 的每一个
元素都是数列 中的某个数列的项，
还剩下两个元素： ，它们必是数列 的首项，
结果只有 .
根据(1)(2)知，结论P成立.
由结论P可得，数列 的首项为 ， 的首项为 ，
即
另一方面，由第（2）问的结论： 得：
，
，
…
，
相加得： ，
当 时，上式也成立．所以
令 ，则
所以 ．
由 得 ，所以 ，所以 ，
所以 .所以 ，此时 ，所以 ；
令 ，有 ，
．由 得 ，所以 ．
所以 ，所以 无解.
综上，当 时，
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，关键是利用数学归纳法得，进而得到的表达式.
