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知识点1：匀变速直线运动的规律及应用
题型一：描述运动的基本概念
【典例1 拔尖题】雷达是一种利用电磁波来测定物体位置和速度的设备，某防空雷达发现
一架飞机正在沿水平方向朝雷达正上方匀速飞来．某时刻在雷达监视屏上显示的波形如图
甲所示，经过t＝173 s 后雷达向正上方发射和接收到的波形如图乙所示，已知雷达监视屏
上相邻刻度线间表示的时间间隔为1×10－4s，电磁波的速度为3×108m/s，则该飞机的飞
行速度大小约为( )
A. 1 200 m/s
B. 900 m/s
C. 500 m/s
D. 300 m/s
【典例1 拔尖题】【答案】D
【解析】由题图甲知，雷达第一次发射电磁波时，飞机和雷达的距离为s1＝ct1＝
×3×108×4×10－4m＝6×104m，由题图乙得雷达第二次发射电磁波时，飞机和雷达的竖直距离
为h＝ct2＝×3×108×2×10－4m＝3×104m．设该段时间内飞机水平飞行的距离为s2，则s1、
s2、h 在空间构成一个直角三角形，利用数学关系得s2＝
＝3
×104m，飞机的飞
行速度v＝
≈300 m/s，选D.
题型二：解决匀变速直线运动的方法
类型一：应用常规法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
（1）解决匀变速直线运动的基本思路：
→→→→
注意：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当
v0＝0 时，一般以加速度a 的方向为正方向．速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取
正，相反时取负。
（2）解决匀变速直线运动的常用方法：
1
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【典例2a 拔尖题】（多选）高铁进站的过程近似为高铁做匀减速运动，高铁车头依次经过
A、B、C 三个位置，已知AB＝BC，测得AB 段的平均速度为30 m/s，BC 段平均速度为
20 m/s.根据这些信息可求得( )
A．高铁车头经过A、B、C 的速度 B．高铁车头在AB 段和BC 段运动的时间
C．高铁运动的加速度 D．高铁车头经过AB 段和BC 段时间之比
【典例2a 拔尖题】【答案】AD
【解析】设高铁车头在经过A、B、C 三点时的速度分别为vA、vB、vC，根据AB 段的平均
速度为30 m/s，可以得到：＝30 m/s；根据在BC 段的平均速度为20 m/s，可以得到：＝
20 m/s；设AB＝BC＝x，整个过程中的平均速度为：＝＝＝24 m/s，所以有：＝24 m/s，
联立解得：vA＝34 m/s，vB＝26 m/s，vC＝14 m/s，由于不知道AB 和BC 的具体值，则不
能求解运动时间及其加速度的大小，A 选项正确，B、C 选项错误．tAB∶tBC＝∶＝2 3∶，D
选项正确．
【典例2a 拔尖题对应练习】（多选）一段高速公路上限速120 km/h，为监控车辆是否超
速，设置了一些“电子警察”系统，其工作原理如图所示：路面下，距离L 埋设两个传感
器线圈A 和B，当有车辆经过线圈正上方时，传感器能向数据采集器发出一个电信号；若
有一辆汽车(在本题中可看作质点)经过该路段，两传感器先后向数据采集器发送信号，时
间间隔为Δt，经微型计算机处理后得出该车的速度，若超速，则计算机将控制架设在路面
上方的照相机C 对汽车拍照，留下违章证据．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A. 计算汽车速度的表达式v＝
B. 计算汽车速度的表达式v＝
C. 若L＝5 m，Δt＝0.2 s，照相机将会拍照
D. 若L＝5 m，Δt＝0.2 s，照相机不会拍照
【典例2a 拔尖题对应练习】【答案】AD
【解析】计算汽车速度的原理是利用短时间内的平均速度来代替瞬时速度，故汽车速度的
表达式为v＝
，A 正确，B 错误；若L＝5 m，Δt＝0.2 s，则汽车的速度为v＝
＝25 m/s
＝90 km/h<120 km/h，未超速，故照相机不会拍照，C 错误，D 正确．
类型二：应用待定系数法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
2
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由位移x 与时间t 的关系式可以联想到位移时间关系，利用待定系数法求解。
