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知识点1：匀变速直线运动的规律及应用
考点一：解决匀变速直线运动的常用方法
【知识思维方法技巧】
（1）解决匀变速直线运动的基本思路：
→→→→
注意：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当
v0＝0 时，一般以加速度a 的方向为正方向．速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取
正，相反时取负。
（2）解决匀变速直线运动的常用方法：
题型一：应用基本公式及推论式解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下用两个基本公式可以解决，当遇到以下特殊情况时，用导出公式会提高解题的
速度和准确率：不涉及时间，可用v2－v0
2＝2ax。不涉及加速度a，可用x＝t，；不涉及末
速度v，可用x＝v0t＋at2。一般有几个未知量列几个方程，列方程时尽量共用未知量，以减
少未知量的使用个数，减少方程数。
【典例1 提高题】一质点做匀加速直线运动时，速度变化Δv 时发生位移x1，紧接着速度变
化同样的Δv 时发生位移x2，则该质点的加速度为( )
A．(Δv)2
B．
C．(Δv)2
D．
【典例1 提高题对应练习】沿平直轨道匀加速行驶的长度为L 的列车，保持加速度不变通
过长为L 的桥梁，车头驶上桥头时的速度为v1，车头经过桥尾时的速度为v2，则车尾通过
桥尾时的速度为( )
A．v1·v2 B. C.
D.
题型二：应用平均速度法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位移，常用平均速度法。
【典例2 提高题】一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx 所用的时间为t1，紧接着通
过下一段位移Δx 所用的时间为t2，则物体运动的加速度为( )
1
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A． B． C．
D．
【典例2 提高题对应练习】质点在做匀变速直线运动，依次经过A、B、C、D 四点。已知
质点经过AB 段、BC 段和CD 段所需的时间分别为t、3t、5t，在AB 段和CD 段发生的位
移分别为x1和x2，则该质点运动的加速度为( )
A． B． C．
D．
题型三：应用位移差法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
（1）连续相等的相邻时间间隔T 内的位移差相等即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝
aT2.
（2）不相邻相等的时间间隔T 内的位移差xm－xn＝(m－n)aT2
【典例3 提高题】从固定斜面上的O 点每隔0.1 s 由静止释放一个同样的小球．释放后小球
做匀加速直线运动．某一时刻，拍下小球在斜面滚动的照片，如图所示．测得相邻小球位
置间的距离xAB＝4 cm，xBC＝8 cm.已知O 点与斜面底端的距离为l＝35 cm.由以上数据可以
得出( )
A. 小球的加速度大小为12 m/s2
B. 小球在A 点的速度为0
C. 斜面上最多有5 个小球在滚动
D. 该照片是距A 点处小球释放后0.3 s 拍摄的
【典例3 提高题对应练习】一质点做匀加速直线运动，位移为x1时，速度的变化量为Δv；
紧接着位移为x2时，速度的变化量仍为Δv.则质点的加速度为( )
A．(Δv)2(－) B．(Δv)2(＋) C.
D.
题型四：应用比例式法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
初速度为零匀加速直线运动的四个重要比例式：
（1）T 末、2T 末、3T 末、…、nT 末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3 …
∶
∶vn＝1 2 3 …
∶∶∶
∶n.
（2）前T 内、前2T 内、前3T 内、…、前nT 内的位移之比为x1∶x2∶x3 …
∶
∶xn＝1 4 9 …
∶∶∶
∶n2.
