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专题三 电场和磁场
第8 讲 电场及带电粒子在电场中的运动
一．带电粒子在电场中的加速
1．（2023•浙江模拟）卫星在一定高度绕地心做圆周运动时，由于极其微弱的阻力等因素的影响，在若干
年的运行时间中，卫星高度会发生变化（可达15km 之多），利用离子推进器可以对卫星进行轨道高度、
姿态的调整。离子推进器是利用电场将处在等离子状态的“工质”加速后向后喷出而获得前进的动力，原
理如图所示：进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B 之间的匀强电场（离子初速度忽略
不计），A、B 间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中推进器获得恒定的推力。设单位时
间内飘入的正离子数目为n，离子质量为m，电荷量为q，加速正离子束所消耗的功率为P，引擎获得的推
力为F，下列说法正确的是（ ）
A．正离子经加速后由B 处喷出形成的等效电流大小
B．离子推进器获得的平均推力大小
C．加速正离子束所消耗的功率P＝nqU
D．为提高能量的转换效率，要使
尽量大，可以使用比荷更大的正离子作为推进器
变式一：（多选）2．（2024•成都模拟）如图，平行板电容器与电压为U 的直流恒压电源相连，改变电容
器板间距离d，待电路稳定后，带正电的粒子质量为m、电荷量为q，从靠近左板处由静止释放，测得粒子
从出发至右板所用的时间为t，到达右板的速度大小为v，重复上述过程，完成多次实验。板间电场可视为
匀强电场，粒子所受重力忽略不计。下列图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式二：（多选）3．（2023•浙江模拟）如图所示，两条完全相同的圆弧形材料AOB 和COD，圆弧对应
的圆心角都为120°，圆弧AOB 在竖直平面内，圆弧COD 在水平面内，以O 点为坐标原点、水平向右为x
轴正方向，两弧形材料均匀分布正电荷，P 点为两段圆弧的圆心，已知P 点处的电场强度为E0、电势为
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φ0，设圆弧AO 在圆心P 处产生的电场强度大小为E，产生的电势为φ，选无穷远的电势为零，以下说法
正确的是（ ）
A．
B．
C．将质子 （比荷
从 P 点无初速释放，则质子的最大速度为
D．若两段弧形材料带上的是等量异种电荷，则 x 轴上各点电场强度为零，电势为零
二．带电粒子在电场中的偏转
4．（2023•海淀区校级模拟）如图所示，场强大小为E，方向竖直向下的匀强电场中有一矩形区域abcd，
水平边ab 长为s，竖直边ad 长为h。质量均为m，带电量分别为+q 和﹣q 的两粒子，由a，c 两点先后沿ab
和cd 方向以速率v0进入矩形区域（两粒子不同时出现在电场中）。不计重力，若两粒子轨迹恰好相切，
则v0等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式一：5．（2024•青羊区校级模拟）如图所示，M、N 是两块水平放置的平行金属板，R0为定值电阻，
R1和R2为可变电阻，开关S 闭合。质量为m 的带负电荷的微粒（不计重力）从P 点以水平速度v0射入金
属板间，沿曲线打在N 板上的O 点。若经下列调整后，微粒仍从P 点以水平速度v0射入，则关于微粒打在
N 板上的位置说法正确的是（ ）
A．保持开关S 闭合，增大R1粒子打在O 点左侧
B．保持开关S 闭合，增大R2粒子打在O 点左侧
C．断开开关S，M 极板稍微上移，粒子打在O 点右侧
D．断开开关S，N 极板稍微下移，粒子打在O 点右侧
变式二：6．（2023•黄山模拟）如图所示，平行板电容器水平放置，上极板带正电、下极板带负电并接
2
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地，一质量为m 电荷量为q 的带正电粒子a 从两板左端中点入射，入射速度正对上极板中点A，已知板长
为2d，板间距离为d，两板间电压为U，粒子重力不计且运动过程中不与极板碰撞，则（ ）
A．粒子a 射入电场时电势能为Uq
B．粒子a 在电场内运动过程中电势能最大时动能为零
C．若粒子a 从下极板右边缘射出，其在运动过程中电势能最大值为
Uq
D．若粒子a 射出点与射入点在同一水平线上，则其在电场中运动时间为
三．带电粒子在重力场和电场复合场中的运动
