文档文本内容
平谷区 2024—2025 学年度第二学期高三年级质量监控
数学试卷
2025.3
注意事项
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为
120分钟.
2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.
第I卷选择题（共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有，
个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上，）
1. 已知集合 ，则 （ ）
.
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的定义即可求.
【详解】 ，
故选：D
2. 在复平面内，复数 满足 ，则复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
【详解】由 可得 ，故复数z对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B
3. 下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据常见函数的单调性即可逐一求解.
【详解】对于A， ，由于 ，故 在区间 上不是
单调递增的，A错误，
对于B, 在区间 上单调递减，B错误，
对于C,当 时， 单调递增，且值恒为正，故 为单调递减，所以 为
单调递增，C正确，
对于D， 在区间 上单调递增，故 在区间 上单调递减，D错误，
故选：C
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为： ，令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
5. 已知 是平面内两个非零向量， ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.
【详解】若 ， ，
所以 ， ，
当 时， ，当 时， ，此时
故“ ”是“ ”的不充分条件，
因为 ，若 ，则 ，当且仅当
方向相同时取到等号，则 恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“ ”；
综上可知， ，那么“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6. 在等比数列 中， ，记 ，则数列 （
）
A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求出 ，进而结合等差数列的求和公式可得
，设 ，分析可得 ，进而求解判断即
可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，
则 ，解得 ， ，
则 ，
则
，
设 ，则 ，
所以 ，
则 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
则 ，则 为最大项，此时 为正数项，且在正数项中最大；
再由 , ， ，因此 为最小项.
故选：C.
7. 已知函数 ，若 在区间 上没有最值，则 的最大值为（
）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 由 ， 得 ， 进 而 结 合 题 意 可 得
，进而求解即可.
【详解】由 ， ，
则 ，
因为 在区间 上没有最值，
所以 ，
则 ，解得 ，所以 的最大值为 .
故选：A.
8. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为 的扇形蛋
卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总
体积约为（ ）（忽略蛋筒厚度）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形弧长，求得底面半径及高，再由圆锥体积公式即可求解；
【详解】设圆锥底面面积为 ，
由题意可知 ，
所以 ，
设圆锥得高为 ，则 ，
所以圆锥的体积为： ，所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为 ，
故选：D
9. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： ）与时间 （单位：
）间的关系为 ，其中 是正的常数，如果前 消除了 的污染物，那么从消除
的污染物到消除 的污染物大约需要经历（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到 ，求得 ，再设消除 的污染物对应事件为 ，消除 的污染
物对应事件为 ，得到方程 ， ，求解即可；
【详解】由题意可知： ，即 ，即 ，
设消除 的污染物对应事件为 ，即 ，
设消除 的污染物对应事件为 ，即 ，
两式相除可得： ，
即 ，
所以： ，
即从消除 的污染物到消除 的污染物大约需要经历 ，
故选：A
10. 已知函数 ，任取 ，定义集合： ，点 ，满足 .设 分别表示集合 中元素的最大值和最小值，记 .则
函数 的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象， 根据 的位于不同的位置，即可分情况求解.
【详解】如图所示， 的图象，此时，函数的最小正周期为 ，
点 ,
当点 在 点时，点 在曲线 上， ，
当点 在曲线上从 接近 时， 减小，所以 逐渐增大；
当点 在 点时，
当点 在曲线上从 接近 时， 减小， 逐渐减小，
当点 在 点时，
当点 在曲线上从 接近 时， 增大, 逐渐增大，
当点 在 点时，
当点 在曲线上从 接近 时， 增大, 逐渐见减小，
当点 在 点时， ,
综上可得 的最小值是1
故选：B【点睛】关键点点睛：根据点 的位置变化，分别求解 的值.
第II卷非选择题（共110分）
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线
上.）
11. 抛物线 上一点 到准线的距离与到对称轴的距离相等，则 __________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】由抛物线的定义可知，过 作 轴的垂线垂足是焦点，即可得到答案.
