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专题12 带电粒子在组合场、叠加场中的运动
一、单选题
1．（2024·广东·一模）如图所示为世界上第一台回旋加速器，这台加速器的最大回旋半径只有5cm，加速
电压为2kV，可加速氘离子达到80keV 的动能。关于回旋加速器，下列说法正确的是（ ）
A．若仅加速电压变为4kV，则可加速氘离子达到160keV 的动能
B．若仅最大回旋半径增大为10cm，则可加速氘离子达到320keV 的动能
C．由于磁场对氘离子不做功，磁感应强度大小不影响氘离子加速获得的最大动能
D．加速电压的高低不会对氘离子加速获得的最大动能和回旋时间造成影响
【答案】B
【详解】AC．由洛伦兹力提供向心力
可得，最大速度
（其中k 为比荷）
可知最大速度和加速电压无关，和最大回旋半径、磁感应强度成正比，故AC 错误；
B．最大速度和最大回旋半径成正比，故仅最大回旋半径增大为10cm 时，最大速度变为原来的2 倍，动能
变为原来的4 倍，故B 正确；
D．加速电压会改变加速过程的加速度，而最大速度不变，因此会改变加速的次数和回旋时间，故D 错误。
故选B。
2．（2024·北京丰台·一模）一束含有两种比荷
的带电粒子，以各种不同的初速度沿水平方向进入速度
选择器，从O 点进入垂直纸面向外的偏转磁场，打在O 点正下方的粒子探测板上的，
和
点，如图甲所
示。撤去探测板，在O 点右侧的磁场区域中放置云室，若带电粒子在云室中受到的阻力大小
，k 为
1
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常数，q 为粒子的电荷量，其轨迹如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．打在
点的带电粒子的比荷小
B．增大速度选择器的磁感应强度，
、
向下移动
C．打在
点的带电粒子在云室里运动的路程更长
D．打在
点的带电粒子在云室里运动的时间更短
【答案】D
【详解】A．只有竖直方向受力平衡的离子，才能沿水平方向运动离开速度选择器，即
可得
可知粒子进入磁场
的速度相等，根据
可得
则
可知打在
点的带电粒子的比荷大，故A 错误；
B．增大速度选择器的磁感应强度，粒子经过速度选择器过程中向洛伦兹力方向发生偏转，电场力做负功，
2
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可知粒子到达磁场
的速度变小，根据
可知粒子在磁场
做圆周运动的半径变小，则
、
向上移动，故B 错误；
CD．在云雾室内受到的阻力始终与速度方向相反，做负功，洛伦兹力不做功，根据动能定理
可得
两个带电粒子的速度大小相等，结合A 选项分析可知打在
点的带电粒子在云室里运动的路程更长，打在
点的带电粒子在云室里运动的路程更短，打在
点的带电粒子在云室里运动的时间更短故C 错误，D 正
确。
故选D。
3．（2024·广东佛山·一模）在自行车上安装码表可记录骑行情况。如图，码表由强磁铁、霍尔传感器及显
示器组成。霍尔传感器固定在自行车前叉一侧，强磁铁固定在车轮的一根辐条上。车轮半径为
，霍尔传
感器到车轴的距离为。强磁铁每次经过霍尔传感器时，
端均输出一次电信号，若每秒强磁铁
次经过
霍尔传感器，同时显示器数据更新一次，则（ ）
A．显示器上的里程
是指骑行的位移大小
B．磁铁如图经过传感器时，导电的电子向
端汇聚
C．上图中
两端电势的高低，与磁铁运动的方向有关
D．自行车的速度
是由
换算得来的
3
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【答案】B
【详解】A．显示器上的里程
是指骑行的路程，故A 错误；
B．电子移动的方向与电流相反，根据左手定则可知，电子的安培力方向是由P 指向Q 的，则导电的电子
向
端汇聚，故B 正确；
C．无论磁铁是顺时针还是逆时针，通过霍尔元件的磁感应强度方向不变，导电的电子仍向Q 端汇聚，则
当稳定之后，有电场力和洛伦兹力平衡，即
解得
可知，与磁铁运动的方向无关，故C 错误；
D．根据圆周运动各个物理量之间关系，自行车的线速度为
故D 错误。
故选B。
4．（23-24 高三上·北京丰台·期末）如图所示，利用霍尔元件可以监测无限长直导线的电流。无限长直导
线在空间任意位置激发磁场的磁感应强度大小为：
，其中k 为常量，I 为直导线中电流大小，d 为
空间中某点到直导线的距离。霍尔元件的工作原理是将金属薄片垂直置于磁场中，在薄片的两个侧面a、b
间通以电流