（多选）7．（2024•青羊区校级模拟）如图所示，竖直平面内建立直角坐标系，整个空间存在平行xoy 平
面的匀强电场，电场强度方向与y 轴正方向成45°角。质量为m 的带电小球从坐标原点沿x 轴的正方向以
初速度v0水平抛出，经过一段时间小球以
的速度穿过y 轴正半轴某点（图中未画），重力加速度为
g，不计空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球所受电场力大小为
B．小球所受电场力大小为
C．小球电势能最大时动能最小 D．小球电势能最大时水平速度大小等于竖直速度大小
变式一：（多选）8．（2024•成都模拟）如图，空间存在范围足够大的匀强电场，场强大小
，方向
水平向右。竖直面内一绝缘轨道由半径为R 的
光滑圆弧
与足够长的倾斜粗糙轨道AB、CD 组成，
AB、CD 与水平面夹角均为45°且在B、C 两点与圆弧轨道相切。带正电的小滑块质量为m，电荷量为q，
从AB 轨道上与圆心O 等高的P 点以
的速度沿轨道下滑。已知滑块与AB、CD 轨道间的动摩擦
因数
，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
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A．滑块在AB 轨道下滑时的加速度大小为g B．滑块在
轨道中对轨道的最大压力为3mg
C．滑块最终将在
轨道之间做往复运动 D．滑块在AB 轨道及CD 轨道上运动的总路程为2R
变式二：（多选）9．（2024•南充模拟）如图，竖直平面内存在竖直向上、电场强度大小为E 的匀强电
场，绝缘水平地面与圆心为O、半径为R 的竖直固定的半圆形绝缘轨道AB 平滑相接于A 点。一质量为
m、电荷量为q 的带正电的光滑小球在水平面上以大小为v0的速度向右运动，小球经A 点沿轨道向上运
动，恰好能通过B 点。已知
，小球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过B 点时的速度大小为
B．v0的大小为
C．小球从脱离半圆轨道至落地，在空中运动的时间为
D．小球落地前一瞬间速度与竖直方向夹角的正切值为
变式三：10．（2023•石家庄模拟）如图所示，竖直面内有矩形ABCD，∠DAC＝30°，以O 为圆心的圆为
矩形的外接圆，AC 为竖直直径，空间存在范围足够大、方向由A 指向B 的匀强电场。将质量均为m 的小
球P、Q 以相同速率从A 点抛出，小球P 经过D 点时的动能是小球在A 点时动能的4 倍。已知小球P 不带
电，小球Q 带正电，电荷量为q，重力加速度为g，该电场的电场强度大小为
。则小球Q 经过B 点时的
动能是小球在A 点时动能的（ ）
A．2 倍
B．4 倍
C．6 倍
D．8 倍
变式四：11．（2024•昌乐县校级模拟）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小E1＝1×102N/C、
方向水平向右的匀强电场；一条长L＝0.8m 且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O 点，另一端系
一质量m1＝0.5kg、带电荷量q＝﹣0.1C 的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C 点竖直放置一足够
长、半径R＝1m 的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD 是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界
共线，直径MN 与直径CD 垂直，圆筒内左半边MNCHJK 区域Ⅱ中存在大小E2＝20N/C、方向垂直纸面向
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里的匀强电场。把小球a 拉至A 点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a 运动到O 点正下方B 点时，轻
绳恰好断裂。小球a 进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C 点竖直向下离开电场E1，然后贴着圆筒
内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取g＝10m/s2，绳断前、断后瞬间，小球a 的速度保持不变，忽略一
