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1、
高考静电场命题热点：某点的电场强度、电势、电荷在某点具
有的电势能，电场线、等势线、等势面、运动轨迹，受力分析，静电力做功问题。
2、
常见模型：孤立点电荷电场、等量异种同种电荷电场、等量同
种同种电荷电场、非等量两个电荷、多个电荷电场，匀强电场、辐射性电场。
【模型一】孤立点电荷的电场模型
(1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。
(2)离点电荷越近电场线越密(场强越大)。
(3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。
(4)点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝.
(5)等势面是球面
【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O 处的场强
连线上O 点场强最小，指向负
电荷一方
为零
热点06 静电场“点线面迹”模型
1
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连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O 点向外场强大小
O 点最大，向外逐渐减小
O 点最小，向外先变大后变小
关于O 点对称的A 与A′、B 与B′的场强
等大同向
等大反向
等势面
等量异种
等量同种
中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称
的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相
等。
中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于
中垂线、连线对称的点电势相等。
【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场．
(2)d 为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离．
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．纵向拓展
推论1 匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势，φC＝，如图甲所示．
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．
3．横向拓展
公式E＝只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断．
【模型四】电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型
2
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1.根据运动轨迹判断粒子的受力及运动情况
①确定受力方向的依据
a．曲线运动的受力特征：带电粒子受力总指向曲线的凹侧；
b．电场力方向与场强方向的关系：正电荷的受力方向与场强方向相同，负电荷则相反；
c．场强方向与电场线或等势面的关系：电场线的切线方向或等势面的法线方向为电场强度的方向。
②比较加速度大小的依据：电场线或等差等势面越密⇒E 越大⇒F＝qE 越大⇒a＝越大。
③判断加速或减速的依据：电场力与速度成锐角(钝角)，电场力做正功(负功)，速度增加(减小)。
2.分析电场的特点和性质问题的一般思路
(1)电场强度
①根据电场线的疏密程度进行判断。
②根据等差等势面的疏密程度进行判断。
③根据E＝k 结合矢量合成进行判断或计算。
(2)电势
①根据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。
②根据φ＝进行判断或计算。
③空间存在两个或两个以上的电场时，根据电势的叠加求代数和进行判断或计算。
(3)电势能
①根据Ep＝φq 进行判断或计算。注意判断或计算时Ep、φ、q 均带正、负号，且Ep、φ 的正、负号表示大
小。
②根据电场力做功进行判断或计算。若电场力对电荷做正功，电势能减少，反之则增加，且WAB＝－ΔEp。