时，e、f 两侧会产生电势差。下列说法正确的是（ ）
A．该装置无法确定通电直导线的电流方向
B．输出电压随着直导线的电流强度均匀变化
C．若想增加测量精度，可增大霍尔元件沿磁感应强度方向的厚度
D．用单位体积内自由电子个数更多的材料制成霍尔元件，能够提高测量精度
4
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【答案】B
【详解】A．若电流向右，根据左手定则，安培力向内，载流子是自由电子，故后表面带负电，前表面带
正电，故前表面e 面电势较高；若电流向左，前表面f 面电势较高；则可以根据e、f 两侧电势高低判断通
电导线中的电流方向，故A 错误；
B．设前后表面的厚度为
，金属薄片的厚度为h，导线中单位体积的电子数为n，最终电子在电场力和洛
伦兹力的作用下处于平衡，有
根据电流微观表达式，有
解得
所以输出电压随着直导线的电流强度均匀变化，故B 正确；
CD．由
可得
可知增大霍尔元件沿磁感应强度方向的厚度h，用单位体积内自由电子个数n 更多的材料制成霍尔元件，
在直导线电流一定时，e、f 两侧的电势差减小，测量精度减小，故CD 错误。
故选B。
二、多选题
5．（2024·广东·模拟预测）如图所示，将一个磁流体发电机与电容器用导线连接起来，持续向板间喷入垂
直于磁场速度大小为v1的等离子体（不计重力），板间加有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；
有一带电油滴从电容器的中轴线上匀速通过电容器。两个仪器两极板间距相同，重力加速度为g，下列说
法正确的是（ ）
5
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A．带电油滴带正电
B．油滴的荷质比
C．增大等离子体的速度v1，油滴将向上偏转
D．改变单个等离子体所带的电量，油滴不能匀速通过
【答案】BC
【详解】A．对油滴受力分析可知，油滴受到向上的电场力，对磁流体发电机分析，上极板带正电，在电
容器中形成向下的电场，故油滴带负电，故A 错误；
B．由磁流体发电机可得
两板间的电势差为
在电容器中对油滴有
化简可得油滴的荷质比为
故B 正确；
C．增大等离子体的速度v1，油滴受到的静电力
变大，则
则油滴将向上偏转，故C 正确；
D．磁流体发电机的电动势为
与等离子体的电荷量无关，即改变单个等离子体所带的电量，油滴仍能匀速通过，故D 错误。
故选BC。
6．（2024·江西景德镇·一模）光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强
电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直
6
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向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为
，如图所示。现给小
球一个向右的初速度，离开桌边缘立刻进入复合场运动，从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹
角为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球在复合场中的运动时间可能是
B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是
C．小球在复合场中运动的路程可能是
D．小球的初速度大小可能是
【答案】AC
【详解】带电小球的比荷为
，则有
则小球合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，射出时的速度方向与下边界的夹角为
，
则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示
7
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若小球速度为
，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为
，此时小球在复合场中的运动时间为
根据几何知识可得，其轨迹半径为
则根据洛伦兹力提供向心力有
可得，小球的速度为
则小球的路程为
小球的加速度为
若小球速度为
，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为
，此时小球在复合场中的运动时间为
