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西城区高三统一测试试卷
数学
2025.4
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，那么集合 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合 、 ，利用并集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ， ，所以， .
故选：A.
2. 下列函数中，图像关于 轴对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.
【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为 ，A选项错误；
B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；
C选项，因为 ，所以函数为偶函数，图像关于 轴对称，C选项正确；D选项，函数定义域为 ，不是偶函数，D选项错误.
故选：C.
3. 在 的展开式中， 的系数等于（ ）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】应用二项式定理写出展开式的通项，进而求 的系数.
【详解】由题设，二项式展开式通项为 ， ，
令 ，则 ，即 的系数等于24.
故选：D
4. 在长方形 中， 为 的中点， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，则 ，分析可知 ，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式
可求得 的值.
【详解】设 ，则 ，如下图所示：因为 ， ， ，所以， ，
所以， ，故 ，
因此， .
故选：B.
5. 在平面直角坐标系 中，若从点 发出的光线经过点 ，且被 轴反射后将圆
平分，则实数 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】点 关于 轴的对称点为 ，分析可知，点 、 、圆心 三点共线，结合
可求得 的值.
【详解】如下图所示：点 关于 轴的对称点为 ，
由对称性可知，点 、 、圆心 三点共线，则 ，即 ，解得 .
故选：A.
6. 设直线 平面 ，平面 平面 直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定、性质及充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】已知直线 平面 ，平面 平面 直线 ，
若 ，由 平面 ，则 ；
若 ，此时得不到 ，直线 可能与平面 斜交，如下图：
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知函数 ．若 ，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数 的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解.
【详解】因为 ，则该函数的最小正周期为 ，
由 可得 ，
所以，函数 的对称轴方程为 ，
因为 ，则 或 ，
故选：B.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若双曲线上存在点 ，使得
，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出双曲线的草图，结合图形和双曲线的定义可得到 ，再根据双曲线的离心率
公式和性质即可求解.
【详解】由题意可知：双曲线 的焦点在 轴上，点 在双曲线的右支上.
结合题意，由双曲线的定义可得： ，
因为 ，所以 ，
又因 为，
所以 ，解得： ，又因为双曲线的离心率 ，所以 .
故选：C.
9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六
边形网格图，如图所示．设 为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点， 为两个固定顶点，则
的最大值为（ ）
A. 44 B. 48
C. 72 D. 76
【答案】B
【解析】
【分析】利用坐标法可得 ，设点 到原点的距离为 ，则 的最大值
为 ，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离
公式即可求解.
【详解】设点 ，正六边形的边长为4，
所以 ，所以 ，
所以 ，
设点 到原点的距离为 ，则 的最大值为 ，
由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，
如图，可取 ，
所以 ，
即 的最大值为48.
故选： .
10. 设等比数列 的前 项和为 ，前 项的乘积为 ．若 ，则（ ）
A. 无最小值， 无最大值 B. 有最小值， 无最大值
C. 无最小值， 有最大值 D. 有最小值， 有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本量法，可求出公比 满足 ，根据前 项和与前 项积的定义进行讨论计算，
可以得出 有最小值，而 有最大值.
【详解】由已知， 是等比数列， ，即 ，可得 ，若 ，则 ，可计算当 时， ，
结合 ，可得 即 为 的最小值，
同理，当 ， ，当 ， ，可知 的最小值为 ，
综上可得， 有最小值.
由 可得， ，
根据等比数列的性质， ，必有 满足对于所有 ， ，
因为 一定是正负交替出现，可得 一定存在最大值.
综上，对于满足已知条件的等比数列 ，满足 有最小值， 有最大值.
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设 为虚数单位，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘除法运算法则计算即可.
【详解】 .
故答案为： .
12. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则抛物线 上一点 到 的距离为________．
【答案】3
【解析】【分析】先求出 ，然后得出抛物线的准线方程，即可得出答案.
【详解】由题可得 ，所以 ，
所以准线 ，所以 上一点 到 的距离为 ，
故答案为：3.
13. 设平面向量 ， ， ，且 ，则使得向量 与 共线的一组值
________， ________．
【答案】 ①. （答案不唯一，填 也对） ②. （答案不唯一，第一空填 ，则第二空填 ，
第一空填 ，则第二空填 ）
【解析】
【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求 ， 的关系，由此可得结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
因 为， ，所以 ，
又向量 与 共线， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
故答案为： ； （答 ； 也对）14. 端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有
三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体 ，如图所示．
设棱 的长为 ，其余的棱长均为 ，则该四角粽的表面积为________ ，内含食物的体
积为________ ．（粽叶的厚度忽略不计）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求
解.
【详解】 ,
所以 为锐角，所以 ，
该四角粽的表面积
，
取 中点为 ，连接 ，
则 ,所以 ,即 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
内含食物的体积为 .
故答案为： ； .