③根据能量守恒定律进行判断或计算。电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程，若只
有电场力做功，电荷的电势能与动能相互转化，而总和应保持不变，即当动能增加时，电势能减少，反之
则增加，且ΔEk＝－ΔEp。
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（2024·甘肃·统考一模）如图，水平带电平面上方有一质量为
、带电量为
的点电荷，当它在
点时
3
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所受合力为零。
点与平面的垂直距离为
和
分别为静电力常量和重力加速度，则与
点对称的
点处的电场强度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】点电荷在M 点时，所受合力为零，则
解得
点的电场强度和
点的电场强度大小相等，方向相反。
故选A。
2．如图所示，边长为a 的等边
位于竖直平面内，BC 边水平，顶点A 在BC 边上方，电荷量分别为
q、q、
三个带正电的点电荷分别固定在三角形的A、B、C 三个顶点上。已知静电力常量为k，则
BC 边中点D 处的电场强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】三个点电荷在D 点产生的电场强度方向如图所示
4
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产生的电场强度大小分别为
所以D 处的电场强度大小为
故选A。
3．如图所示，真空中正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B 带正电，C 带负电，O、M、N 为
AB 边的四等分点，下列说法正确的是（ ）
A．M、N 两点电场强度相同
B．M、N 两点电势相同
C．正电荷在M 点电势能比在O 点时要小
D．负电荷在N 点电势能比在O 点时要大
【答案】B
5
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【解析】A．根据场强叠加以及对称性可知，MN 两点的场强大小相同，但是方向不同，故A 错误；
B．因在AB 处的正电荷在MN 两点的合电势相等，在C 点的负电荷在MN 两点的电势也相等，则MN 两点
电势相等，故B 正确；
CD．因负电荷从M 到O，因AB 两电荷的合力对负电荷的库仑力从O 指向M，则该力对负电荷做负功，C
点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，
即负电荷在M 点的电势能比在O 点小；同理正电荷在M 点的电势能比在O 点大；同理可知负电荷在N 点
的电势能比在O 点小；故CD 错误。
故选B。
4．如图所示，有三个点电荷
、
和
分别位于等边
的三个顶点上，
、
都是正电荷，
所
受
、
两个电荷的静电力的合力为
，且
与
连线垂直。图中虚曲线是以点
为圆心、
间距
为半径的一段圆弧，
垂直于
交圆弧于
。下列说法正确的是（ ）
A．
带正电
B．
C．在点电荷
、
产生的电场中，A 点的电势比
点的电势低
D．在点电荷
、
产生的电场中，
连线上某点电场强度可能为零
【答案】C
【解析】A．
所受
、
两个电荷的静电力的合力为
，且
与
连线垂直，则
对
的力一定
是吸引力，故
带负电，故A 错误；
B．对
受力分析，有
解得
故B 错误；
C．在
产生的电场中，D 点离正电荷更近，A 点的电势比
点的电势低，在
产生的电场中，A、
两
点的电势相等，由此可知A 点的电势比
点的电势低，故C 正确；
6
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D．在点电荷
、
产生的电场中，在
连线上，
产生电场的电场强度方向沿
指向
，
产生
电场的电场强度方向沿
指向
，合电场强度不可能为零，故D 错误。
故选C。
二、多选题
5．如图为一正方体
，在A、G 两顶点分别固定等量正、负点电荷，以无穷远处电势为零，
下列说法正确的是（ ）
A．顶点D、F 两处电势相等
B．顶点B、H 两处场强相同
C．正方体的12 条棱上共有3 个点电势为零
D．将一正试探电荷从D 移到C 和从B 移到F，电势能减小相同数值
【答案】BD