【典例2b 拔尖题】质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系如下，表示质点做匀减速直线
运动的是（ ）
A．x= -5t+t2
B．x=5+t2
C．x= -5t-t2
D．x= 5-t2
【典例2b 拔尖题】【答案】A
【解析】根据
可知：由x= -5t+t2可知v0=-5m/s，a=2m/s2，加速度的方向与
初速度方向相反，则质点做匀减速运动，选项A 正确；由x= 5+t2可知v0=0，a=2m/s2，则
质点做匀加速运动，选项B 错误；由x= -5t-t2可知v0=-5m/s，a=-2m/s2，加速度的方向与初
速度方向相同，则质点做匀加速运动，选项C 错误；由x= 5-t2可知v0=0，a=-2m/s2，则质
点做匀加速运动，选项D 错误；故选A。
【典例2b 拔尖题对应练习】质点沿x 轴做直线运动的位置坐标x 与时间t 的关系为x＝2＋
4t－t2(各物理量都采用国际单位制单位)，则该质点( )
A．第1 s 的位移大小是5 m B．前2 s 内的平均速度大小是3 m/s
C．2 s 末的速度大小减小为0 D．4 s 末质点位于坐标原点处
【典例6 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】代入位移－时间公式x＝v0t＋at2可知，质点从距离原点2 m 处的位置出发，初速
度为4 m/s，做加速度a＝－2 m/s2的匀减速直线运动．第1 s 内的位移是4×1 m－×2×1 m
＝3 m，A 错误；前2 s 内的总位移是4 m，则平均速度是2 m/s，B 错误；由速度－时间公
式v＝v0＋at 可知，2 s 末速度为0，C 正确；4 s 末质点位置为x＝(2＋4×4－42) m＝2 m，
D 错误．
题型三：自由落体运动
【知识思维方法技巧】
求解自由落体运动的两点注意：
（1）要充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题．
①从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1 3 5 7 …
∶∶∶∶
②从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt.
③连续相等时间T 内的下落高度之差Δh＝gT2.
（2）物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是
自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决
此类问题．
类型一：单个物体自由落体运动模型
【典例3a 拔尖题】蹦极是一项刺激的户外休闲活动，可以使蹦极者在空中体验几秒钟的
“自由落体”。某蹦极者站在高塔顶端，将一端固定的弹性长绳系在腰上，然后双臂伸开，
双腿并拢，头朝下跳离高塔。设弹性绳的原长为L，蹦极者下落第一个
时速度的增加量
为Δv1，下落第五个
时速度的增加量为Δv2，把蹦极者视为质点，蹦极者离开塔顶时的速
度为零，不计空气阻力，则
满足（ ）
3
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A．1<
<2 B．2<
<3 C．3<
<4 D．4<
<5
【典例3a 拔尖题】【答案】D
【解析】蹦极者下落高度L 的过程，可视为自由落体运动，对于初速度为零的匀加速直线
运动，通过连续相等位移的时间之比为1：（
－1）：（
－
）：（2－
）：（
－2）：…，可知
＝
＝
＋2 即4<
<5 根据Δv＝gt 可得4<
<5 故D 正确，
ABC 错误。故选D。
【典例3a 拔尖题对应练习】一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为
1kg 的小球从一定的高度自由下落，测得在第5s 内的位移是18m，则（ ）
A．小球在2s 末的速度是20m/s
B．该星球上的重力加速度为4m/s2
C．小球在第5s 内的平均速度是18m/s
D．小球在前5s 内的位移是100m
【典例3a 拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】自由落体运动第1s 内，第1s 内，第2s 内，第3s 内，第4s 内，第5s 内位移之比
为
设前5s 的位移为x，则
解得
由匀
变速的位移公式的
解得重力加速度为
小球在2 s 末的速度为
，B 正确，AD 错误；小球在第5s 内的平均速度为
，C 正确；