15. 记 表示不超过实数 的最大整数．设函数 ，有以下四个结论：
①函数 为单调函数；
②对于任意的 ， 或 ；
③集合 （ 为常数）中有且仅有一个元素；
④满足 的点 构成的区域的面积为8．
其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①利用定义法证明单调性；②分 和 两种情况讨论；③求出 和
时 的值域，结合单调性可知，当 取值域未包含的值时，集合为空集；④令 ，
，其中 ， ，将问题转化为 ，找出符合题意的单位正方形，即可
求出区域面积.
【详解】 ，且 ，则 ，则
，即 ，
则 在 上单调递增，故①正确；当 ， 时， ，
故当 时， ，有 ， ，
此时 ，
当 时， ， ， ，此时 ，
故②正确；
当 时， ，当 时， ，结合 在 上单调递增可
知，当 时，方程 无解，故集合为空集，故③错误；
设 ， ，其中 ， ，则 ，因
，则 ，
则 ，
在每个单位正方形 内， 的值从 到 ，但不包括
，因此在 的区域内的每个单位正方形内， 的点 构成的区域面
积为1，
由于 的区域内的单位正方形有 个 ，因此满足
的点 构成的区域面积为图中 的面积8.
故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
在
16. 如图， 多面体 中， 平面 ，平面 平面 ， ，
于点 ．
（1）求证： ；
（2）设 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证 平面 ，再利用线面平行的性质定理即可；
（2）以 为原点建系，计算平面 的法向量，再利用向量夹角的余弦公式求 ，最后利用线
面角与向量夹角之间的关系求即可.
【小问1详解】
如图，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
为
又因 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，【小问2详解】
在平面 内过点 作 ．
因为 平面 ，所以 平面 ，
因 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
又因为 ，平面 平面 ，则 平面 ，
所以 ， ， 两两互相垂直．
以 为原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ，
， ， ，
， ， ， ，
由题意，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，于是 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．17. 在 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，
求 边上的高．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出 的值；
（2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角 的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可
值条件①，不符合要求；
选择条件②，求出 的值，利用余弦定理可求出 的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可
求出边 上的高；
选择条件③；求出 、 的值，利用两角和的正弦公式可求出 的值，利用正弦定理求出 的
值，进而可得出边 上的高为 ，求解即可；
【小问1详解】
由正弦定理 ，且 ，得 ，即 ．
由 ，得 ．所以 ．
由 ，得 ，所以 ．
【小问2详解】
选择条件①：因为 ，且余弦函数 在 上单调递减，
故 ，又因为 ，从而可得 ，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.
选择条件②：由 ，且 ，得 ．
由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （舍）．
设边 上的高为 ，则三角形面积 ，
所以 ．
选择条件③：由 ，且 ，得 ．
由 ，且 ，得 ．
所以 ．
由正弦定理，得 ，所以边 上的高 ．18. 发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，
某地统计了辖区内从 年至 年这 年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：
百辆）：
在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为 ．
（1）从 年至 年这 年中随机抽取 年，求该年 值超过 的概率；
（2）现从 年至 年这 年中依次随机抽取，每次抽取 个年份，若该年的 值超过 ，则停
止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到 值超过 的年份．记抽取的次数为 ，求 的分
布列和数学期望；
（3）记 年至 年这 年新能源汽车销量数据的方差为 ，且这 年纯电动汽车销量数据的方差
为 ，写出 与 的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）求出各年的 值，利用古典概型概率公式求结论；
（2）确定随机变量 的可能取值，再求 取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；
（3）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可.
【小问1详解】
设从 年至 年这 年中随机抽取1年，且该年的 值超过 为事件 ，
由图表知，
年的 值为 ， 年的 值为 ，
年 的值为 ， 年的 值为 ，
年的 值为 ， 年的 值为 ，
年的 值为 ， 年的 值为 ，
所以在 年至 年这 年中，有且仅有 年至 年这 年的 值超过 ，
所以 ．
【小问2详解】
由图表知，在 年至 年这 年中， 值超过 的有 年，
所以随机变量 的所有可能取值为 ， ， ．
则 ， ， ．
所以 的分布列为：
故 的数学期望 ．
【小问3详解】从 年至 年这 年新能源汽车销量数据的平均数为
，
所以从 年至 年这 年新能源汽车销量数据的方差
，
所以
从 年至 年这 年纯电动汽车销量数据的平均数为
，
从 年至 年这 年纯电动汽车销量数据的方差
，
所以 ，
所以 .
19. 已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 上一点，且点 到椭圆 的两个焦
点的距离之和等于 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 关于原点 的对称点为 ，过点 与 垂直的直线与椭圆 的另一个交点为 ， 轴
于点 ，直线 与 轴交于点 ．用 与 分别表示 与 的面积，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆性质，已知离心率 、长轴 以及 ，通过解方程组就能
得出 、 的值，进而得到椭圆方程.
