2.2.2 摩擦力（第二课时）
【学习目标】
摩擦力突变问题的理解；
【学习重难点】
摩擦力突变问题的理解及应用。
【知识梳理】
考点一、摩擦力的突变问题
(1)分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
(2)确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
【典例分析】
例1、 如图所示，质量为10 kg 的物体A 拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为
5 N 时，物体A 与小车均处于静止状态．若小车以1 m/s2 的加速度向右运动，则(g＝10
m/s2)( )
A．物体A 相对小车向右运动
B．物体A 受到的摩擦力减小
C．物体A 受到的摩擦力大小不变
D．物体A 受到的弹簧的拉力增大
【参考答案】 C
【解析】 由题意得，物体A 与小车的上表面间的最大静摩擦力Ffm≥5 N，小车加速运动
时，假设物体A 与小车仍然相对静止，则物体A 所受合力F 合＝ma＝10 N，可知此时小车
对物体A 的摩擦力为5 N，方向向右，且为静摩擦力，所以假设成立，物体A 受到的摩擦
力大小不变，故选项A、B 错误，C 正确；弹簧长度不变，物体A 受到的弹簧的拉力大小
不变，故D 错误．
【做题感悟】“静—静”突变
物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发
生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小和方向将发生突变．
例2、(多选)在探究静摩擦力变化规律及滑动摩擦力变化规律的实验中，设计了如图甲所示
的演示装置，力传感器A 与计算机连接，可获得力随时间变化的规律，将力传感器固定在
光滑水平桌面上，测力端通过细绳与一滑块相连(调节力传感器高度可使细绳水平)，滑块
放在较长的小车上，小车一端连接一根轻绳并跨过光滑的轻质定滑轮系一只空沙桶(调节滑
轮可使桌面上部轻绳水平)，整个装置处于静止状态．实验开始时打开力传感器同时缓慢向
沙桶里倒入沙子，小车一旦运动起来，立即停止倒沙子，若力传感器采集的图像如图乙，
则结合该图像，下列说法正确的是( )
A．可求出空沙桶的重力
B．可求出滑块与小车之间的滑动摩擦力的大小
C．可求出滑块与小车之间的最大静摩擦力的大小
D．可判断第50 s 后小车做匀速直线运动(滑块仍在车上)
【参考答案】 ABC
【解析】 t＝0 时刻，力传感器显示拉力为2 N，则滑块受到的摩擦力为静摩擦力，大小
为2 N，由小车与空沙桶受力平衡可知空沙桶的重力也等于2 N，A 选项正确；t＝50 s 时静
摩擦力达到最大值，即最大静摩擦力为3.5 N，同时小车启动，说明沙子与沙桶总重力等于
3.5 N，此时摩擦力突变为滑动摩擦力，滑动摩擦力大小为3 N，B、C 选项正确；此后由于
沙子和沙桶总重力3.5 N 大于滑动摩擦力3 N，故50 s 后小车将做匀加速运动，D 选项错误．
【做题感悟】“静—动”突变
物体在静摩擦力和其他力作用下处于相对静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持
相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力．
例3、如图所示，斜面体固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．质量
为1 kg 的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩
擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力Ff随时间变化的图像是下图中的(取初速度v0的方向为
正方向，g＝10 m/s2)( )
【参考答案】 B
【解析】 滑块上滑过程中受滑动摩擦力，Ff＝μFN，FN＝mgcos θ，联立得Ff＝6.4 N，方
向沿斜面向下．当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mgsin θ＜μmgcos θ，滑块静止，
滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得Ff′＝mgsin θ，代入数据可得Ff′＝6 N，方
向沿斜面向上，故选项B 正确．
【做题感悟】“动—静”突变
在滑动摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不再受滑动摩
擦力作用，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力．
例4、(多选)如图所示,足够长的传送带与水平面夹角为θ,以速度v0逆时针匀速转动.在传送
带的上端轻轻放置一个质量为m 的小木块,小木块与传送带间的动摩擦因数μ<tan θ,则能客
观地反映小木块的受力和运动情况的是(取初速度v0的方向为正方向)( )
【参考答案】BD [解析] 当小木块速度小于传送带速度时,小木块相对于传送带向上滑动,
小木块受到的滑动摩擦力沿传送带向下,加速度a=gsin θ+μgcos θ;当小木块速度达到传送带
速度时,由于μ<tan θ,即μmgcos θ<mgsin θ,所以小木块速度能够继续增加,此时小木块所受
滑动摩擦力的大小不变,而方向突变为沿传送带向上,a=gsin θ-μgcos θ,加速度变小,则v⁃t 图
像的斜率变小,B、D 正确.