【详解】抛物线焦点在 轴上，且焦点 ，故抛物线的对称轴为 轴，
抛物线 上一点 到准线的距离与到对称轴的距离相等，
由抛物线的定义可知，点 到准线的距离与到焦点的距离相等，
所以，若 轴，则垂足为点 ，即 ，
故答案 为：
12. 《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善
织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该
女子织了__________尺布.”
【答案】11
【解析】
【分析】记公差为 ，根据已知求出 再利用等差数列的通项公式求解.【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项 ，记公差为 ，
由题得 ，所以
所以 .
故答案为：11
13. 记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e
的一个值为_________.
【答案】2（注：区间 内任何一个值）
【解析】
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知双曲线的渐近线为 ，离心率 ，
若满足直线 与C无公共点，则需 ，
故答案为：2
14. 已知函数 ，当 时， 的值域是__________，若 有两个极值
点，则 的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】结合二次函数与一次函数的单调性，可得分段函数的单调性，结合值域的概念以及极值点的概念，
建立不等式，可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时， ，
易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ；
当 时， ，易知函数 在 上单调递减，则 .
综上可得 .
由题意可设函数 的两个极值点分别为 ，且 ，
由二次函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
一次函数 ，当 时，在 上单调递减，当 时，在 上单调递增，
易知函数 在 与 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，可得 ，解得 .
故答案为： ； .
15. 已知各项均不为零的数列 ，其前 项和是 ，且 .给出如下结论：
① ；
②若 为递增数列，则 的取值范围是 ；
③存在实数 ，使得 为等比数列；
④ ，使得当 时，总有 .的
其中所有正确结论 序号是__________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据 的递推关系可得 ，所以 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数
列，进而得 ，即可结合选项求解.
【 详 解 】 由 得 ， 相 减 可 得
，
由于 各项均不为零，所以 ，所以 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，
对于①， ，故正确；
对于②，由于 的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以 ，
若 ，则需要 ，则 ，故正
确，
对于③， ，若 为等比数列，则 为常数，则 ，
此时 ，故 ，进而可得数列的项为 显然这不是等比数列，故错误，
对于④，若 ，只要 足够大，一定会有 ，
则 ，只要 足够的大， 趋近于0，
而 ，显然能满足 ，故 ，当 时，总有 ，故正确，
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析 ，在处理涉及隔项数列问题，一般要考
虑分 为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或
最小值问题来处理．
三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 在 中， .
（1）求 的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得 存在且唯一，求 的面积.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 边上的高为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求
解，
（2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解 ，即可利用三角形面积公
式求解，或者利用正弦定理求解 ，进而根据和差角公式求解 ,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解.
【小问1详解】
方法一：由正弦定理 及 ，得
.①
因为 ，
所以 .②
由①②得
因为 ，所以 .
所以 .因为 ，所以 .
方法二：在 中，因为 ，
由余弦定理 得 ，
整理得
所以 ，所以 .
【小问2详解】
若选条件①： ； ，所以 ,而 ，这与 矛盾，故不能选①.
选条件②：
方法一：由余弦定理 ，得即 ，解得 .
所以
方法二：由正弦定理 ，所以 ，因为
，所以 ，
所以 .
选条件③：
边上的高 ，所以 ，
以下与选择条件②相同.
17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等腰直角三角形，
.（1）点 在棱 上，若 平面 ，求证： 为 的中点；
的
（2）求 与平面 所成 角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质，结合平行四边形的定义，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得
答案.
【小问1详解】
在 中，过点 作 交 于点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面.
因为 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 .
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 为 的中点.
【小问2详解】
过 作 于 ，连接 .
因为 ，所以 为 中点，
， ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，所以 ，所以 .
如图建立空间直角坐标系 .
因为 ，
由题意得， ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 .所以平面 的一个法向量为 .
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
又 ，解得 .
所以 与平面 所成的角为 .
18. 某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区
（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下：
抽样人群 阳性人数 阴性人数
患者 36 4非患者 2 58
（1）试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；
（2）若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；
（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果
为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.
