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模型37 简谐运动的多解性与机械波传播的多解性问题
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1. 简谐运动的周期性与对称性
1）周期性
①相隔Δt=(n+ 1
2 )T (n=0，1,2,3……)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位
移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零)．
②相隔Δt=nT (n=0，1,2,3……)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都
相同．
2）对称性
关于平衡位置O 对称的两点,速度的大小、动能、势能、相对平衡位置的位移大小相等,由对称点
向平衡位置O 运动时用时相等
2.波传播问题的多解性问题及分析思路
1）造成造成波传播问题多解的主要因素
①周期性
a）时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确．
b）空间周期性：波传播的距离Δx 与波长λ 的关系不明确．
②双向性
a）传播方向双向性：波的传播方向不确定．
b）振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2)解决波的多解问题的思路
①首先考虑传播方向的双向性：如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波
传播方向的可能性进行讨论。
01 模型概述
1
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②对设定的传播方向：机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期
整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的，这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多
个值与之对应。
一般采用从特殊到一般的思维方法，先确定最简单的情况，即先找出一个周期(或一个波长内)内
满足条件的关系Δt 或Δx ，然后在此基础上加nT(或nλ)。若此关系为时间，则
（n=0，1，2，
3，……）；若此关系为距离，则
（n=0，1，2，3，……）．最后求速度
，
其中n＝0,1,2，…且k＝0,1,2，…)。
1. 简谐运动的多解性问题
【典型题1】（2024·陕西西安·模拟预测）（多选）如图所示，弹簧振子做简谐运动，M 点和N 点为最大
位移处，从某次通过A 点开始计时，经过2s 后振子第一次以与A 点相同的速度通过B 点，再经过2s 振
子紧接着又通过B 点，已知物体在4s 内所走过的总路程为18cm，则下列说法正确的是（ ）
A．振子做简谐运动的周期可能是4s
B．振子做简谐运动的周期可能是8s
C．振子做简谐运动的振幅可能是3cm
D．振子做简谐运动的振幅可能是6cm
E．振子做简谐运动的振幅可能是9cm
【答案】BCE
【详解】AB．若小球通过A 点计时是向右运动：由简谐振动的规律可知，因为过A、B 两点的速度大
小相等，所以A、B 两点一定关于平衡位置O 对称，此时通过A、B 两点的速度方向相同，所以有从O
到B 的时间为1s，而从B 到速度为零的位置为1s，所以
解得
若小球通过A 点计时是向左运动，由简谐振动的规律可知，因为过A、B 两点的速度相等，所以A、B
02 典题攻破
2
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两点一定关于平衡位置O 对称，此时经过A、B 两点的速度方向相反，设从A 到B 的时间为
，从B 到
最右端的时间为
，由对称性有
其周期为
综上所述，振子做简谐运动的周期可能是8s 或者
，故A 错误，B 正确；
CDE．若小球通过A 点计时是向右运动：由简谐振动的规律可知，因为过A、B 两点的速度大小相等，
方向相反，所以A、B 两点一定关于平衡位置O 对称，由对称性有
解得A =9cm
若小球通过A 点计时是向左运动，由简谐振动的规律可知，因为过A、B 两点的速度相等，所以A、B
两点一定关于平衡位置O 对称，此时经过A、B 两点的速度方向相反，由对称性有
解得
综上所述，振子做简谐运动的振幅可能是9cm 或者3cm，故CE 正确，D 错误。
故选BCE。
2. 机械波传播的多解性问题
【典型题2】（2024·天津·模拟预测）（多选）如图所示，实线是一列简谐横波在t=0 时刻的波形图，虚线
是这列波在t=0.4s 时刻的波形图，则下列说法正确的是（ ）
A．若该列波沿x 轴负方向传播，则周期可能为0.3s
B．若该列波沿x 轴负方向传播，则传播速度可能为20m/s
3
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C．若该列波沿x 轴正方向传播，则其可能与频率为
Hz 的简谐波发生稳定的干涉现象