根据几何知识可得，其轨迹半径为
则根据洛伦兹力提供向心力有
可得，小球的速度为
则小球的路程为
8
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小球的加速度为
故选AC。
三、解答题
7．（2024·河北·一模）如图所示，竖直虚线的左侧有水平向左的匀强电场，右侧存在垂直纸面向外、磁感
应强度大小为B 的匀强磁场，比荷为k 的负粒子甲由电场中的M 点无初速释放，由O 点进入磁场，OM 在
一条直线上，经过一段时间与静止在N 点的不带电粒子乙发生无能量损失的碰撞，碰后两粒子的电荷量均
分。已知粒子乙的质量为粒子甲质量的
，
，N 到两虚线的距离均为L。忽略粒子的重力以及碰后
粒子间的相互作用。
（1）求竖直虚线左侧电场强度的大小；
（2）若粒子甲、乙碰后的瞬间，立即将粒子乙拿走，求粒子甲从释放到第四次通过竖直虚线时到O 点的
距离。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子甲在磁场中做匀速圆周运动经过N 点，由几何关系可知粒子甲在磁场中做圆周运动的
轨迹半径为L，由洛伦兹力提供向心力有
解得
设电场强度大小为E，粒子甲从M 到O 的过程，由动能定理有
9
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解得
（2）粒子甲、乙碰撞过程无机械能损失，设粒子甲的质量为m，碰后瞬间粒子甲、乙的速度分别为
、
，
则粒子乙的质量为
，取碰前瞬间甲的速度方向为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有
解得
由洛伦兹力提供向心力有
解得
则碰撞后粒子甲在磁场中做圆周运动的轨迹半径仍为L，则再偏转
个圆周后垂直竖直虚线进入电场，粒
子甲在电场中先向左做匀减速直线运动，再向右做匀加速直线运动，由对称性可知粒子甲再次进入磁场时
速度大小不变，做圆周运动的轨迹半径仍为L，可知粒子甲第四次通过竖直虚线时到O 点的距离为
8．（2024·福建漳州·三模）2023 年10 月26 日，“神舟十七号”航天员顺利奔赴“天宫”。为防止宇宙间
各种高能粒子对在轨航天员造成的危害，研制出各种磁防护装置。某同学设计了一种磁防护模拟装置，装
置截面图如图所示，以O 点为圆心的内圆、外圆半径分别为R、
，区域中的危险区内有垂直纸面向外
的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点处开有一小
孔C。一质量为m、电荷量为
、不计重力的带电粒子从左板内侧的A 点由静止释放，两板间电压为U，
粒子经电场加速后从C 点沿
方向射入磁场，恰好不进入安全区，粒子每次与绝缘薄板碰撞后原速反弹。
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求：
（1）粒子通过C 点时的速度大小v；
（2）磁感应强度的大小B；
（3）粒子从离开电场到再次返回电场所需的时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从A 点运动到C 点，根据动能定理得
解得
（2）设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，如图所示
由几何关系得
解得
由牛顿第二定律得
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解得
（3）设粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为
，由几何关系得
解得
粒子在磁场中运动的周期为
粒子从C 点到第一次与绝缘薄板碰撞所需时间为
解得
由几何关系可得粒子在危险区运动时总共与绝缘薄板发生5 次碰撞，粒子从离开电场到再次返回电场所需
的时间
9．（2024·安徽六安·模拟预测） 如图甲所示， 两平行金属导轨 MN、PQ 放在水平桌面上，间距为4d，
其左端用导线接在两平行金属板AB、CD 上，两金属板间距为2d，且到两导轨的距离相等。导轨间两虚线
之间存在竖直向下宽度为d 的均匀磁场，磁场的变化如乙图所示。导轨的右端垂直放一质量为M 的导体棒
ab，ab 到右侧虚线的距离为
。在
时刻，一带电粒子（不计重力） 沿两板中线自左端O 点以某一
速度射入，同时 ab 棒以同一速度向左开始运动； 在
时刻粒子恰好过下板右端点进入磁场区，同时
ab 棒恰好到达磁场右边界静止（不计一切电阻）。求：