【做题感悟】“动—动”突变
在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静
止，则物体将受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向．
【归纳总结】突变问题注意事项：
分析摩擦力突变问题的三点注意
(1)题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时,一般隐藏着临界问题.有时,有些临
界问题中并不含上述常见的“临界术语”,但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突
变,则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态.
(2)静摩擦力方向取决于物体间的相对运动的趋势,而且静摩擦力存在最大值.存在静摩擦力
的系统中,相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达到最大值.
(3)研究传送带问题时,物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性
质变化的分界点.
考点二、摩擦角问题
例题：有一物块在粗糙的水平地面上滑动，物块与地面间的摩擦因数μ，物块所受的摩擦
力Ff与支持力FN的合力为F 合，F 合与支持力FN的夹角为α，求tanα？
【参考答案】tan α = Ff
F N
= μ F N
F N
= μ
【归纳总结】
1、全反力：物体之间的滑动摩擦力与弹力总是垂直且成正比,如图所示.将支持力FN与滑动
摩擦力Ff的合力叫作全反力
2、摩擦角：全反力F 全与支持力FN之间的夹角的正切值tan α= Ff
F N
=μ,可知夹角α 是一个定
值,这个角叫摩擦角.
3、结论：摩擦角只取决于动摩擦因数,即全反力的大小可变,但方向不变.
【典例分析】
例5.放在粗糙水平地面上的物体，二者间的滑动摩擦因数为μ=❑√3，现用一外力F 拉
动物块，F 与水平方向间的夹角为多大时，拉力F 最小？
【参考答案】
在拉力F 由水平变成竖直过程中,若物体始终处于平衡状态,则拉力F 先减小后增大.
当拉力F 与全反力F 全垂直时,F 最小.
变式1、如图所示,一物块置于水平地面上.当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时,物块做
匀速直线运动;当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时,物块仍做匀速直线运动.若F1和
F2的大小相等,则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
A.❑√3-1
B.2-❑√3
C.
❑√3
2
-1
2
D.1-
❑√3
2
【参考答案】B [解析] 两次力作用下物块都向右做匀速直线运动,两次全反力大小不同但
方向相同,受力情况如图甲、乙所示,现将两次全反力F 全、重力mg 及拉力F 矢量平移可得
到如图丙所示的矢量图.因∠2+∠3=60°,故∠1=30°,又因∠4=30°,则∠4+∠2+∠3=90°,由题意
知F1、F2大小相等,则F1、F2关于垂线段对称,有∠2=45°,所以摩擦角α=15°,动摩擦因数
μ=tan α,又tan 15°= sin30°
1+cos30°
,故μ=2-❑√3,选项B 正确.
例6、一倾角为θ=60°固定的斜面上有一物块在斜面上匀速下滑，求物块与斜面间的摩擦因
数μ？
【参考答案】
物体在斜面上恰好静止或匀速下滑,全反力方向竖直向上.
斜面倾角为θ,物体恰好静止或沿斜面匀速下滑(最大静摩擦拉力等于滑动摩擦力),有mgsin
θ=Ff=μmgcos θ,故tan θ=μ.
斜面的倾角θ 恰好为摩擦角α,它与质量无关,哪怕是增加垂直于斜面向上或向下的力F.