D．若该列波沿x 轴正方向传播，则x=4m 处的质点在t=0.15s 时加速度可能最大且沿y 轴正方向
【答案】AC
【详解】AB．若该波沿x 轴负方向传播，则由实线到虚线需将波形向左平移
传播的时间
可能的周期
当
时
可能的波速
所以波速不可能为
，A 正确，B 错误；
C．若该波沿x 轴正方向传播，则由实线到虚线需将波形向右平移
传播的时间
波可能的频率
当
时
所以可能与频率为
Hz 的简谐波发生稳定的干涉现象，C 正确；
D．由
解得
的质点从
时刻起经过
加速度可能最大且沿y 轴正方向，把
代入上式，可知n 无解，D 错误。
故选AC。
4
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1．（2024·江西景德镇·二模）如图所示为一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，t=0 时刻0~25m 区间的波形
图如图中实线，经过
时该区间波形图如图中虚线，已知虚线上波峰对应的平衡位置的横坐标为
12.5m，质点A 平衡位置的横坐标为
，则当波速取最小值时质点A 的振动方程以及可能的波速
值，正确的是（ ）
A．
；225m/s B．
；425m/s
C．
；625m/s D．
，825m/s
【答案】C
【详解】由波形图可知，波长为
波沿x 轴正方向传播，则
解得
则波速
n=0 时，波速最小，此时
则
质点A 的振动方程
质点A 在零时刻向上振，可知
故质点A 的振动方程
03 针对训练
5
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当n=9 时，有
故选C。
2．（2024·贵州铜仁·二模）如图所示，一列简谐横波沿x 轴传播，振幅为10cm。实线为
时刻的波形
图，此时
处的质点P 运动方向沿y 轴负方向，虚线为
的波形图。已知周期T 大于0.1s，
则该波的传播速度和周期分别为（ ）
A．0.2m/s，0.4s
B．0.4m/s，0.2s
C．
，0.6s
D．0.6m/s，
【答案】D
【详解】由于质点P 在
是向y 轴负方向运动，根据波形图可知，该波的传播方向为沿x 轴正方向。
结合题图有
（
、1、2……）
整理有
（
、1、2……）
由于周期大于0.1s，所以解得
由题图可知，该波的波长为8cm，则其波速为
解得
故选D。
3．（2024·广西玉林·模拟预测）一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，振幅为2cm，波速为2m/s。如图，在
波的传播方向上两质点a、b 的平衡位置相距0.4m（小于一个波长），当质点a 在波峰位置时，质点b
在x 轴下方与x 轴相距1cm 的位置。则下列说法不正确的是（ ）
6
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A．从此时刻起经过0.5s，b 点可能在波谷位置
B．从此时刻起经过0.5s，b 点可能在波峰位置
C．此波的周期可能为0.6s
D．此波的周期可能为1.0s
【答案】D
【详解】AC．第一种情况如图所示
根据图像得
解得
周期为
再经0.5s，波向右移动的距离为
波形向右移动1m，波峰在1m 处，如图所示
从图像可知，b 点在波谷处。故AC 正确，与题意不符；
BD．第二种情况，如图所示
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根据图像得
解得
周期为
再经0.5s，波向右移动的距离为
波形向右移动0.4m，波峰在0.4m 处，如图所示
根据图像，b 点在波峰处。故B 正确，与题意不符；D 错误，与题意相符。
本题选不正确的故选D。
4．（2024·黑龙江·三模）一列简谐横波在t=0 时的波形如图中实线所示，t=1s 时的波形如图中虚线所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为8m
B．平衡位置分别为A、B 的两个质点，振动方向始终相同
C．若波向右传播，则波的最大频率为0.25Hz
D．若波向左传播，则波的传播速度大小为6m/s
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【答案】A
【详解】A．由图可知，这列波的波长为
，A 正确；
B．A、B 两个质点的平衡位置相距
故振动方向始终相反，B 错误；
C．若波向右传播，有
解得
则波的最小频率为
C 错误；
D．若波向左传播，有
解得
则波的传播速度大小为
D 错误。
故选A。
5．（2024·山东·模拟预测）一个小球在平衡位置
点附近做简谐运动，
时刻小球位于
点，
时
小球首次位于
点，
时小球也位于
点，且与
时刻速度方向相反。已知
、
两点不重合，则
该小球做简谐运动的周期可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】假设
点在
点的左侧，小球向左运动，由
得
设经过时间小球由
点首次运动到最左端，有
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解得
可知
仅能取0 或1，当
时
当
时
或者满足