故选BC。
类型二：长度不能忽略的单个物体自由落体运动模型
【知识思维方法技巧】
杆过观察点时间问题的处理技巧：要充分利用初速度为0 的特点解题。
设杆长L，杆的下端到观察点的距离为h
①杆下端下落到观察点的时间
t1=√
2h
g
②杆上端下落到观察点的时间
t2=√
2( L+h)
g
③
所以整杆通过观察点的时间
Δt=√
2( L+h)
g
−√
2h
g
【典例3b 拔尖题】高楼坠物危害极大，常有媒体报道高空坠物伤人事件。某建筑工地一根
长为l 的直钢筋突然从高空坠下，垂直落地时，恰好被检查安全生产的随行记者用相机拍
到钢筋坠地瞬间的照片。为了查询钢筋是从几楼坠下的，检查人员将照片还原后测得钢筋
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的影像长为L，且
，查得当时相机的曝光时间为t，楼房每层高为h，重力加速度为
g，则（影像长度包括钢筋长度和钢筋坠地前在曝光时间t 内下落的距离）（ ）
A．钢筋坠地瞬间的速度约为
B．钢筋坠下的楼层为
C．钢筋坠下的楼层为
D．钢筋在整个下落时间内的平均速度约为
【典例3b 拔尖题】【答案】BD
【解析】最后t 时间内的位移为（L－l），故平均速度
由于t 时间极短，可以表示
末时刻的瞬时速度，故末速度为
，A 错误；对运动全程，根据速度位移公式v2＝
2gh 得
故楼层为
，C 错误，B 正确；钢筋在整个下落
时间内的平均速度
，D 正确。故选BD。
题型四：竖直上抛运动和类竖直上抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）竖直上抛运动的两种研究方法：
分段法
将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段
全程法
将全过程视为初速度为v 0，加速度a＝－g 的匀变速直线运动，必须注意物理量
的矢量性．习惯上取v 0的方向为正方向，则v＞0 时，物体正在上升；v＜0 时，
物体正在下降；h＞0 时，物体在抛出点上方；h＜0 时，物体在抛出点下方
（2）竖直上抛运动的主要特性：
对称性
①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向
②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等
多解性
当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，
形成多解，在解决问题时要注意这个特性
类型一：应用常用的方法解决竖直上抛运动
【典例4a 拔尖题】（多选）从高为20 m 的位置以20 m/s 的初速度竖直上抛一物体，g 取
10 m/s2，当物体到抛出点距离为15 m 时，所经历的时间可能是( )
A．1 s B．2 s C．3 s
D．(2＋) s
【典例4a 拔尖题】【答案】ACD
【解析】取竖直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m 时，位移为x
＝15 m，由竖直上抛运动的位移公式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；当物体运动到抛
出点下方离抛出点15 m 时，位移为x′＝－15 m，由x′＝v0t－gt2，解得t＝(2＋) s 或t＝(2
－) s(负值舍去)，选项A、C、D 正确，B 错误．
【典例4a 拔尖题对应练习】如图所示，建筑工人常常徒手抛砖块，地面上的工人以10
m/s 的速度竖直向上间隔1 s 连续两次抛砖，每次抛一块，楼上的工人在距抛砖点正上方
3.75 m 处接砖，g 取10 m/s2，空气阻力可以忽略，则楼上的工人两次接砖的最长时间间隔
为( )
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A．4 s B．3 s C．2 s
D．1 s
【典例4a 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】研究第一块砖：h＝v0t＋(－g)t2，即3.75 m＝(10t－5t2) m，解得t1＝0.5 s，t2＝1.5
s，分别对应第一块砖上升过程和下降过程，根据题意第二块砖到达抛砖点正上方3.75 m
处的时间为t3＝1.5 s，t4＝2.5 s，楼上的工人两次接砖的最长时间间隔为Δt＝t4－t1＝2 s，
选项C 正确．
类型二：应用等效转化法求解多个物体的竖直上抛运动
【知识思维方法技巧】
