文档内容
安徽省合肥市部分学校 2024 届高三下学期高考适应性考试数学试题
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知 ，则
A． B． C． D．
3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，
发现本次言语表达测试成绩服从 ，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为
参考数据：
A． B． C． D．
5．某银行大额存款的年利率为 ，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得
到的本利和约为（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
6．已知定义在 上的偶函数 满足 且 ，则
学科网（北京）股份有限公司A．4049 B．2025 C．4048 D．2024
7．已知双曲线 的右焦点为 ，圆 与 的渐近线在第二象限
的交点为 ，若 ，则 的离心率为
A．2 B． C．3 D．
8．如图，正四面体ABCD的棱长为 是以 为直角顶点的等腰直角三角形．现以AD为轴，点
绕AD旋转一周，当三棱锥 的体积最小时，直线CE与平面BCD所成角为 ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知 是函数 的两个零点，且 的最小值是 ，则
A． 在 上单调递增 B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D． 在 上仅有1个零点
10．已知实数a，b满足 ，则
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司11．椭圆 的两个焦点分别为 ，则下列说法正确的是
A．过点 的直线与椭圆 交于A，B两点，则 的周长为8
B．若 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围为
C．若直线 与 恒有公共点，则 的取值范围为
D．若 为 上一点， ，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，则 ______.
13． 中，若 ，则 ______.
14．若对 恒成立，则实数 的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设数列 的前 项和为 ，已知 是公差为2的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 项和 ，求证： ．
16．（本小题满分15分）
在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：
一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；
二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、
不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；
三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤．
下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：
合格 不合格 合计
男性 10 50
女性 20
合计 70 100
学科网（北京）股份有限公司（1）根据此表依据 的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?
（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导．已知经过一段时间
指导后，女生成绩合格的概率为 ，男生合格的概率为 ，求这3人经过指导后成绩合格总人数 的分
布列和数学期望．
参考公式：①相关性检验的临界值表：
0.10 0.05 0.10
2.706 3.841 6.635
② ，其中 ．
17．（本小题满分15分）
如图，在矩形纸片ABCD中， ，沿AC将 折起，使点 到达点 的位置，点 在
平面ABC的射影 落在边AB上.
（1）求AH的长度；
（2）若M是棱PC上的一个动点，是否存在点 ，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为 ?若存
在，求出CM的长；若不存在，说明理由.
18．（本小题满分17分）
已知平面上一动点P到定点 的距离比到定直线 的距离小2023，记动点 的轨迹为曲线
．
（1）求 的方程；
（2）已知直线 与曲线 交于M，N两点， 是线段MN的中点，点 在直线 上，
且AT垂直于 轴．设点 在抛物线 上，BP，BQ是 的两条切线，P，Q是切点．若
，且A，B位于 轴两侧，求 的值．
学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，函数 在区间 内有唯一的极值点 ．
①求实数 的取值范围；
②求证： 在区间 内有唯一的零点 ，且 ．
学科网（北京）股份有限公司2024 年安徽省高考适应性考试
数学试卷参考答案、提示及评分细则
1．B ，所以 ．故选B．
2．D 设 ，则 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以 解得 所以 ．故选D．
3．D 设圆锥的底面圆半径为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 ，
则圆锥的高 ，所以该圆锥的体积为 ．故选
D．
4．A 依题意 ，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为
．故选A．
5．B 存入大额存款10万元，按照复利计算，可得每年末本利和是以10为首项， 为公比的等比
数列，所以本利和 ．故
选B．
6．A 由 ，令 ，得 ，又令 得 ，再令
，又 ，所以 ，又
，所以
为 的一个周期，
．故选A．
学科网（北京）股份有限公司7．C 如图，根据题意可得 ，所以 ，又
，且显然 为锐角，所以 ，
，在
中，由正弦定理可得 ，即 ，化简得 ，所以 的离心
率为 ．故选C．
8．D 在正四面体ABCD中，取BC的中点 ，连接DF，AF，则 ，取AD的中点 ，连接
FM，EM，则 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体ABCD的棱长为2，则
，且 ．点 绕AD旋转一周，形成的图形为以 为圆心，以1为半径的圆，
设该圆与MF的交点为 ，当三棱锥 的体积最小时，即 点到底面BCD的距离最小，即此时
点即位于 处．因为 ，则 ，设点 在底面
BCD上的射影为 ，则 ，又 ，BC的中点为 ，
故 ，故 ，由于点 在底面BCD上的射影
学科网（北京）股份有限公司为 ，故 即为直线 与平面BCD所成角 ，故
．故选D．
9．ABD 由题意可知，函数 的最小正周期 ．对于 ，
当 时， 在 上单调递增，故A正确；对于B，
的图象关于直线 对称，故B正确；对于C，
，故C错误；对于D，当 时， ，仅当
，即 时， ，故D正确．故选ABD．
10． 对于 ，故A错误；对于 ，则
，故B正确；对于 ，令 ，当 时， 单调
递增，因为 ，则 ，得 ，即 ，所以 ，
故C正确；对于D，函数 在 上单调递增，因为 ，则 ，即
学科网（北京）股份有限公司，所以 ，故D正确．故选BCD．