切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力Tm；
（2）小球a 运动到C 点时速度的大小vC和小球a 从B 到C 过程电势能的变化量ΔEp；
（3）若小球a 刚进入圆筒时，另一绝缘小球b 从D 点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b
的质量m2＝0.5kg，经过一段时间，小球a、b 发生弹性碰撞，且碰撞中小球a 的电荷量保持不变，则从小
球b 进入圆筒到与小球a 发生第5 次碰撞后，小球b 增加的机械能ΔEb是多大。
四．带电粒子在交变电场中的运动
12．（2023•杭州二模）如图甲所示，某多级直线加速器由n 个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心
轴线在同一直线上，各金属圆筒依序接在交变电源的两极M、N 上，序号为C 的金属圆板中央有一个质子
源，质子逸出的速度不计，M、N 两极加上如图乙所示的电压uMN，一段时间后加速器稳定输出质子流。已
知质子质量为m、电荷量为e，质子通过圆筒间隙的时间不计，且忽略相对论效应，则（ ）
A．质子在各圆筒中做匀加速直线运动 B．质子进入第n 个圆筒瞬间速度为
C．各金属筒的长度之比为1：
：
：… D．质子在各圆筒中的运动时间之比为1：
：
：…
变式一：（多选）13．（2024•贵州模拟）如图（a），水平放置长为l 的平行金属板右侧有一竖直挡板。
金属板间的电场强度大小为E0，其方向随时间变化的规律如图（b）所示，其余区域的电场忽略不计。质
量为m、电荷量为q 的带电粒子任意时刻沿金属板中心线OO′射入电场，均能通过平行金属板，并打在
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竖直挡板上。已知粒子在电场中的运动时间与电场强度变化的周期T 相同，不计粒子重力，则（ ）
A．金属板间距离的最小值为
B．金属板间距离的最小值为
C．粒子到达竖直挡板时的速率都大于
D．粒子到达竖直挡板时的速率都等于
变式二：14．（2023•临泉县校级三模）如图甲所示，A、B 是真空中的两块面积很大的竖直平行金属板，
加上周期为T 的交变电压后，在两板间产生了交变的匀强电场。已知A 板接地，B 板的电势φB变化规律如
图乙所示（坐标轴上数据为已知量）。图中O 点有一个粒子源，O 点距A、B 板的距离均为L。粒子源不
断地产生带负电的微粒，微粒从静止出发在电场力作用下运动。假设微粒一旦碰到金属板，它就附着在金
属板上不再运动，且电量同时消失，不影响A、B 板的电压。已知在0～T 时间内，每个时刻产生的微粒数
均相等，且微粒比荷
，不计微粒的重力和微粒之间的相互作用力。求：
（1）t＝0 时刻产生的微粒到达B 板的时间（结果用T 表示）；
（2）0～
时间内产生的微粒能到达B 板的粒子占一周期产生的粒子数的百分比。（可能用到的数据
＝3.61、
＝3.74、
＝3.87）（计算结果保留二位有效数字）
五．带电粒子在电场中的运动综合
15．（2024•安平县校级模拟）如图所示，竖直平面内有水平向左的匀强电场E，M 点与P 点的连线垂直于
电场线，M 点与N 在同一电场线上。两个完全相同的带等量正电荷的粒子，以相同大小的初速度v0分别从
M 点和N 点沿竖直平面进入电场，M 点的粒子与电场线成一定的夹角进入，N 点的粒子垂直电场线进入，
两粒子恰好都能经过P 点，重力不计。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．两粒子到达P 点的速度大小可能相等 B．电场力对两粒子做功一定相同
C．两粒子到达P 点时的电势能都比进入电场时小 D．两粒子到达P 点所需时间一定不相等
16．（2024•顺庆区校级一模）如图所示装置由“加速器”和“平移器”构成。平移器由左右两对水平放
置、间距为2d 的平行金属板构成。两平行金属板间的电压大小均为U1、电场方向相反，极板长度均为
2d，极板间距均为d。初速度为零、质量为m、电荷量为+q 的粒子经过电压为U0的加速器后，沿着第一对
平行金属板的下极加速器板沿水平方向射入，粒子最终打到右侧的荧光屏上。平行板外的电场以及粒子的
重力均忽略不计。（1）求粒子离开第一对平行金属板时偏转位移y1的大小；
（2）通过调节“平移器”的电压可以改变粒子到达荧光屏上的位置，当粒子撞击荧光屏的位置最高时，
求此时“平移器”的电压U2。
