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北京市丰台区 2023~2024 学年度第二学期综合练习（二）
高三数学
2024.04
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
.
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
的
2. 在复平面内，复数 对应点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列 对于任意 ，都有 ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D.
4. 下列函数中，是偶函数且在区间 上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
的
6. 已知 是两个不同 平面， 是两条不同的直线，能使 成立的一组条件是（ ）A. B.
C. D.
7. 已知函数 的导函数是 ，如果函数 的
图像如图所示，那么 的值分别为（ ）
A. 1，0 B. C. D.
8. 已知曲线 与直线 ，那么下列结论正确的是（ ）
A. 当 时，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点
B. 当 时，存在 ，曲线 与直线 恰有三个公共点
C. 当 时，对于任意的 ，曲线 与直线 恰有两个公共点
D. 当 时，存在 ，曲线 与直线 恰有三个公共点
9. 已 知 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 首 项 ， 那 么 “ ” 是 “ 集 合
恰有两个元素”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口
曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的轴截面 是等
边三角形，椭圆 所在平面为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数 ，那么 ______．
12. 若 ，则 ______．
13. 如图，在正方形 中， ，点 分别为 的中点，点 在 上，则
______．
14. 如图，正方体 的棱长为2， 分别为 的中点， 为过直线 的平面
从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是______（填“①”或“②”），该结
论是______命题（填“真”或“假”）．①平面 截该正方体所得截面面积的最大值为 ；
②若正方体的12条棱所在直线与平面 所成的角都等于 ，则 ．
15. 设函数 给出下列四个结论：
①当 时，函数 在 上单调递减；
②若函数 有且仅有两个零点，则 ；
③当 时，若存在实数 ，使得 ，则 的取值范围为 ；
④已知点 ，函数 的图象上存在两点 ， 关于坐标
原点 的对称点也在函数 的图象上．若 ，则 ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程.
16. 已知 满足 ．
（1）求 ；
的
（2）若 满足条件①、条件②、条件③中 两个，请选择一组这样的两个条件，并求 的
面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．17. 在正四棱柱 中， 为 中点，直线 与平面 交于点 ．
（1）证明： 为 的中点；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
18. 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行
发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．
某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状
态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．
原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3
0， 0，1， 1，2， 0，2，
解密信息的单光子的偏振状态
1，2 3 3 3
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．
的
（1）若发送者发送 原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原
始信息的单光子的偏振状态相同的概率；
（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状
态为1的个数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只
有一种偏振状态的可能性为 ，有两种偏振状态的可能性为 ，有三种偏振状态的可能性为 ，试比较
的大小关系．（结论不要求证明）19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个零点，求 的取值范围．
20. 已知两点 ，曲线 上的动点 满足 ，直线 与曲线 交
于另一点 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设曲线 与 轴的交点分别为 （点 在点 的左侧，且 不与 重合），直线 与直线
交于点 ．当点 为线段 的中点时，求点 的横坐标．
21. 将数列 中项数为平方数的项依次选出构成数列 ，此时数列 中剩下
的项构成数列 ；再将数列 中项数为平方数的项依次选出构成数列 ，
剩下的项构成数列 ；…．如此操作下去，将数列 中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列 ．
（1）分别写出数列 的前2项；
（2）记数列 的第 项为 ．求证：当 时， ；
（3）若，求的值．
