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2024—2025 学年高考适应性测试
数学
2025.05
本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. B. 2 C. D.
3. 已知直线 ： 与圆 ： ，则（ ）
A. 与 相离 B. 与 相切
C. 平分 D. 与 相交但不平分
4. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. 1 C. 或1 D. 4
5. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，与 轴平行的直线与 和 分别交于 ， 两点，且
，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 46. 已知函数 ，函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
7. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作
的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 ，作一个等边三角形 ，然后以点B为圆心，
为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心， 为半径逆时
针画圆弧交线段 的延长线于点E，再以点A为圆心， 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到
的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列{a}满足a =sina，n∈N*，则“a≥0”是“任意n∈N*，都有a ≤a”的（ ）
n n+1 n 1 n+1 n
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除
中，底面 是正方形， ∥平面 ， ，其余棱长都为 ，则这个几何体的
体积为（ ）
A. B. C. D.10. 已知定义在 上的函数 满足如下三个条件：
① ，有 ；
② ，有 ；
③ ， ．
则下列说法正确的是（ ）
A. ，有 ，
B. ，有 ，
C. 函数 的递减区间为 ，
D. 当 时，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中 项的系数为______．
12. 若双曲线 （ ）的一条渐近线方程为 ，则 ______．
13. 已知函数 （ ）， ， ，且 的最小
值为 ，则 ______， ______．
14. 已知函数 .若 的最小值为 ，则 的一个取值为______； 的
最大值为______．
15. 已知数列 的前 项和为 ， 且 （ ），给出下列四个结论：①长度为 ， ，1 的三条线段可以围成一个内角为 的三角形；
② ， ；
③ ， ；
④ ．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，角 的角平分线交 于点 ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，角 的角平分线为 ，求 的长．
17. 如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，且 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角
的正弦值．
条件①：平面 平面 ；条件②：三棱柱 的体积为 ；
条件③：三棱锥 是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后
随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
软件 软件
试题类别
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
函数试题 30 24 20 18
几何试题 20 16 30 20
（1）估计 软件能正确解答数学问题的概率；
（2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2
道，几何1道；使用 软件解答2道函数试题，使用 软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软
件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用 表示3道类似试题被正确解答的个数，求
的分布列与数学期望；
（3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），
但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为 ，几何题的概率为 ．假设用频率估计概
率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明）
19. 已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 ，过左焦点 作两条互相垂直的直线
， ，分别交椭圆 于 ， 和 ， 四点．设 ， 的中点分别为 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
20. 已知函数 ，其中 ．（1）求 的单调区间；
（2）若 恒成立．
①求实数 的值；
②判断方程 的根的个数，并说明理由．
21. 若项数为 且 的有穷数列 满足： ，则称数列
具有“性质 ”．
（1）判断下列数列是否具有“性质 ”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）设 ，2， ， ，若数列 具有“性质 ”，且各项互不相同．求证：
“数列 为等差数列”的充要条件是“数列 为常数列”；
（3）已知数列 具有“性质 ”．若存在数列 ，使得数列 是连续 个正整数1，2， ，
的一个排列，且 ，求 的所有可能的值．