（3）第1 个T 内、第2 个T 内、第3 个T 内、…、第n 个T 内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…
∶
∶xN
＝1 3 5 … (2
∶∶∶
∶
n－1)．
（4）从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3 …
∶
∶tn＝1 (∶－1) (∶－) … (
∶
∶－)．
【典例4 提高题】如图所示，a、b、c、d 为光滑斜面上的四个点。一小滑块自a 点由静止
开始下滑，通过ab、bc、cd 各段所用时间均为T。现让该滑块自b 点由静止开始下滑，则
该滑块( )
A. 通过bc、cd 段的时间均等于T
B. 通过c、d 点的速度大小之比为
∶
C. 通过bc、cd 段的时间之比为1∶
D. 通过c 点的速度大于通过bd 段的平均速
度
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【典例4 提高题对应练习】一个质点从静止开始做匀加速直线运动，它在第3 s 内与第6 s
内通过的位移之比为x1∶x2，通过第3 个1 m 与通过第6 个1 m 时的平均速度之比为
v1∶v2，则( )
A. x1∶x2＝1∶4
B. x1∶x2＝5∶11
C. v1∶v2＝1∶
D. v1∶v2＝∶
题型五：应用逆向思维法解决匀减速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
末速度为零的匀减速直线运动问题常用逆向思维法解题。注意：刹车模型指匀减速到速度
为零后即停止运动，加速度a 突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。
类型一：刹车模型
【典例5a 提高题】一辆汽车以某一速度在郊区的水平路面上行驶，因前方交通事故紧急刹
车而做匀减速直线运动，最后静止，汽车在最初3 s 内通过的位移与最后3 s 内通过的位
移之比为x1∶x2＝5∶3，汽车运动的加速度大小为a＝5 m/s2，汽车制动的总时间为t，则(
)
A．t>6 s B．t＝6 s C．4 s<t<6 s
D．t＝4 s
【典例5a 提高题对应练习】一辆汽车以40 m/s 的速度沿平直公路匀速行驶，突然前方有一
只小狗穿过马路，司机立即刹车，汽车以大小为8 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么
刹车后2 s 内与刹车后6 s 内汽车通过的位移大小之比为( )
A．7 25
∶
B．16 25
∶
C．7 24
∶
D．2 3∶
类型二：匀减速到0 模型
【典例5b 提高题】一物体以某一初速度在粗糙的水平面上做匀减速直线运动，最后静止．
若物体在最初5 s 内通过的位移与最后5 s 内通过的位移大小之比为x1∶x2＝11∶5，物体运
动的加速度大小为a＝1 m/s2，则( )
A. 物体运动的时间可能大于10 s
B. 物体在最初5 s 内通过的位移与最后5 s 内通过的位移之差为x1－x2＝15 m
C. 物体运动的时间为7 s
D. 物体的初速度大小为10 m/s
【典例5b 提高题对应练习】在奥运会上，我国运动健儿摘金夺银，为国争光．其中在
跳水男子3 米板决赛中，我国选手谢思埸夺得金牌！在某次比赛中，若将运动员入水
后向下的运动视为匀减速直线运动，该运动过程的时间为8t.设运动员入水后向下过程
中，第一个t 时间内的位移大小为x1，最后两个t 时间内的总位移大小为x2，则x1∶x2
为( )
A. 17∶4
B. 13∶4
C. 15∶4
D. 15∶8
题型六：应用待定系数法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
由位移x 与时间t 的关系式可以联想到位移时间关系，利用待定系数法求解。
【典例6 提高题】一质点沿直线运动，其平均速度与时间的关系满足v＝2＋t(各物理量均
选用国际单位制中单位)，则关于该质点的运动，下列说法正确的是( )
A．质点可能做匀减速直线运动 B．5 s 内质点的位移为35 m
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C．质点运动的加速度为1 m/s2 D．质点3 s 末的速度为5 m/s
【典例6 提高题对应练习】质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为x=5t+t2（各物理量
均采用国际单位制单位），则该质点（ ）
A. 第1s 内的位移是5m B. 前2s 内的平均速度是6m/s
C. 任意相邻的1s 内位移差都是1m D. 任意1s 内的速度增量都是2m/s
题型七：应用等效转换法解决线状物体的匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
在涉及不能视为质点的研究对象问题时，应用“等效转化”的思想方法转换研究对象，将
线状物体的运动转化为质点运动。如求列车通过某个路标的时间，可转化为车尾(质点)通
过与列车等长的位移所经历的时间。
类型一：匀加速直线运动模型
【典例7a 提高题】一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1 节车厢前端的
站台上观察，第1 节车厢通过他历时2 s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，
每节车厢长度相等，求：
（1）这列火车共有多少节车厢？
（2）第9 节车厢通过他所用时间为多少？
【典例7a 提高题对应练习】已知商场中的无轨小火车由若干节相同的车厢组成，车厢间的
空隙不计，现有一位小朋友站在地面上保持静止与第一节车厢头部对齐，火车从静止开始
启动做匀加速直线运动，下列说法正确的是( )
A. 第4、5、6 节车厢经过小朋友的时间之比为2∶
∶
B. 第4、5、6 节车厢经过小朋友的时间之比为7∶9∶11
C. 第4、5、6 节车厢尾通过小朋友瞬间的速度大小之比为4∶5∶6
D. 第4、5、6 节车厢尾通过小朋友瞬间的速度大小之比为2∶
∶
类型二：匀减速直线运动模型
【典例7b 提高题】一名观察者站在站台边，火车进站从他身边经过，火车共10 节车厢，
当第10 节车厢完全经过他身边时，火车刚好停下．设火车做匀减速直线运动且每节车厢长
度相同，则第8 节和第9 节车厢从他身边经过所用时间的比值为( )
A．∶ B．∶ C．(－1)∶(－)
D．(－)∶(－1)
【典例7b 提高题对应练习】某辆列车进站时，站在月台上静止不动的工作人员发现列车通
过自己的时间为t，列车停止时自己刚好与车尾末端平齐。已知列车共有30 节车厢(含车头、
车尾)，每节车厢长度相同，把列车进站过程的运动视为匀减速直线运动，则第25 节车厢
通过该工作人员所用的时间可表示为( )
A.