【解析】A．因为正负电荷是等量异种电荷，而D 点更靠近正电荷，F 点更靠近负电荷，所以D 点的电势
大于F 点的电势，故A 项错误；
B．电场强度是矢量，其叠加遵循平行四边形定则，由于B 点到正电荷和负电荷的距离与H 点到负电荷和
正电荷的距离相等，由电场的叠加性和对称性可知，这两点的电场强度大小和方向相同，故B 项正确；
C．因为正负电荷是等量异种电荷，其连线的中垂面为等势面，电势皆为零，该等势面与正方体的12 条棱
的交点不止3 个点，所以正方体的12 条棱上不止有3 个点电势为零，故C 项错误；
D．因为正负电荷是等量异种电荷，而D 点更靠近正电荷，F 点更靠近负电荷，所以D 点的电势大于F 点
的电势，而B 点更靠近正电荷，C 点更靠近负电荷，所以B 点的电势大于C 点的电势，由于是在正方体中，
由电场的叠加与对称性可知，D 点和B 点电势相同，C 点和F 点的电势相同。即
由电场力做功公式有
所以将一正试探电荷从D 移到C 和从B 移到F 电场力做功相同，即电势能减少量相同，故D 项正确。
故选BD。
6．（2024·江西·统考一模）如图（a）所示，有一电荷均匀分布的固定绝缘细圆环，圆心为O,轴线上的电
场强度和电势分布如图（b）（c）所示。现有一带负电的粒子（重力不计）以初速度
沿轴线由P 运动到
。关于粒子由P 运动到Q 的过程分析，下列说法正确的是（ ）
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A．粒子先加速后一直减速
B．静电力对粒子做功不为0
C．粒子所受静电力先增大后一直减小
D．粒子的电势能先减小后一直增大
【答案】AD
【解析】AD．由图可知
粒子由P 运动到Q 的过程中，电场力先做正功，后一直做负功，根据电场力做功与电势能的关系
可得，电势能先减小后一直增大，动能先增大后一直减小。故AD 正确；
B．根据图（c）可知
根据
可知，粒子由P 运动到Q 的过程静电力对粒子做功的代数和为0，故B 错误；
C．根据图（b）可知，粒子由P 运动到Q 的过程，场强先增大后减小，再增大最后再减小，故粒子所受静
电力先增大后减小，再增大最后再减小，故C 错误。
故选AD。
7．（2024·四川绵阳·统考二模）如图所示，等腰直角三角形ABC 斜边中点O 处固定一带正电的点电荷，
一带负电的点电荷在外力F 的作用下，从B 点沿圆弧匀速率运动到A 点，在此运动过程中（ ）
A．外力F 对负点电荷先做负功后做正功
B．外力F 对负点电荷始终不做功
C．负点电荷的电势能先减小后增大
D．负点电荷的电势能始终不变
【答案】AC
【解析】AB．依题意，带负电的点电荷从B 点沿圆弧运动到A 点，和固定在O 点的带正电的点电荷的距离
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先减小后增大，因为二者之间存在相互吸引的电场力，所以该电场力先做正功后做负功，根据动能定理，
有
可知外力F 对负点电荷先做负功后做正功。故A 正确；B 错误；
CD．根据
可知负点电荷的电势能先减小后增大。故C 正确；D 错误。
故选AC。
三、解答题
8．如图所示，真空中A 点处有一个点电荷
，在点电荷
的左侧距离为
的位置有一光滑的竖直杆
点与A 点在同一水平线上，
与
的夹角为
。一中间有孔的小球可以无摩擦沿杆滑动，现让小
球在杆上的
点以初速度
沿杆向下运动，运动到
点时速度为，小球的质量为
，带的电荷量为
，
小球可视为质点。点电荷
产生的电场在
点的电势为
，静电力常量为
，重力加速度为
。求：
（1）小球在
点时受到杆的支持力大小；
（2）点电荷
产生的电场在
点的电势。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）水平方向合力为零，所以小球在
点时受到杆的支持力大小
（2）从B 到O 根据动能定理
解得
9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）科学家在描述某类物质的带电性质时，认为物质是由大量的电偶极子组
成的，电偶极子模型是指由带电量为q、相距为l 的一对正负点电荷组成的带电系，设O 是中点，电偶极
子的方向为从负电荷指向正电荷，用如图甲所示的矢量表示。平时由于电偶极子的排列方向杂乱无章，因
而该物质不显示带电的特性。当加上外电场后，电偶极子绕其中心转动，最后都趋向于沿外电场方向排列，