【答案】（1）0.94
（2）
（3）超过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可；
（2）设事件 ：患者检测结果正确，事件 ：非患者检测结果正确“，事件 ：该地区的患者和非患者中
分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误，由
求解即可；
（3）求得检测一次结果为阳性的人数，确定其中患者人数，即可判断；
【小问1详解】
由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人，
所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为 .
【小问2详解】
设事件 ：患者检测结果正确，事件 ：非患者检测结果正确“，
的
事件 ：该地区 患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误；
根据题中数据， 可估计为 可估计为
该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为
所以 ，
所以 .
因此恰有一人检测结果错误的概率为
【小问3详解】
此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，
那么结果为阳性的人数为 ，其中患者人数为900.
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，与 轴交于点 ，点 关于 轴的对称点为点 ，直线 与 轴交于点 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意建立 的关系式，求解即得答案；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，写出韦达定理，由直线方程求得交点坐标，可得答案.【小问1详解】
由题意可知： ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
设直线 的方程为 ，点 .
由 得， .
所以 ，即 .
， .
直线 与 轴交于点 ，所以 ，又点 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，①
又因为 ，
代入①式得， ，所以 .
20. 已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求 的单调区间；
（3）当 变化时，曲线 在点 处的切线斜率能否为1？若能，求 的值，若不能，说明
理由.
【答案】（1）
（2） 的单调减区间为 ，无增区间.
（3）能，
【解析】
【分析】（1）利用导数求得 ，利用点斜式方程可求切线方程；
（2）求导得 ，令 ，求导得 ，可得结
论；
（3）由题意判断方程 的解的情况，令 求导可得结论.
【小问1详解】
当 时，则 ，
，，
所以在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
当 时，函数 的定义域是 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 时为增函数，在 上为减函数， 在 处取得最大值，
又 ，故 恒成立，
所以 的单调减区间为 ，无增区间.
【小问3详解】
由题意知，因为 ，
所以 ，即有 ，
令
则 ，故 是 上的增函数，又 ，因此0是 的唯一零点，
即方程 有唯一实根0，所以 .
所以曲线 在点 处的切线斜率能为1，此时 .
21. 对于数列 ，若满足 ，则称数列 为“ 数列”.定义变换 ，
若 ，将 变成0，1，若 ，将 变成1，0，得到新的“ 数列”.设 是“ 数列”，
令 .
（1）若数列 ，求数列 ；
（2）若数列 共有10项，则数列 中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
（3）若 为0，1，记数列 中连续两项都是0的数对个数为 .求 关于 的表达式.
【答案】（1）
（2）至少有19对，理由见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据变换 的定义，逆向推导即可；
（2）根据 中每个1和0在 中的对应情况，即可求解和证明；
（3）对参数 分类讨论，结合变换 的定义以及等比数列求和，即可求得结果.
【小问1详解】
由变换 的定义可得 .
【小问2详解】
数列 中连续两项相等的数对至多有19对.
证明：对于任意一个“ 数列” 中每一个1在 中对应连续四项 ，在 中每一个0在 中对应的连续四项为 ，
因此，共有10项的“ 数列” 中的每一个项在 中都会对应一个连续相等的数对，
在 中若出现连续两项的数对最多，
对于 中的每一个第 项和第 项之间产生一个连续相等的数对，
所以 中至多有19对连续相等的数对.
比如：取 ，则
.
【小问3详解】
设 中有 个0，1数对，
中的“0，0”数对只能由 中的“0，1”数对得到，所以 ，
中的“0，1”数对有两个产生途径：①由 中的1得到；②由 中“0，0”得到，
由变换 的定义及 可得 中0和1的个数总相等，且共有 个.
所以 ，得 ，
由 可得 ，
所以 ，
当 时，
若 为偶数， ．
上述各式相加可得 ，
经检验， 时，也满足 ．若 为奇数， ．
上述各式相加可得 ，
经检验， 时，也满足 ．
所以 ．
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，
通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地
证明更新的性质.