可取
，此时
假设
点在
的右侧，小球向左运动，有
解得
设经过时间小球由
点首次运动到最右端，有
解得
仅当
时有解，此时
或者满足
可取
或者5，当
时
当
时
故选B。
6．（2024·广西柳州·三模）一列简谐横波沿
轴传播，在
时刻和
时刻的波形分别如图中实线和
虚线所示。已知波源振动周期大于
。下列说法正确的是（ ）
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A．波一定沿
轴正方向传播
B．波源振动周期一定为
C．波的传播速度大小可能为
D．
处的质点在
内运动的路程可能为
【答案】C
【详解】AB．由于题中没说明波的传播方向，要分情况讨论：1、假设波沿
轴负方向传播，设传播周
期为
，实线波上x =0的质点的振动方向向上，其振动方程为
结合图有
当
时x =0处质点位于-0.5cm 位置，代入方程有
解得
（n=0，1，2...）
化简得
（n=0，1，2...）
其中
则
时解得
2、假设波沿
轴正方向传播，设传播周期为
，实线波上x =0的质点的振动方向向下，其振动方程为
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当
时x =0处质点位于-0.5cm 位置，代入方程有
同理解得
以上情况都有可能，故AB 错误；
C.由波形图可看出，波长为
由公式
可见当波沿
轴负方向传播时，波速为11m/s。当波沿
轴正方向传播时，波速为1m/s。故C 正确；
D.因为x =0处的质点在一周期内走过的路程为4cm，而周期
大于1s，所以，0-1s 内运动的路程一定小
于4cm，不可能为4.5cm，故D 错误。
故选C。
7．（2024·浙江温州·模拟预测）（多选）如图所示，一列简谐波沿x 轴方向传播，t=0 时刻与t=0.2s 时刻
的波形图分别如图中实线和虚线所示，波速满足500m/s≤v≤1000m/s。由图判断该简谐波的频率可能是
（ ）
A．13.25Hz
B．16.25Hz
C．21.75Hz
D．23.75Hz
【答案】BD
【详解】若波沿x 轴正方向传播，在0.2s 时间内，波传播的距离为
（n=0，1，2……）
联立解得
或
若波沿x 轴负方向传播，在0.2s 时间内，波传播的距离为
（n=0，1，2……）
联立解得
或
或
故选BD。
8．（2024·全国·模拟预测）（多选）如图
轴上
两质点相距3m，一振幅为5cm 的机械波在
轴上传播，
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取波传播到A 点时
，当A 位于平衡位置时，
位于波峰，波的传播速度为
。下列说法错误的
有（ ）
A．被机械波的波长可能为
B．机械波的周期最长为2s
C．当周期最长时，
时，
的路程可能为52cm
D．当周期最长时，
时，
的路程可能为42cm
【答案】CD
【详解】A．由于A 位于平衡位置时，
位于波峰，则有
或
其中n=0，1，2，3…，m=0，1，2，3…
若波长为
，可以解得
故A 正确，不符合题意；
B．根据
结合上述解得
或
可知，当n=0 时，周期取最大值2s，故B 正确，不符合题意；
C．结合上述，周期最长为2s 时，AB 间距为四分之一个波长，即波传播到B 需要时间四分之一周期，
时，由于
则
的路程为
故C 错误，符合题意；
D．周期最长为2s 时，结合上述，
时，由于
则
的路程为
故D 错误，符合题意。
故选CD。
9．（2025·浙江·一模）（多选）如图所示，S1为振源，某时刻由平衡位置开始上下振动，产生一列简谐横
波沿S1S2直线传播。S2左侧为介质I，右侧为介质Ⅱ，波在这两种介质中传播的速度之比为3：4。某时
刻波正好传到S2右侧5m 处，且S2在波峰位置。下列说法正确的是（ ）
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A．S2处质点的起振方向与S1的起振方向相同
B．波在介质I 中的周期比在介质Ⅱ中小
C．波在介质I 中的波长可能为5m
D．波在介质Ⅱ中的波长为
【答案】AC
【详解】A．质点的起振方向一定与振源的起振方向相同，则S2 处质点的起振方向与S1 的起振方向相
同，故A 正确；
B．波的振动周期由振源决定，波在介质I 中的周期等于介质Ⅱ中的周期，故B 错误；
CD．若传到
时，质点
从平衡位置向上振动，则有
解得
若传到
时，质点
从平衡位置向下振动，则有
解得
整理可得，波在介质Ⅱ中的波长为
由公式
可知，由于周期相等，则波在介质I 中的波长与波在介质Ⅱ中的波长等于波在这两种介质
中传播的速度之比为
，则波在介质I 中的波长为
可知，当
时
故C 正确，D 错误。
故选AC。
10．（2024·贵州·模拟预测）（多选）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，t=0 时刻的波形如图中实线所示，
t=0.1s 时刻的波形如图中的虚线所示。波源不在坐标原点，P 是传播介质中离坐标原点2.5m 处的一个质
点。则下列说法正确的是（ ）
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A．波的频率可能为12.5Hz
B．波的传播速度可能为50m/s