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从而使物质中的合电场发生变化，物质显示带电特性。将一电偶极子放置在电场强度为
的匀强电场中。
（1）如图乙所示，若此电偶极子的方向与外电场方向的夹角为
，求当夹角
减为0 的过程中，外电场力
对电偶极子做的功
；
（2）取
点电势为0，求当电偶极子在外电场中处于平衡时，其方向与外电场方向夹角
的可能值及相应
的电势能
。
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】（1）电场力对
做功
电场力对
做功
电场力对电偶极子做功
（2）经分析知当
或
时电偶极子在外电场中处于平衡。
设
时，点电荷
所在位置的电势为
，电偶极子的电势能
时，仍然设此时点电荷
所在位置的电势为
，电偶极子的电势能
10．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，真空中A 点固定放置一电量为+Q 的点电荷A，一质量为m、电量
为+q 的检验电荷B 在距A 为
处，仅在电场力作用下以大小为
的速度正对A 运动，AB 连线上有间距相等
的a、b、c 三点。已知：取无穷远处电势为零，真空中静止正点电荷电场中某点电势
可表示为：
，
其中k 为静电力恒量、Q 为场源电荷电量、r 为该点到场源电荷的距离。
（1）用线条描绘点电荷A 周围电场强度和电势的分布情况；
（2）分析、比较ab 间电势差
与bc 间电势差
的大小；
（3）求运动过程中检验电荷B 与点电荷A 之间的最小距离；
（4）描述电场能量性质分布的等势线与重力场中的等高线有很多相似之处。如图（b）为一山地地形的等
高线分布图，每两条等高线间表示相同的高度差。试比较该等高线分布图与点电荷电场的等势线分布图，
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从能量的角度分析两者有何共同特点；
（5）如图（c）所示，现有5 个间隔相等的小球，以相同的速度并排冲向图（b）中的山地，不考虑摩擦作
用的不同，试在右侧框图中画出5 个小球接下来的大致运动轨迹。
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
；（4）见解析；（5）见解析
【解析】（1）正点电荷周围电场强度和电势的分布情况如图所示
电场强度离点电荷越远，电场强度越小。以点电荷为圆心的同心圆是等势面。
（2）设
Aa=ab=bc=x
则有
所以
故
（3）由题意知，检验电荷B 仅在电场力作用下以大小为
的速度正对A 运动，所以由能量守恒定律得
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解得最小距离为
（4）重力做功对应着重力势能的变化，重力做正功，重力势能减少，反之增加。电场力做功特点和重力
做功类似，即电场力做功对应着电势能的变化，电场力做正功，电势能减少，反之增加。且由
可知，离点电荷越近，等差等势面间距越小，同理，重力场中，离山顶越近，等差等势线间距越小。
（5）类比点电荷，越靠近场源电荷，受到的库仑力越大，则越靠近山顶，偏转角度越大，即大致轨迹如
图所示
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）空间有一圆锥OBB'如图所示，点A、A′分别是两母线OB、OB′
的中点，C 为AB 中点。圆锥顶点O 处固定一带负电的点电荷，则（ ）
A．A 点比B 点的电场强度小
B．A、A′两点的电场强度相同
C．A、A′两点的电势相同
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D．AC 的电势差等于CB 的电势差
【答案】C
【解析】A．根据点电荷的场强公式
可知，A 点比B 点的电场强度大，故A 错误；
B．根据点电荷的场强公式
可知，A、A′两点的电场强度大小相等，但方向不同，故B 错误；
C．点电荷的等势面是一系列以点电荷为球心的同心球面，则A、A′两点在同一等势面上，所以A、A′两点
的电势相同，故C 正确；
D．由于AC 间的电场强度大于CB 间的电场强度，所以根据
可知，AC 的电势差不等于CB 的电势差，
故D 错误。
故选C。
2．（2023·四川成都·统考一模）如图，真空中两个等量异种点电荷P、Q 关于O 点对称分布，P 带正电，A
为P、Q 连线上一点。保持OA 距离不变，增大P、Q 之间的距离后再次静止（仍关于O 点对称）。选无穷