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（1） 0 到
时间内系统产生的热量Q；
（2） 带电粒子的比荷
；
（3） 粒子打在导体棒上的位置到MN 导轨的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，金属棒向左做匀减速直线运动，对金属棒有
对金属棒，根据能量守恒定律有
解得
（2）粒子进入极板间做类平抛运动，在垂直于板的方向上有
其中加速度为
结合图乙，根据法拉第电磁感应定律有
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解得
（3）粒子进入极板间做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则平行板的长度
令粒子进入磁场中的速度与竖直方向夹角为
，则有
，
，
解得
，
时刻之后，磁场的磁感应强度一定，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，
则有
解得
作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
令粒子打在导体棒上的位置到MN 导轨的距离为
，根据几何关系有
解得
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10．（23-24 高三上·江苏·阶段练习）某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为
d 的圆形金属板M、N 的圆心分别为
、
，位于
处的粒子源能向两板间各个方向发射质量为m、电荷
量为q 的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
（1）仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿
方向的匀强电场。求粒子源发射出的粒子速度大小满
足什么条件时能全部击中N 板；
（2）仅在两板间加沿
方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射出的方向与
连
线成
（
）角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N 板；
（3）若两板间同时存在方向都沿
方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子源发射出
速度大小均为v，方向垂直于
连线的粒子，全部落在半径为
的圆周上（
），求电场强度
的大小。
【答案】（1）速度应小于等于
；（2）
；（3）
。
【详解】（1）速度与场强垂直的粒子击中N 板，则全部击中N 板
其中
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解得
所以，速度应小于等于
。
（2）粒子源发射出的方向与
连线成
（
）角的粒子，做螺旋等距运动，
根据洛伦兹力提供向心力
根据题意可知
解得
（3）设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足
根据
其中
且粒子圆周运动周期
联立解得
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11．（2024·山东德州·模拟预测）如图所示，某种离子扭转器可以将射向不同方向的粒子，通过改变电场
或磁场的大小和方向，使其经过相同的点，该装置由间距均为L 的三块带有小孔的平行金属板M、N、P 构
成，三块金属板的中心小孔O、O1、O2连线与三块金属板垂直，粒子可以通过M 板上的中心小孔O，向各
个方向发射，让粒子经过N 板上的小孔a，最后从P 板上的小孔O2射出，已知小孔a 在O1的正上方，到O1
的距离为
。以金属板M 的中心O 为坐标原点，以水平向内为x 轴，竖直向上为y 轴，垂直于
金属板向右方向为z 轴，建立直角坐标系。M、N 板之间的区域为I 区，N、P 板间的区域为II 区。从正离子
源射出的粒子质量为m，带电量为q，以速度v0从金属板的小孔O 射入（不计粒子重力）。
（1）若粒子沿着y 轴正方向射入，在I 区加上与x 轴平行的匀强磁场B1，在II 区加上与y 轴平行的匀强电
场E1，求B1，E1的大小及方向；
（2）若粒子入射的方向在xOz 平面内，与x 轴正方向夹角α（为锐角），在I 区加上沿z 轴负方向的匀强
磁场B2，同时调整M、N 间的距离，使I 区的宽度达到最小值，求B2及I 区宽度的最小值