变式2、如图所示,将质量为m 的滑块放在倾角为θ 的固定斜面上.滑块与斜面之间的动摩擦
因数为μ.若滑块与斜面之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,重力加速度为g,则
(
)
A.将滑块由静止释放,如果μ>tan θ,滑块将下滑
B.给滑块沿斜面向下的初速度,如果μ<tan θ,滑块将减速下滑
C.用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动,如果μ=tan θ,拉力大小应为2mgsin θ
D.用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动,如果μ=tan θ,拉力大小应为mgsin θ
【参考答案】C [解析] 将滑块由静止释放,如果μ>tan θ ,则mgsin θ<μmgcos θ,滑块将静
止不动,选项A 错误;给滑块沿斜面向下的初速度,如果μ<tan θ,则mgsin θ>μmgcos θ,滑块
将加速下滑,选项B 错误;若拉力沿斜面向上,对滑块受力分析如图甲所示,滑块沿斜面向上匀
速滑动,且μ=tan θ,则摩擦角α=θ,平移全反力F 全、重力mg 及拉力F,可构成首尾相接的闭
合矢量三角形,如图乙所示,故F=2mgsin θ,选项C 正确;若拉力沿斜面向下,且μ=tan θ,则摩
擦角α=θ,此时全反力F 全与重力mg 在同一竖直线上,如图丙所示,由于滑块沿斜面向下匀速
滑动,故拉力应该为0,选项D 错误.
【巩固练习】
1、长木板上表面的一端放有一个木块，木块与木板接触面上装有摩擦力传感器，木板由水
平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ 变大)，另一端不动，如图甲所示，摩擦力传感
器记录了木块受到的摩擦力Ff随角度θ 的变化图像如图乙所示．重力加速度为g，下列判
断正确的是( )
A．木块与木板间的动摩擦因数μ＝tan θ1
B．木块与木板间的动摩擦因数μ＝
C．木板与地面的夹角为θ2时，木块做自由落体运动
D．木板由θ1转到θ2的过程中，木块的速度变化越来越快
【参考答案】 D
【解析】 由题图可知，当木板与地面的夹角为θ1时木块刚刚开始滑动，木块重力沿木板
向下的分力等于Ff2，则Ff2＝mgsin θ1，刚滑动时有Ff1＝μmgcos θ1，则μ＝，由题图知
Ff1<Ff2，即μmgcos θ1<mgsin θ1，解得μ<tan θ1，故选项A、B 错误；当木板与地面的夹
角为θ2时，木块受到的摩擦力为零，则木块只受重力作用，但此时速度不是零，木块不做
自由落体运动，做初速度不为零、加速度为g 的匀加速运动，故选项C 错误；对木块，根
据牛顿第二定律有：mgsin θ－μmgcos θ＝ma，则a＝gsin θ－μgcos θ，则木板由θ1转到
θ2的过程中，随着θ 的增大，木块的加速度a 增大，即速度变化越来越快，故选项D 正确．
2、把一重为G 的物体用一个水平的推力F＝kt(k 为恒量，t 为时间)压在竖直的足够高的平
整的墙上，如图所示。从t＝0 开始物体所受的摩擦力Ff随t 的变化关系是( )
【参考答案】 B
【解析】 根据滑动摩擦力Ff＝μFN＝μF，随着压力F 均匀增大，摩擦力Ff均匀增大，当
摩擦力增大到大于重力以后，物体做减速运动直到静止，摩擦力变为静摩擦力，以后始终
等于受到物体的重力，故选项B 正确。
3、如图所示,质量为1 kg 的物体在水平面上向右运动,同时受到一个斜向左下与水平方向夹
角为37°的F=10 N 的恒力作用,物体和水平面间的动摩擦因数为0.625,取水平向右为正方
向,g 取10 m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,sin 37°=0.6,则该物体所受的摩擦力Ff随时间
t 变化的关系图像为( )
A
B
C
D
【参考答案】C [ 解析] 物体在运动的过程中受到的滑动摩擦力的大小为