（2）先设点 、 、 坐标，再设直线 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 、 表达式.
因为 ，根据向量垂直性质得到 ，解出 与 的关系.排除直线 过原点的情况
后，确定 时直线 方程，求出点 坐标，最后根据三角形面积公式得出 .
【小问1详解】
由题意，得 解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
【小问2详解】
由题意，设点 ，则点 ， ．
设直线 的方程为 ， ．由 得
．所以 ， ， ，
故 ， ．
又因为 ，
所以 ，
去分母化简得到 ，所以 或 ．
当 时，直线 过原点，不符合题意．
当 时，直线 的方程为 ，则点 坐标为 ，
所以 ， ．
故 .
20. 已知函数 ，其中 ．
（1）若曲线 在点 处的切线的斜率为2，求 的值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）设函数 在区间 上的最大值和最小值分别为 ， ，求使得不等式
成立的 的最小值．【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导，分 和 两种情况讨论求解即可；
（3）结合（2）易得函数 在 上单调递增，再结合题设将问题转化为 ，
令 ，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【小问1详解】
由 ，则 ，
则 ，解得 ．
【小问2详解】
由 ，则 ，
当 时， ，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，令 ，得 ，
若 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
若 ，由 ，得 ；由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
【小问3详解】
由（2）知，当 时，函数 在区间 单调递增，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，则函数 在 上单调递增；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，则函数 在 上单调递增.
综上所述，函数 在 上单调递增，
所以 ．
由 ，得 ，
令 ，则 ，
由 ，得 或 ．
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
又因为 ， ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ．
即当且仅当 时， 恒成立，
所以使得 成立的 的最小值为2．
21. 如图，设 是由 个实数组成的 行 列的数表，其中 表示位于第 行第 列的实数，且
满足 与 均是公差不为 的等差数列．
…
…
…
…
若根据条件 ，能求出数表 中所有的数，则称 能被 确定．
（1）已知 ，分别根据下列条件，直接判断数表 能否被其确定：
条件 “已知 ”；
条件 “已知 ”．
（2）设条件 “任意给定数表 中的 个数”， 能被 确定，证明： 的最小值为 ；
（3）设条件 “已知集合 或 其中 中的任意 个元素”，求 的最
小值，使得 能被 确定．
【答案】（1）数表 不能被 确定，数表 能被 确定
（2）证明见解析 （3）
【解析】【分析】（1）根据题中定义直接判断即可；
（2）对于一个公差为 的等差数列 ，若知其中两项 与 ，便可根据
， 求出该等差数列中的每一项．分析可知，数表 中每一列都至少有两个数
已知，由此可得出 的最小值；
（3）先讨论 ，结合（1）中的结论可判断 不成立，再讨论 ，通过等差数列的定义进
行逻辑推理，可推断出数表 能被确定，由此可得出 的最小值.
【小问1详解】
数表 不能被 确定；数表 能被 确定．
对于条件 ，假设数表 中每行、每列的公差都相等，均为 ，
则 ， ， ，
则 ，
、 均无法确定，故数表 不能被 确定；
对于条件 ，因为 、 确定，可以根据 确定 ，则第二行可以全部确定，
对于第二列，由于确定 ，结合 可确定第二列的公差，进而可求出 ，则第二列可以全部确定，
对于第三行，由于确定了 ，结合 可求出第三行的公差，由此可确定 ，则第三行可以全部确定，
对于第一列，由于确定了 、 ，可以求出第一列的公差，由此可确定 ，则第一列可以全部确定，
综上所述，数表 可由条件 确定.
【小问2详解】
对于一个公差为 的等差数列 ，若知其中两项 与 ，便可根据 ， 求出该等差数列中的每一项．
故对于数表 中的任意一行（或列），若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行（或列）中的所有数．
一方面，若知 这 个数，则无法求出 ，故不能得出数表 中所有的
数，
所以 ．
另一方面，若知数表 中的任意 个数，则必存在表 中的两行，且这两行中至少有两个数已知，
于是数表 中这两行的数都能被求出，即数表 中每一列都至少有两个数已知，
所以数表 中所有的数都能求出，即 能被 确定．
综上， 的最小值为 ．
【小问3详解】
当 时，若知 中的 个数，则不能求出 中所有的数．
当 时，已知 与 中的任意 个数，
则必存在两个数在 中位于同一行（记为第 行），从而可求出这一行中的所有数．
因为 与 中至多有两个数在同一行，
所以除去第 行的两个数外，余下已知的 个数必在其余的 行中．
当 时，通过列举可知：余下已知的2个数不在同一列中（所在列分别记为第 列和第 列）；
当 时， ，
因为在 与 中至多有两个数在同一列，
所以至少有两列（记为第 列和第 列）中含有这已知的 数中的数．
又因为第 行的数均已得到，
所以在第 列与第 列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出，
于是数表 中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表 中所有的数．
综上， 的最小值为 ．