17．（2024•大足区校级模拟）如图所示，在相距较远的两平行金属板中央有一个静止的带电粒子（不计
重力），当两板间的电压分别如图中甲、乙、丙、丁所示时，在t＝0 时刻静止释放该粒子，下列说法正确
的是（ ）
A．电压如甲图所示时，在0∼T 时间内，粒子的电势能先增加后减少
B．电压如乙图所示时，在
时间内，粒子先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动
C．电压如丙图所示时，在
时间内，粒子动量变化量为0
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D．电压如丁图所示时，若粒子在
之前不能到达极板，则一直不能到达极板
18．（2024•安徽二模）如图所示，三块平行放置的金属薄板A、B、C 中央各有一小孔，小孔分别位于
O、M、P 点。B 板与电源正极相连，A、C 两板与电源负极相连。闭合电键，从O 点由静止释放一电子，
电子恰好能运动到P 点（不计电子的重力影响）。现将C 板向右平移到P′点，下列说法正确的是
（ ）
A．若闭合电键后，再从O 点由静止释放电子，电子将运动到P 点返回
B．若闭合电键后，再从O 点由静止释放电子，电子将运动到P′点返回
C．若断开电键后，再从O 点由静止释放电子，电子将运动到P 和P′点之间返回
D．若断开电键后，再从O 点由静止释放电子，电子将穿过P′点
（多选）19．（2024•厦门二模）《厦门志•风俗记》中记载：“（厦门人）俗好啜茶，……如啜酒然，以
饷客，客必辨其色、香、味而细啜之，名曰功夫茶。”在茶叶生产过程中有道茶叶茶梗分离的工序，可通
过电晕放电、感应极化等方式让茶叶茶梗都带上正电荷，且茶叶的比荷
小于茶梗的比荷，之后两者通过
静电场便可分离。如图所示，图中A、B 分别为带电量不同的两个带电球，之间产生非匀强电场，茶叶、
茶梗通过电场分离，并沿光滑绝缘分离器落入小桶。假设有一茶梗P 电荷量为3×10﹣8C，质量为2×10﹣
4kg，以1m/s 的速度离开A 球表面O 点，最后落入桶底，O 点电势为1×104V，距离桶底高度为0.8m，桶底
电势为零。不计空气阻力、茶叶茶梗间作用力及一切碰撞能量损失，重力加速度g 取10m/s2，则（ ）
A．M 处电场强度大于N 处电场强度B．茶叶落入左桶，茶梗落入右桶
C．茶梗P 落入桶底速度为
m/s D．茶梗P 落入桶底速度为2
m/s
（多选）20．（2024•未央区校级模拟）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形
带电导体极板（半径分别为R 和R+d）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O 为圆心。在截面
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内，极板间各点的电场强度大小与其到O 点的距离成反比，方向指向O 点。4 个带正电的同种粒子从极板
间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2 做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为r1、r2（R＜r1＜r2＜
R+d）；粒子3 从距O 点r2的位置入射并从距O 点r1的位置出射；粒子4 从距O 点r1的位置入射并从距O
点r2的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A．粒子1 入射时的动能大于粒子2 入射时的动能 B．粒子4 入射时的动能大于粒子2 入射时的动能
C．粒子3 出射时的动能大于粒子3 入射时的动能 D．粒子4 出射时的动能大于粒子4 入射时的动能
（多选）21．（2024•泉州二模）如图所示，水平放置的平行板电容器，极板间所加电压为U。带电粒子紧
靠下极板边缘以初速度v0射入极板，入射时速度方向与极板夹角为45°，粒子运动轨迹的最高点恰好在上
极板边缘，忽略边缘效应，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的电荷量q 与质量m 之比为
B．粒子的电荷量q 与质量m 之比为
C．保持入射方向不变，仅将粒子初速度大小变为原来的
，粒子将打在下极板上
D．保持入射方向不变，仅将粒子初速度大小变为原来的
，粒子仍从极板之间飞出
（多选）22．（2024•天心区校级一模）如图所示，阴极K 发射的电子（初速度可视为零）经电压为U0的