；
（3）在满足（2）的条件下，在II 区加平行于金属板的电场E2。求E2的大小。
【答案】（1）
，方向沿x 轴负方向；
，方向沿y 轴正方向；（2）
，
；（3）
【详解】（1）粒子在区域I 中做匀速圆周运动，圆心在z 轴上，根据左手定则可知，磁场方向沿x 轴负方
向，设轨道半径为R1，离开I 区时速度方向与竖直方向夹角为θ，如图所示
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有几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力得
联立可得
，
在区域II 中粒子做类斜抛运动，则
又
联立可得
方向沿y 轴正方向。
（2）将初速度分解到沿z 轴方向和x 轴方向，根据左手定则可知，粒子沿z 轴方向做匀速直线运动，在垂
直z 轴平面内做匀速圆周运动，a 点恰好是圆周运动的最高点，因此
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联立可得
由
联立解得
（3）在通过a 点后，若通过小孔O2，在z 轴方向
在x 轴方向上
其中
在y 轴方向上
又
由以上各式联立解得
12．（2024·湖南长沙·一模）某粒子分析装置的部分简化结构如图所示，主要由粒子源、圆柱形磁场区和6
面是荧光屏的长方体仪器OABC-DEFG 构成，粒子打在屏上会被吸收。以长方体仪器的顶点O 为坐标原点，
建立三维坐标系O-xyz。长方体仪器的长AB、宽AO、高AD 分别为2a、2a、a，长方体所在空间存在方向
沿x 轴正向的匀强磁场Ⅰ（图中未画出）。圆柱形区域的长为2a，底面圆半径为R，圆柱形位于长方体仪
器的正上方，两者通过长方体正上方狭缝PQ 连通，P 为DE 的中点，Q 为GF 的中点，圆柱形区域所在空
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间存在方向沿x 轴正向的匀强磁场Ⅱ（图中未画出），在xoz 平面有一与圆柱体等高等长的长方形粒子源，
能沿着y 轴正方向发射速率均为v 的正电粒子，所有进入圆柱体空间的粒子都恰能通过狭缝PQ 再进入长方
体仪器，恰好没有粒子打到BCFE 面。已知带电粒子的比荷为k，不计粒子重力及粒子间相互作用，试求：
（1）匀强磁场Ⅰ磁感应强度
的大小；
（2）打在顶面DEFG 粒子数目
和打在底面OABC 的粒子数目
之比；
（3）若仅将匀强磁场Ⅰ的方向调整为沿y 轴正方向，大小不变，且其他条件不变，对于从Q 点入射的粒
子，能打到长方体仪器BCFE 面上的粒子最长运动时间以及能打在BCFE 面上的粒子数目
与Q 点入射的
粒子总数N 之比。（已知
，则
的大小可表示为
）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）带电粒子经圆柱体仪器磁场作用后聚焦于狭缝
，再经过狭缝
平行于
平面沿各个
方向均匀射入长方体仪器，以
点射入粒子为例，其他点射入的情况相似。画出过
点再
面上的部
分粒子运动轨迹图，如图所示。在长方体仪器中，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力可得
结合带电粒子的比荷
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可得匀强磁场Ⅰ磁感应强度
的大小为
（2）由图中几何关系可知，射入长方体仪器的粒子，速度与
轴正方向的夹角在
和
之间的粒子会打
在底面
上；速度与
轴正方向的夹角在
和
之间的粒子会打在顶面
上；则有
（3）当把匀强磁场Ⅰ的方向调整为沿
轴正方向后，可将入射速度沿着
轴和轴进行分解，入射速度与
轴正方向的夹角设为
，如图所示
则有
，
分析可知，可将带电粒子运动分解为平行于
平面的面上做匀速圆周运动和平行于
轴方向上做匀速直
线运动，在平行于
平面的面上，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
结合几何关系，当
在
附近时，粒子打在顶面
上，粒子的运动时间为
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带电粒子在平行于
轴方向上做匀速直线运动，则有
当
略大于
时，粒子打在
面上，粒子的运动时间为
当
时，粒子打在
面上，此时
当
时，粒子恰好打在
面上，粒子有最长运动时间
当
时，粒子打在
面上，易知打在
面上的粒子数目
与
点入射的粒子总数
之
比为
22