远为零电势点，则P、Q 距离增大后为零电势点，则P、Q 距离增大后（ ）
A．O 点的场强不变
B．O 点的电势升高
C．A 点的场强变小
D．A 点的电势降低
【答案】C
【解析】A．由点电荷周围的场强公式
可知，增大P、Q 之间的距离后，P、Q 到O 点的距离都变
大，P、Q 在O 点的场强都变小，由场强的叠加可知，O 点的场强变小，故A 错误；
B．增大P、Q 之间的距离后O 点的电势仍然为零，不变，故B 错误；
C．增大P、Q 之间的距离后，P、Q 到A 点的距离都变大，P、Q 在A 点的场强都变小，由场强的叠加可知，
A 点的场强变小，故C 正确；
D．增大P、Q 之间的距离后O、A 间的场强减小，由
可知，增大P、Q 之间的距离，OA 距离不变，
所以O、A 之间的电势差变小，由O 点电势不变，A 点的电势低于O 点的电势，可知A 点的电势升高，故
D 错误。
故选C。
3．如图所示，两个半径不等的均匀带电圆环P、Q 带电荷量相等，P 环的半径大于Q 环的，P 带正电，Q
带负电。两圆环圆心均在O 点，固定在空间直角坐标系中的yOz 平面上。a、b 在x 轴上，到O 点的距离相
等，c 在y 轴上，到O 点的距离小于Q 环的半径。取无限远处电势为零，则（ ）
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A．O 点场强不为零
B．a、b 两点场强相同
C．电子从c 处运动到a 处静电力做功与路径无关
D．电子沿x 轴从a 到b，电场力先做正功后做负功
【答案】C
【解析】A．由对称性可知，圆环
在O 处产生的电场强度均为零，所以O 处的合场强为零，故A 错误；
B．由对称性可知
两点场强太小相同，方向均指向Q 点，即方向相反，故B 错误；
C．设ca 两点间的电势差为
，电子电荷量为
，电子从c 处运动到a 处静电力做功
与路径无关。故C 正确；
D．
带等量异种电荷，电场线从P 指向Q，电场线分布具有轴对称性，
平面上的电场线分布示意
图如图所示
可知x 轴正方向有沿x 轴负方向指向O 的电场分量，x 轴负方向有沿x 轴正方向指向O 的电场分量。从a 沿
x 轴到b 电势先减小后增大。电子带负电，负电荷在电势低的地方电势能大，电子沿x 轴从a 移动到b，电
势能先增大后减小，电场力先做负功后做正功，故D 错误。
故选C。
4．（2023·安徽·校联考二模）如图所示，三角形ABC 的三个顶点固定三个带电量相等的点电荷，B、C 两
处电荷带正电，A 处电荷带负电。O 为BC 边的中点，a、b 为BC 边中垂线上关于O 点对称的两点，e、f 为
BC 连线上关于O 点对称的两点，a 处电场强度为0。下列说法正确的是（ ）
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A．b 点的电场强度为0
B．b 点电场强度的方向指向O 点
C．O 点电势高于b 点
D．e 点电场强度与f 点电场强度相同
【答案】C
【解析】AB．由题意，a 处电场强度为0，则根据点电荷产生电场的叠加法则可知，A 点的点电荷在a 处产
生的场强沿着aO 指向O 点，B、C 两点处的点电荷产生的合场强与A 点的点电荷在a 处产生的场强大小相
等，方向相反，而根据点电荷产生场强的计算公式
可知，A 点的点电荷在b 点产生的场强大于在a 处产生的场强，且方向沿着bA 指向A 点，而根据对称性可
知，B、C 两点处的点电荷在b 点产生的合场强与在a 处产生的场强大小相等，方向相反，即合场强方向沿
着bA 指向A 点，因此可知，b 点电场强度大小一定不为零，且方向指向A 点，故AB 错误
C．离正电荷越近电势越高，离负电荷越近电势越低，O 点离正电荷更近，而b 点离负电荷更近，且在Ob
连线上电场方向由O 指向b，沿电场方向电势降低，故O 点电势高于b 点，故C 正确；
D．根据电场强度的叠加法则可知，e 点场强与f 点场强大小相等，方向不同，故D 错误。
故选C。
二、多选题
5．（2024·福建泉州·统考二模）如图，正方形的四个顶点A、B、C、D 分别固定等量的点电荷，其中A、
B 处的点电荷带正电，C、D 处的点电荷带负电，M、N 为AB 边的三等分点，O 点为正方形的中心点，取
无穷远电势为零。下列说法正确的是（ ）
A．O 点的电势为零
B．O 点的场强为零
C．M、N 两点的电势相同
D．M、N 两点的场强相同