t
B.
t
C.
t
D.
t
考点二：自由落体运动
题型一：单物体自由下落的问题
【知识思维方法技巧】
求解自由落体运动的两点注意：
（1）要充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题．
①从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1 3 5 7 …
∶∶∶∶
②从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt.
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③连续相等时间T 内的下落高度之差Δh＝gT2.
（2）物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是
自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决
此类问题．
类型一：单个物体自由落体运动模型
【典例1a 提高题】物体从某高处自由下落，下落过程中经过一个高为5 m 的窗户，窗户的
上边缘距释放点为20 m，已知它在落地前1 s 内共下落45 m，g＝10 m/s2，物体可视为质
点，下列说法中正确的是( )
A. 物体落地前2 s 内共下落80 m
B. 物体落地时速度为45 m/s
C. 物体下落后第1 s 内、第2 s 内、第3 s 内，每段位移大小之比为1∶2∶3
D. 物体经过窗户所用的时间为(
－
) s
【典例1a 提高题对应练习】苹果从某一高度静止释放，已知落地前倒数第二秒内的位移是
10m，苹果的运动视作自由落体运动，重力加速度为10m/s2，则苹果释放的高度为
（ ）
A．45m
B．36.75m
C．31.25m
D．11.25m
类型二：长度不能忽略的单个物体自由落体运动模型
【知识思维方法技巧】
杆过观察点时间问题的处理技巧：要充分利用初速度为0 的特点解题。
设杆长L，杆的下端到观察点的距离为h
①杆下端下落到观察点的时间
t1=√
2h
g
②杆上端下落到观察点的时间
t2=√
2( L+h)
g
③
所以整杆通过观察点的时间
Δt=√
2( L+h)
g
−√
2h
g
【典例1b 提高题】如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下
(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m 处圆筒AB，圆筒AB 长为5 m，取g＝10
m/s2，求：
（1）木杆经过圆筒的上端A 所用的时间t1是多少？
（2）木杆通过圆筒AB 所用的时间t2是多少？
【典例1b 提高题对应练习】如图所示木杆长L，上端悬挂在某一点，由静止放开后让它自
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由落下（不计空气阻力），木杆通过悬点正下方2L 处的圆筒AB，圆筒AB 长为3.5L，重
力加速度为g，则木杆被圆筒AB 完全挡住的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：多物体自由下落的问题
类型一：不等高同时下落模型
【典例2a 提高题】在轻绳的两端各拴一个小球，一个人用手拿着绳子上端的小球，站在三
层楼的阳台上，释放小球，使小球自由下落，两小球相继落地的时间差为Δt，如果人站在
四层楼的阳台上，同样的方法释放小球，让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将(
)
A．不变 B．变小 C．变大
D．无法确定
【典例2a 提高题对应练习】如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L 的细线连接，a
球在上，b 球在下，用手拿着a 球，测得a 球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a
球，两球落地的时间差t，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是（ ）
A．b 球下落的时间大于
B．a 球下落的时间小于
C．重力加速度
D．b 球落地前a 球的加速度比b 球大
类型二：不等高不同时下落模型
【典例2b 提高题】如图所示，在地面上一盘子C 的上方A 处有一金属小球a 距C 为20
m，在B 处有另一个金属小球b 距C 为15 m，小球a 比小球b 提前1 s 由静止释放。g
取10 m/s2，不计空气阻力，则( )
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A. b 先落入C 盘中，两球不可能在下落过程中相遇
B. a 先落入C 盘中，a、b 下落过程中的相遇点在BC 之间某位置
C. a、b 两小球同时落入C 盘
D. a、b 两小球的相遇点恰好在B 处
【典例2b 提高题对应练习】如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面