Ff=μFN=μ(mg+Fsin 37°)=10 N,所以在物体向右运动的过程中,受到的滑动摩擦力的大小为10
N,方向向左;当物体减速到零时,由于物体受到的水平拉力大小为Fx=Fcos 37°=8 N,小于物体
与地面间的最大静摩擦力,大小为10 N,所以物体不会再运动,此时物体受到的摩擦力为静摩
擦力,大小为8 N,方向向右,故选
4、 (多选)[2024·江西宜春模拟] 如图所示,重力G=100 N 的物体在沿斜面向上的力F=30
N 的作用下静止于倾角θ=30°的斜面上,当F 发生下列变化时,关于摩擦力的变化情况判断正
确的是
( )
A.当F 变为40 N 时,摩擦力为40 N,方向沿斜面向上
B.当F 变为50 N 时,摩擦力为0
C.当F 变为80 N 时,摩擦力为30 N,方向沿斜面向下
D.当F 从30 N 逐渐变为60 N 的过程中,摩擦力先减小后增大
【参考答案】BD [解析] 当F 变为40 N 时,Ff=Gsin 30°-F=10 N,方向沿斜面向上,故A 错
误.当F 变为50 N 时,Ff=Gsin 30°-F=0,故B 正确;当F 变为80 N 时,如果物体相对斜面静止,
则Ff=F-Gsin 30°=30 N,方向沿斜面向下;如果物体已经发生滑动,摩擦力变为滑动摩擦力,由
于动摩擦因数未知,故摩擦力未知,方向沿斜面向下,故C 错误.当F 从30 N 逐渐变为60 N 的
过程中,摩擦力先沿斜面向上逐渐减小,当F=50 N 之后,摩擦力方向沿斜面向下逐渐增大,故D
正确.
5、如图所示，质量为1 kg 的物体与地面间的动摩擦因数μ=0.2，从t=0 时刻开始以初速度
v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F=1 N 的作用，取向右为正方向，
该物体受到的摩擦力f 随时间变化的图像是下列图中的（g 取10 m/s2）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】开始物体受到水平向左的滑动摩擦力，
物体速度减为0 后，
所以物体受到水平向右的静摩擦力，
故选A。
6、当今物流业相当发达，货车货运功不可没。如图所示，司机为方便卸货，在距水平地面
的高度为
的车厢底部与地面之间用长度为
的木板搭建了一个斜面。若货物恰好能
沿木板匀速下滑，则货物与木板间的动摩擦因数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，设货物的质量为
，木板的倾角为
，货物与木板间的动摩擦因数为
，对货物，根据物体的平衡条件有
又有
，解得
故选A。
7、(多选)如图所示,一质量m=0.4 kg 的小物块置于斜面上,斜面的倾角θ=30°,物块与斜面之
间的动摩擦因数μ=
❑√3
3
,在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下,物块沿斜面向上做匀速直线运
动,当拉力F 与斜面的夹角为α 时,拉力最小,为Fmin,已知重力加速度g 取10 m/s2.下列说法正
确的( )
A.物块受到的支持力与摩擦力的合力大小与拉力F 无关
B.物块受到的支持力与摩擦力的合力方向与拉力F 无关
C.当夹角α=60°时拉力最小,Fmin为4 N
D.当夹角α=30°时拉力最小,Fmin为2❑√3 N
【参考答案】BD [解析] 将摩擦力和支持力合成为全反力,如图甲所示,可计算出摩擦角大
小α=arctan F f
F N
=arctan μ,代入数据得 α=30°,其方向与拉力F 无关,全反力的大小F 全反=
❑√F f
2+ F N
2=❑√μ
2+1·FN,因FN与拉力F 有关,全反力的大小与F 有关,选项A 错误,B 正确;对
物体受力分析,根据矢量运算法则,当拉力F 与全反力F 全垂直时,拉力F 取最小,如图乙所示,
则最小值Fmin=mgsin (α+θ)=2❑√3 N,此时拉力F 与斜面的夹角为30°,选项D 正确.