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【答案】AC
【解析】A．根据点电荷的分布及O 点的位置可知，O 点为A、C 处等量异种点电荷连线的中点，同时也是
B、D 处等量异种点电荷连线的中点，而等量异种点电荷连线的中垂面为等势面，且电势为零，因此可知
O 点处的电势为0，故A 正确；
B．A 处点电荷在O 点的场强沿着OC 指向C，B 处点电荷在O 点的场强沿着OD 指向D，C 点处的点电荷
在O 点的场强沿着OC 指向C，D 点处的场强沿着OD 指向D，四个点电荷电量相等，距O 点的距离相等，
则在O 点产生的场强的大小相等，根据电场强度的矢量运算法则可知，O 点处的场强大小不为零，方向竖
直向上，故B 错误；
C．电势为标量，先不研究C、D 处的点电荷，M、N 关于A、B 处的等量同种点电荷连线的中点对称，则
根据对称性可知M、N 两点在A、B 处电荷形成的电场中电势相等，其次不研究A、B 处点电荷，M、N 两
点在C、D 处点电荷形成的电场中关于两电荷连线的中垂线对称，根据对称性可知，M、N 两点在C、D 处
点电荷形成的电场中电势相等，而电势的运算满足代数运算，当同时研究A、B、C、D 处的电荷所形成的
电场中M、N 两点的电势时，由对称性及电势运算所满足得代数运算法则可知，M、N 两点的电势相同，
故C 正确；
D．根据对称性可知，M、N 两点处的场强大小相等、方向不同，则场强不同，故D 错误。
故选AC。
6．（2024·广东惠州·统考三模）沿电场线所在直线建立如图所示Ox 轴，x 轴上各点电势
随x 的变化规律
如图所示，坐标原点O 点电势为零。带电量为e 的电子仅在电场力作用下从O 点由静止释放，下列说法正
确的是（ ）
A．在0~x3区间内，电场方向始终指向x 轴正方向
B．电子到达B 点时动能为
C．电子从A 运动到C，加速度先减小后增大
D．若在B 点给电子一个沿x 轴正方向的初速度，电子一定会在AC 间做往复运动
【答案】BC
【解析】A．沿电场线方向电势降低，在0 ~x3区间内，电场方向开始就指向x 轴的负方向，故A 错误；
B．从O 到A 电场力做正功，根据动能定理可得
从O 到B 电场力做负功，根据动能定理可得
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联立解得电子到达B 点的动能为
故B 正确；
C．根据φ-x 图象的斜率表示电场强度，由图象可知从A 到C 电场强度先减小再增大，所以加速度先减小再
增大，故C 正确；
D．BC 段电场方向沿x 轴负方向，电子受电场力沿x 轴正方向，所以在B 点给电子一个沿x 轴正方向的初
速度，电子将沿x 轴正方向做直线运动，故D 错误；
故选BC。
7．（2024·湖南株洲·统考一模）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量点电荷，其中A、B 带正电，C
带负电，O、M、N 为AB 边的四等分点，则（ ）
A．A、C 所受静电力大小之比为1:
B．M、N 两点的电场强度和电势都相同
C．电子在M 点电势能比在O 点时要小
D．电子在N 点电势能比在O 点时要大
【答案】AC
【解析】A．对点电荷A 进行受力分析，点电荷A 所受点电荷B 的库仑力和C 点电荷的库仑力夹角为
，
所以A 所受的静电力为
对点电荷C 进行受力分析，根据平行四边形可知C 所受静电力大小为
所以A、C 所受静电力大小之比为1:
，故A 正确；
B．点电荷AB 在M、N 两点产生的合场强等大反向，合电势相等，点电荷C 在M、N 两点产生的电场强度
大小相等，方向不同，电势相同，根据电场强度的叠加可知M、N 两点的电场强度大小相等，方向不相同，
但电势相同，故B 错误；
CD．电子从M 到O 的过程库仑力做负功，电势能增大，所以，M 点电势能比在O 点时要小；同理电子从
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N 到O 的过程库仑力做负功，电势能增大，N 点电势能比在O 点时要小，故C 正确，D 错误。
故选AC。
三、解答题
8．（2023·四川·统考一模）如图，绝缘水平桌面上、电荷量为Q(Q > 0）的小球甲固定于A 点，另一个电
荷量为q 的有孔小球乙套在固定的绝缘竖直细杆上，且恰能静止于B 点，杆上O 点与A 等高，AO = d，
∠OAB = α = 30°，静电力常量为k，重力加速度大小为g，不计摩擦力和空气阻力，小球视为质点且电荷