电场加速后，从A 板上的小孔进入由A、B 两平行金属板组成的电容为C 的电容器中，开始时B 板不带
电，电子到达B 板后被吸收。已知电子的电荷量为e，不计电子重力以及电子之间的相互作用，当电子不
能到达B 板时（ ）
A．在这之后，任何从小孔进入电容器的电子速度第一次减为0 所用的时间（从刚进入电容器时开始计
时）相等
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B．B 板的电势和阴极K 的电势相等
C．B 板的电荷量为CU0
D．电子从阴极K 到B 板电势能一直减小
（多选）23．（2024•重庆模拟）某匀强电场的电场强度E 随时间t 变化的关系图像如图所示（以竖直向上
为电场强度的正方向），电场范围足够大。t＝0 时刻，将一质量为m、电荷量为q 的带正电微粒从该电场
中距地面足够高的位置由静止释放；t＝t0时刻，该微粒速度为零。已知重力加速度为g，下列说法正确的
是（ ）
A．t＝t0时刻，该微粒的加速度大小为g B．t＝t0时刻，电场强度大小为
C．t＝2t0时刻，该微粒的速度为2gt0 D．t～2t0时间段内，该微粒所受电场力的冲量大小为0.5mgt
（多选）24．（2024•南充模拟）如图，竖直放置的立方体D′D′D′D′中心有一粒子源，粒子源可以
水平向各个方向发射不同速度的带正电的粒子，粒子比荷为
。立方体处在竖直向下的匀
强电场中，场强大小E＝1×103N/C，立方体边长L＝0.1m，除上下底面外，其余四个侧面均为荧光屏（包
括边缘）。不考虑粒子源的尺寸大小、粒子重力以及粒子间的相互作用，粒子打到荧光屏上后被荧光屏吸
收，不考虑荧光屏吸收粒子后的电势变化。则（ ）
A．粒子射出后，在电场中运动的加速度大小a＝1×1011m/s2
B．粒子射出后，在电场中向上偏转做类平抛运动
C．粒子从射出到打到荧光屏上运动的最长时间t＝2×10﹣6s
D．不能打到荧光屏上的粒子，发射时的速度范围为
25．（2024•成都模拟）如图，在第一象限0≤x≤2L 区域内存在沿y 轴正方向的匀强电场E1（未知），2L
＜x≤4L 区域内存在沿x 轴正方向的匀强电场E2（未知）。一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，以
速率v0从坐标原点O 沿x 轴正方向进入电场并依次通过A（2L，L）和B（4L，2L）两点。不计粒子的重
力。已知L、m、q 和v0，求：（1）粒子运动至A 点的速度大小；
（2）场强E2的大小。
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26．（2024•安平县校级模拟）如图，圆弧轨道AB 的圆心为O，半径为R＝2.5m，圆弧轨道AB 的B 点与
水平地面BE 相切，B 点在O 点的正下方，在B 点的右侧有一竖直虚线CD，B 点到竖直虚线CD 的距离为
L1＝2.5m，竖直虚线CD 的左侧有一水平向左的匀强电场，场强大小为E1（大小未知），竖直虚线CD 的
右侧有场强大小为E2（大小未知）、竖直向上的匀强电场。竖直虚线CD 的右侧有一竖直墙壁EF，墙壁
EF 到竖直虚线CD 的距离为L2＝1m，墙壁EF 底端E 点与水平地面BE 相连接，墙壁EF 的高度也为L2＝
1m。现将一电荷量为q＝+4×10﹣2C、质量为m＝1kg 的完全绝缘的滑块从A 点由静止释放沿圆弧轨道AB
下滑，过B 点时的速度大小为4m/s，最后进入竖直虚线CD 右侧。已知滑块可视为质点，圆弧轨道AB 光
滑，水平地面BE 与滑块间的动摩擦因数为μ＝0.2，g＝10m/s2，∠AOB＝53°，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
求：
（1）场强E1的大小；
（2）滑块到达竖直虚线CD 时速度的大小和滑块从B 点到达竖直虚线CD 所用时间；
（3）要使滑块与竖直墙壁EF 碰撞，求E2的取值范围。
27．（2024•四川模拟）如图所示，绝缘水平面右侧锁定有一水平绝缘台阶，其上固定有两平行正对金属
薄板A、B，相距为d，台阶左侧有一小车，小车上表面绝缘且与台阶齐平，小车与台阶紧贴无粘连，车上
固定有两平行正对金属薄板C、D，相距也为d，车和C、D 板总质量为m，一质量为m 的金属小球（视为
质点）紧贴A 板下端，此时小球电荷量为q，静止释放，不计一切摩擦，B 板和C 板下端开有略大于小球
直径的小孔，A、B、C、D 板均带电，仅考虑A、B 板之间形成的电场E1和C、D 板之间形成的电场E2，