在运动学问题的解题过程中，若多个物体所参与的运动规律完全相同，可用等效转化法将
多个物体的运动转换为一个物体的连续运动，解答过程将变得简单明了。
【典例4b 拔尖题】一杂技演员用一只手抛球、接球，他每隔0.4 s 抛出一球，接到球便立
即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4 个球，将球的运动近似看作是竖直方
向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，取g＝10 m/s2)( )
A．1.6 m B．2.4 m C．3.2 m D．4.0 m
【典例4b 拔尖题】【答案】C
【解析】将4 个小球依次抛出后均做相同的竖直上抛运动，但同时研究4 个小球的运动比
较复杂，将4 个小球的运动转换为一个小球所做的连续运动，小球每隔0.4 s 对应的位置，
对应各小球在同一时刻的不同位置，问题便能迎刃而解。由题图所示的情形可以看出，四
个小球在空中的位置与一个小球抛出后每隔0.4 s 对应的位置是相同的，因此可知小球抛出
后到达最高点和从最高点落回抛出点的时间均为t＝0.8 s，故有Hm＝gt2＝3.2 m，C 正确。
【典例4b 拔尖题对应练习】一杂技演员把三个球依次竖直向上抛出，形成连续的循环。
他每抛出一个球后，经过一段与刚才抛出的球在手中停留时相等的时间接到下一个球。
这样，在总的循环中，有时空中有三个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半
时间有一个球，有一半时间没有球。设每个球上升的最大高度为1.25 m(g 取10
m/s2)，则每个球在演员手中停留的时间是( )
A. Δt＝0.4 s
B. Δt＝0.3 s
C. Δt＝0.2 s
D. Δt＝0.1 s
【典例4b 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】小球做竖直上抛运动，下降时间为t1＝
＝
s＝0.5 s，根据竖直上
抛运动的对称性，上升时间为t2＝t1＝0.5 s，故小球在空中运动的总时间为t＝t1＋t2＝1
s，演员手中有一半时间有一个球，另一半时间没有球，说明球抛出前停留手中的时间
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与球抛出后到另外一个球落到手中的时间是相等的。假设以手中球抛出瞬间为计时起
点，此时三个球都在空中，到第一个球落入手中，需经过Δt，第一个球停留手中的时
间为Δt；抛出第一个落入手中的球，到第二个球落入手中，需经过Δt，第二个球停留
手中时间Δt；抛出第二个落入手中的球，到第三个球落入手中，需经过Δt，第三个球
停留手中时间Δt，此时完成了一个循环，一个循环中，任一个球在空中时间为5Δt，有
5Δt＝1 s，Δt＝0.2 s，故C 正确。
类型三：长度不能忽略的物体竖直上抛运动
【典例4c 拔尖题】（多选）如图所示，长度为0.55 m 的圆筒竖直放在水平地面上，在圆
筒正上方距其上端1.25 m 处有一小球(可视为质点)．在由静止释放小球的同时，将圆筒竖
直向上抛出，结果在圆筒落地前的瞬间，小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒上抛的速
度大小可能为(空气阻力不计，取g＝10 m/s2)( )
A. 2.3 m/s B. 2.6 m/s C. 2.9 m/s D. 3.2 m/s
【典例4c 拔尖题】【答案】BC
【解析】由自由落体位移公式可得，小球落地的时间为t1＝
＝
s＝0.6 s，若此时圆筒刚好落地，则圆筒抛出的速度为v1＝g· ＝3
m/s，若圆筒落地时，小球刚进入圆筒，则小球的下落时间为t2＝
＝
s＝0.5
s，对应的圆筒抛出的速度为v2＝g ＝2.5 m/s，则圆筒上抛的速度大小范围为2.5～3 m/s.故
选B、C.
类型四：喷泉式竖直上抛运动
【典例4d 拔尖题】广场喷泉是城市一道亮丽的风景。，已知喷口竖直向上喷水，喷管的直
径为D，水在喷口处的速度为v0.重力加速度为g，不考虑空气阻力的影响，则在离喷口高
度为H 时的水柱直径为（ ）
A． D B.
C.
D.
【典例4d 拔尖题】【答案】C
【解析】设△t 时间内，从喷口喷出的水的质量为△m，则△m=ρ△V，
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在离喷口高度为H 时，速度
且
解得
故选C。
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