量不变。
（1）指出小球乙带哪种电荷，求出小球乙的质量m；
（2）将小球乙向上拉到C 点（∠OAC = β = 60°），再由静止释放，求：
①乙球在C 点释放后瞬间的加速度大小a；
②小球到达D 点（C、D 关于O 点对称）时的动能Ek。
【答案】（1）乙带负电，
；（2）①
，②
【解析】（1）小球乙在B 点受重力、弹力和电场力这三个力作用平衡，故甲、乙间的电场力为引力，所
以乙球带负电；
由平衡条件得
解得
（2）①在C 点，由牛顿第二定律有
解得
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②C、D 两点电势相等，从C 到D，电场力做功为零，由动能定理有
解得
9．（2024·重庆·统考一模）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有
较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，如图。来自质子源的质子（初速度为零）经加速电场加速后，沿图中
四分之一圆弧虚线通过辐向电场，再从P 点竖直向上进入存在水平向右的匀强电场的圆形区域，最终轰击
处在圆上Q 点的肿瘤细胞。已知四分之一圆弧虚线处的场强大小为
，方向沿半径指向圆心O，圆O′与
OP 相切于P 点，
，圆形区域的半径为R，Q 点位于OP 上方
处，质子质量为m、电量为e．不计
质子重力和质子间相互作用，求：
（1）质子在P 点处的速度大小v；
（2）加速电场的加速电压U；
（3）圆形区域中匀强电场的场强大小
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）质子在辐向电场中做圆周运动，质子在辐向电场中电场力提供其做圆周运动的向心力，有
解得
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（2）在加速电场有
解得
（3）进入圆形电场中，其在竖直方向做匀速直线运动，有
水平方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有
设
与
的夹角为
，有
所以质子水平方向有
解得
10．（2023·福建厦门·统考二模）如图所示，竖直平面内有等量异种点电荷M、N 水平固定放置，其中M
为正电荷，N 为负电荷，两电荷正下方固定一足够长的光滑水平绝缘直杆，A、B 分别为杆上位于M、N 正
下方的两点，O 点为AB 的中点。中心开孔的小球a、b 穿在杆上，分别位于A、B 两点处，其中小球a 质
量为m、电荷量为q（q＞0），小球b 不带电且处于静止状态。将小球a 由静止释放，已知两小球碰撞为
完全弹性碰撞，且碰撞过程电量不转移，取无穷远处电势为零，A 点电势为φ，重力加速度大小为g，求：
（1）小球a 运动至O 点时，所受轨道的弹力大小；
（2）若碰撞后小球a 恰能回到O 点，求小球b 的质量；
（3）已知AB 两点的距离为L，若AB 段变为粗糙，且与小球a 的动摩擦因数
，小球a 由静止释
放后向右运动并与小球b 碰撞，为使碰后小球a 能一直向右运动，求小球b 质量的取值范围。
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【答案】（1）mg；（2）
；（3）
【解析】（1）小球a 运动至O 点时，电场力水平向右，竖直方向所受合力为零，设所受轨道的弹力大小
为
，方向竖直向上，则
（2）根据题意，取无穷远处电势为零，A 点电势为φ，则根据等量异种点电荷电场分布分析知， O 点电
势为
a 碰撞后恰能回到O 点过程，电场力做功为
从A 到B，电场力做功为
根据动能定理，从A 到B，两小球碰前小球a 的速度设为，则
a 碰撞后恰能回到O 点过程，根据动能定理
已知两小球碰撞为完全弹性碰撞，且碰撞过程电量不转移，系统动量守恒，机械能守恒
联立解得
（3）分析题意，从A 到B，AB 段变为粗糙，且与小球a 的动摩擦因数
关于O 点左右对称的分析摩擦力大小，则克服摩擦力做功为
两小球碰前小球a 的速度设为
，根据动能定理
两小球碰撞过程，系统动量守恒，机械能守恒
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若使碰后小球a 能一直向右运动，则
联立解得
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