且E1＝2E2＝2E0，忽略边缘效应，求：（1）小球经过B 板时速度大小；
（2）小球经过C 板小孔的同时撤去小车右边的所有装置，并关闭C 板下端小孔，在小球第一次从C 板运
动到D 板的过程，小车对地位移的大小；
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（3）在第二问基础上，设小球与D 板碰撞时间极短且无机械能损失，同时小球立即带上与该板同种的电
荷，电荷量仍为q，两板的带电量可认为不变，试推出相邻的两次碰撞之间的时间间隔需满足的规律。
28．（2024•全国一模）如图所示，水平桌面AB 上方存在水平向右，电场强度大小E＝2×103N/C 的匀强电
场。倾角θ＝37°的斜面CD 固定在水平地面上，BC 处于同一竖直线上。电荷量q＝+1×10﹣2C、质量m＝
2kg 的带电物块（可视为质点）从距离桌边缘B 点左侧L＝0.9m 处由静止释放，在电场力作用下开始运
动。已知物块和桌面之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g 取10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）物块通过水平桌面B 点时的速度大小；
（2）若物块垂直撞在斜面CD 上某点，求该点与C 点间的距离。
29．（2024•重庆模拟）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较
高的能量，然后被引向轰击肿瘤，如图。来自质子源的质子（初速度为零）经加速电场加速后，沿图中四
分之一圆弧虚线通过辐向电场，再从P 点竖直向上进入存在水平向右的匀强电场的圆形区域，最终轰击处
在圆上Q 点的肿瘤细胞。已知四分之一圆弧虚线处的场强大小为E0，方向沿半径指向圆心O，圆O′与
OP 相切于P 点，OP＝R0，圆形区域的半径为R，Q 点位于OP 上方
处，质子质量为m、电量为e。不计
质子重力和质子间相互作用，求：（1）质子在P 点处的速度大小v；（2）加速电场的加速电压U；
（3）圆形区域中匀强电场的场强大小E1。
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30．（2024•安徽二模）如图甲，竖直面内有一小球发射装置，左侧有光滑绝缘圆弧形轨道ABC，A 与圆
心O 等高，C 处于坐标原点，y 轴左侧有一水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度的大小
。现将带正电绝缘小球从A 点由静止释放进入轨道，一段时间后小球从C 点离开并进入y 轴
右侧，y 轴右侧与直线DF（平行于y 轴）中间范围内有周期性变化的水平方向电场，规定向右为正方向，
交变电场周期T＝1.6s，变化规律如图乙。已知圆弧形轨道半径
，小球质量m＝0.3kg，电荷量q＝
4×10﹣3C，∠BOC＝53°，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，不计空气阻力的影响及带电小球产生的电
场。求：
（1）小球在C 点时的速度；
（2）若小球在t＝0 时刻经过C 点，在
时刻到达电场边界DF，且速度方向恰与直线DF 平行，E2的
大小及直线DF 到y 轴的距离；
（3）基于（2）中直线DF 到y 轴的距离，小球在不同时刻进入交变电场再次经过x 轴时的坐标范围。
（多选）31．（2024•成都二模）如图，空间中存在水平向右的匀强电场，两个质量相等的带电小球a、b
分别从A、B 两点同时由静止释放，结果都能到达C 点。B 点在A 点的正上方，AC 连线与水平方向的夹角
为θ＝45°，两小球均可视为质点，忽略空气阻力和两小球之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
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A．a 球在到达C 点的过程中做曲线运动
B．a 球所受电场力大于b 球所受电场力
C．在两小球到达C 点的过程中，a 球电势能的减小量小于b 球电势能的减小量
D．a 球经过C 点时的动能小于b 球经过C 点时的动能
32．（2024•宁乡市模拟）如图所示，竖直虚线边界MN 左侧有方向水平向右的匀强电场，质量为m＝1kg
带正电光滑小球（可视为质点）在轻质细线OA 的悬挂下处于静止状态，此时细线与竖直方向的夹角为