11． 对于 ，由椭圆定义可得 的周长为 ，
但焦点不一定在 轴上，故 错误；对于 ，若 ，则 ，当 位于短轴顶点时，
最大，此时 ，即 ．当 时，由 ，解得
；当 时，由 ，解得 ，故B正确；对于C，直线 过定
点 ，所以 ，即 ，又 ，所以 的取值范围为 ，故C错误；对于
D，设 ，所以 ，当 时，
，故D正确．故选BD．
12． 由 ，得 ，整理得 ，解得
（舍）或 ，所以 ．
13． 由 得 ，即 ，所
以 ．由 得 ，即 ．设 为线段
AB上靠近 的四等分点，则 ．设 ，则 ，所以
，所以
学科网（北京）股份有限公司14． 可变形为 ，即 ，所以
，即 ，由 ，得 ，即
构造函数 ，则 ，且原不等式等价于
，当 时，原不等式显然成立；当 时，因为
在 上单调递增，所以 ，解得 ．令 ，则
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 是 的极小值，
也是 的最小值，且 ，于是 ，故 的取值范围为 ．
15．（1）解：因为 ，所以 ，………………………………………………………1分
所以 ，即 ．……………………………………………………3分
当 时， ，………………………………………5分
又 适合上式，
所以 ．………………………………………………………………………………………………6分
（2）证明： ……………8分
故 ……………………10分
而 关于 单调递增，所以 ，…………………………………………………12分
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，
所以 ．……………………………………………………………………………………………13分
16．解：（1）完成表格如下：
合格 不合格 合计
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
……………………………………………………………………………………………………………………2分
零假设 ：高中生游泳水平与性别无关，
，…………………………………………………5分
依据 的独立性检验，我们有充分的理由认为 不成立，即高中生游泳水平与性别有关．
…………………………………………………………………………………………………………………7分
（2）依题意， 的所有可能取值为0，1，2，3，
,
所以 的分布列为：
0 1 2 3
……………………………………………………………………………………………………………………12分
数学期望 ．……………………………………………………15分
17．解：（1）作 ，垂足为 ，连接EH，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司由点 在平面ABC的射影 落在边AB上可得 平面ABC，
又 平面ABC，所以 …………………………………………………………………………2分
因为 ，且 平面PHE，
所以 平面PHE，…………………………………………………………………………………………3分
又 平面PHE，所以 ，
又因为ABCD为矩形， ，可得 ．………………………………………………4分
由 ，可得 ，
所以 ．………………………………………………6分
由 可得 ，则 ，
即AH的长度为1.………………………………………………………………………………………………7分
（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点 且平行于BC的直线为 轴，分别以HB，HP所在直线为
x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，设 ，
所以 ，所以 …………………………9分
易知 ，
设平面AMB的一个法向量为 ，则
学科网（北京）股份有限公司由 取 ，则 …………………10分
设平面PBC的一个法向量为 ，则
由 取 ,则 ,……………………………………………………11分
由 ,整理可得 ,
解得 （舍）或 ，…………………………………………………………………………………13分
因此 ，即 ．
所以存在点 ，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为 ，此时CM的长度为 ．…………15分
18．解：（1）因为点 到定点 的距离比到定直线 的距离小2023，
所以点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，
由抛物线的定义可知，点 的轨迹是以定点 为焦点，定直线 为准线的抛物线，
所以 的方程为 ．……………………………………………………………………………………4分
（2）设 ，联立 消去 得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，则 ．………………………………………………………………………6分
因为 ，所以直线AB的方程为 ，即 ，
联立 消去 得 ，解得 或 ，
学科网（北京）股份有限公司又A，B位于 轴两侧，故 ．…………………………………………………………7分
设点 在抛物线 上，又由 ，得 ，
则 在点 处的切线方程为 ，
整理得 ，………………………………………………………………………………8分
设 ，则 在 与 处的切线方程分别为 与
，
又两条切线都过点 ，则 ，
则直线PQ的方程为 ，
即 ，……………………………………………………………………………………10分
又 ，点 的坐标适合方程 ，所以点 在直线PQ上．
由 是线段MN的中点，得 ，
而 ，
则 ．………………………………………………………………………………12分
学科网（北京）股份有限公司联立 消去 得 ，
则 ………………………………………………………………………13分
………………………………………………16分
所以 ．………………………………………………………………………………………17分
19．（1）解：当 时， ，则 ，…………………………1分
所以 ，…………………………………………………………………………………2分
故曲线 在点 处的切线方程为 ．…………………………………………3分
（2）①解：函数 ，
（ⅰ）当 时， ，所以 ，
则 在 上单调递增，没有极值点，不合题意；…………………………………………5分
（ⅱ）当 时，设 ，则 在 上恒成立，所以
在 上单调递增，即 在 上单调递增，………………………………………………6分
又 ，所以 在 上有唯一零点 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 在区间 内有唯一极值．点，符合题意．
综上， 的取值范围是 ．………………………………………………………………………………8分
②证明：由①知 ，当 时， ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增，
所以 时， ，则 ……………………………………………………9分
又因为 ，
所以 在 上有唯一零点 ，即 在 上有唯一零点 ．…………………………10分
由①知 ，所以 ，
则
…………………………………………………………………12分
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
在 上单调递增，又 ，所以 ，……………………………………………15分
又 时， ，所以 ，所以 ．
由前面讨论知 在 单调递增，所以 …………………17分
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