C．质点P 的振幅为0.08m
D．在t=0.1s 时刻与P 相距5m 处的质点也一定沿y 轴正方向振动
【答案】AB
【详解】A．波沿x 轴正方向传播，则
周期为
（n=0，1，2，3，…）
频率为
（n=0，1，2，3，…）
所以波的频率可能为12.5Hz（n=1），故A 正确；
B．波长
波速
（n=0，1，2，3，…）
波的传播速度可能为50m/s（n=1），故B 正确；
C．振幅A=0.1m，故C 正确；
D．从题图中可知t=0.1s 时，质点P 向上振动，与P 相距5m 的质点与质点P 相距1
个波长，若该质点
在P 点左侧，它正在向下振动，若该质点在P 点右侧，它正在向上振动，故D 错误。
故选AB。
11．（2024·广西来宾·模拟预测）（多选）一列简谐波沿x 轴负方向传播，图甲是t＝0.5s 时的波形图。图
乙是x＝3m 处P 质点的振动图像（图中未画出）。下列说法正确的是（ ）
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A．t＝0.5s 时，质点P 的位移为
B．t＝0.5s 到t＝0.9s 时间内，P 质点的路程为0.6m
C．该简谐横波的波长为8m
D．该简谐横波的传播速度可能为10m/s
【答案】AB
【详解】A．由图甲和图乙可知，P 质点的振幅为A＝0.3m，周期T＝0.8s，角速度
P 质
点的振动方程为
，所以t＝0.5s 时，质点P 的位移为
故A 正确；
B．做简谐振动的物体在任意
内，质点的路程都是2A，故B 正确；
CD．由于波沿x 轴负方向传播，由图乙可知，t＝0.5s 时P 质点位移为负值并且向下振动，所以
与原
点的距离满足
该简谐波的波长为
（
、1、2、4……）
则波长不可能是8m；由
可知，该简谐波的波速
（
、1、2、3……）
波速不可能是10m/s，故CD 错误。
故选AB。
12．（2024·广东·模拟预测）（多选）如图所示，P、S、Q 是弹性介质中、同一直线上的三个点，
，
，在S 点有一波源，
时刻，波源开始向上振动，形成沿直线向右、向左传播的
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两列简谐横波。已知
时，质点P 位于波谷；
时，质点Q 位于波峰。则在
时刻P、Q 间
的波形图可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】B．依题意，S 点两侧的波形应对称。故B 错误；
A．假设A 正确，即t=6s 时质点P 位于波谷，由于t=7s 时质点P 位于波谷，则可知1s 内波传播了n 个
周期，则2s 内波传播2n 个周期，此情况下t=8s 时质点Q 位于波峰，符合题设。故A 正确；
C．假设C 正确，t=6s 时P 位于波谷，此情况下可知1s 内波传播了n 个周期，则2 s 内波传播2n 个周期，
8 s 时质点Q 位于平衡位置，与题设矛盾。故C 错误；
D．假设D 正确，6s 时P 位于平衡位置向下运动，可知1 s 内波传播了
个周期，则2s 内波传播
个周期，8 s 时质点Q，位于波峰，符合题设。故D 正确。
故选AD。
13．（2024·黑龙江吉林·模拟预测）（多选）有一列沿水平方向传播的简谐横波，在波的传播方向上有平
衡位置相距4m 的A、B 两质点，已知波的传播方向由B 指向A，图甲、乙分别是A、B 两质点的振动图
像。则这列波的波速可能为（ ）
A．
B．12m/s
C．40m/s
D．60m/s
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【答案】AC
【详解】根据题意可得
（n=0，1，2，3……）
所以
（n=0，1，2，3……）
所以
（n=0，1，2，3……）
当n=0 时，有
当n=1 时，有
当n=2 时，有
故选AC。
14．（2024·河北沧州·三模）（多选）如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，经A 点后向右运动，从
质点经过A 点时开始计时，
s 时质点经过B 点，
s 时质点也经过B 点，已知A、B 两点相距
0.2m 且关于质点的平衡位置对称，则下列说法正确的是（ ）
A．该振动的振幅和周期可能是0.1m，1s
B．该振动的振幅和周期可能是0.1m，0.4s
C．若
时刻均向左经过B 点，则振幅和周期可能为0.2m，0.4s
D．若
时刻分别向右、向左经过B 点，则振幅和周期可能为0.2m，
s
【答案】BCD
【详解】AB．若振幅
，在0~1s 时间内根据简谱运动的周期性有
在1~3s 时间内根据简谐运动的周期性有
当
时
满足题意，周期为1s 时不同时满足上述两个公式，故A 错误，B 正确。
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CD．若振幅
且质点
时刻向右经过B 点、
时刻向左经过B 点，在0~1s 时间内根据简谐运动
的周期性有
在1~3s 时间内根据简谐运动的周期性有
当
时
若振幅
且
时刻均向左经过B 点，在0~1s 时间内根据简谐运动的周期性有
在1~3s 时间内根据简谐运动的周期性有
当
时
故CD 正确。
故选BCD。
19