37°，OA 延长线与MN 的交点为B，AB 长度为L1＝1m，虚线MN 右侧无电场。BC 为一固定粗糙斜面的两
个端点，BC 长度为L2＝25m，斜面上一个带挡板P（厚度不计）的薄板处于静止状态，薄板质量为M＝
3kg，长度为L0＝1.5m，且薄板上端恰好与B 点重合，O、A、B、C 共线。某时刻剪断细线OA，不计阻
力，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求（1）电场力的大小及释放初始时刻小球的加
速度。
（2）若小球滑上薄木板后与挡板相撞，撞击时间极短，小球与挡板的碰撞为弹性正碰，碰后木板开始下
滑，且当木板沿斜面下滑至速度为零时，小球与木板恰好发生第二次相撞。试求：
Ⅰ.薄板与斜面的动摩擦因数μ；
Ⅱ.小球与挡板在斜面上最多发生几次碰撞。
（多选）33．（2024•重庆模拟）如图所示，空间中有水平向右的匀强电场，场强大小为E，一质量为m
的带电小球（可视为质点），从O 点竖直向上抛出，动能为Ek0，经过一段时间小球回到与O 点相同高度
处时动能为5Ek0，已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
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A．该过程中小球机械能一直增大
B．小球的电荷量q＝
C．小球的最小动能为
D．小球运动到最高点的动能为2Ek0
（多选）34．（2024•新疆模拟）利用双电容法可测量电子比荷
，装置如图所示。在真空管中由阴极K
发射出电子，其初速度为零，此电子被阴极K 与阳极A 间电场加速穿过屏障D1上的小孔，然后按顺序穿
过电容器C1、屏障D2上的小孔和电容器C2后射到荧光屏中心E，阳极与阴极间的加速电压为U，分别在
电容器C1、C2上加有完全相同的正弦交流电压，C1、C2之间的距离为l，在每个电子通过每个电容器的极
短时间里，电场可视作是恒定的。调节正弦交流电压频率为f 时，电子束在荧光屏上的亮点仍出现在中心
E，下列说法正确的是（ ）
A．电子射到荧光屏中心E 上的速度大小与
成正比
B．电子经过电容器之间的距离l 所用的时间必须是交流电压周期的整数倍
C．电子的比荷是
（m＝1，2，3，…）
D．连续增大加速电压U，若连续两次观察到电子射到荧光屏中心E 的加速电压分别是U1和U2，则电子的
比荷是
（多选）35．（2024•合肥一模）如图所示，水平地面上固定有一足够大的导体板，上表面绝缘，右端接
地。板上放置着两滑块M、N，其中M 带正电，N 不带电且绝缘。滑块M、N 的质量分别为m、2m。N 的
正上方P 处固定一电荷量为Q 的正点电荷。现给滑块M 向右的初速度v0，经过一段时间与滑块N 发生弹
性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块N 向右运动距离l 恰好静止。已知两滑块与导体板间的动摩擦因数均为
μ，重力加速度为g，两滑块均视为质点，整个过程滑块电荷量不变。则下列说法中正确的是（ ）
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A．M 在运动过程中的电势能不变
B．M 在运动过程中的加速度不变
C．碰撞前M 运动的时间为
D．碰撞前M 克服摩擦力所做的功为
36．（2024•昆明一模）如图所示，一光滑曲面与足够长的水平直轨道平滑连接，直轨道MN 段粗糙，其
余部分光滑，MN 之间存在方向水平向右的匀强电场，N 点右侧的P 点处静止放置一绝缘物块b，一带正电
的物块a 从曲面上距水平面高为h 处由静止释放，滑出电场后与物块b 发生弹性碰撞。已知h＝1.0m，直轨
道MN 长L＝1.0m，物块a 与MN 之间的动摩擦因数μ＝0.4，物块a 的质量m＝1kg，物块b 的质量M＝
2kg，场强E＝2×106V/m，物块a 的电荷量q＝6×10﹣6C，重力加速度g 取10m/s2。物块a、b 均可视为质
点，运动过程中物块a 的电荷量始终保持不变。
（1）求物块a 与物块b 第一次碰撞后瞬间物块b 的速度大小；
（2）求物块a 与物块b 碰撞后，物块a 第1 次经过N 点和第2 次经过N 点的速率之比；
（3）若每次物块a 与P 点处的物块碰撞之后，都立即在P 点放入与物块b 完全相同的静止物块。求物块a
静止释放后，经过足够多次的碰撞，物块a 在电场中运动的路程。
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