高度分别h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后顺次静止释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，
不计空气阻力，则下列说法不正确的是( )
A．三者到达桌面时的速度之比是 ∶∶1
B．三者运动的平均速度之比是 ∶∶1
C．b 与a 开始下落的时间差小于c 与b 开始下落的时间差
D．b 与a 开始下落的时间差大于c 与b 开始下落的时间差
考点三：竖直上抛运动和类竖直上抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）竖直上抛运动的两种研究方法：
分段法
将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段
全程法
将全过程视为初速度为v 0，加速度a＝－g 的匀变速直线运动，必须注意物理量
的矢量性．习惯上取v 0的方向为正方向，则v＞0 时，物体正在上升；v＜0 时，
物体正在下降；h＞0 时，物体在抛出点上方；h＜0 时，物体在抛出点下方
（2）竖直上抛运动的主要特性：
对称性
①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向
②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等
多解性
当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，
形成多解，在解决问题时要注意这个特性
题型一：解决竖直上抛运动常用的方法
类型一：应用逆向思维对称法法求解竖直上抛运动
【典例1a 提高题】在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重
力加速度g 值，g 值可由实验精确测得，近年来测g 值的一种方法叫“对称自由下落法”，
它是将测g 转变为测长度和时间，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O
点上抛小球又落到原处的时间记为T2，在小球运动过程中经过比O 点高H 的P 点，小球离
开P 点到又回到P 点所用的时间记为T1，测得T1、T2和H，可求得g 等于( )
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A.
B.
C.
D.
【典例1a 提高题对应练习】从地面上将一个小球竖直上抛，经t 时间小球经过空中的某点
A，再经过t 时间小球又经过A 点．不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球抛出时的速率为2gt B．小球抛出时的速率为gt
C．小球上升的最大高度为gt2 D．A 点的高度为gt2
类型二：应用全程法求解竖直上抛运动
【典例1b 提高题】以10 m/s 的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的
时间间隔为1.2 s，则小树高约为(忽略空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2)( )
A．1.2 m
B．2.4 m
C．3.2 m
D．4.2 m
【典例1b 提高题对应练习】一个气球正以速度v 匀速上升，某时刻和气球在同一高度处竖
直向上抛出一个小球，当小球上升到最高点时，气球和小球恰又处在同一高度处，重力加
速度为g，则两球上升过程相距的最大距离为( )
A．
B．
C．
D．
题型二：类竖直上抛运动（双向运动）的特点及处理方法
【知识思维方法技巧】
如果质点作匀减速到速度为零后仍能以原加速度反向匀加速运动，全过程加速度大小、方
向均不变，故求解时可看成类竖直上抛运动，对全过程列式，但必须注意x、v、a 等矢量
的正负号及物理意义。
类型一：水平式双向运动类问题
【典例2a 提高题】一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大
小变为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确
的是( )
A．这段时间内质点运动方向不变 B．这段时间为
C．这段时间的路程为 D．再经过相同时间质点速度大小为3v
类型二：斜面式双向运动类问题
【典例2b 提高题】（多选）在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以10 m/s 的初速度沿
斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为
7.5 m 时，下列说法正确的是( )
A．物体运动时间可能为1 s B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋) s D．物体此时的速度大小一定为5 m/s
【典例2b 提高题对应练习】（多选）一物体以5 m/s 的初速度在光滑斜面上向上做匀减速
运动，其加速度大小为2 m/s2，设斜面足够长，经过时间t 物体的位移大小为4 m，则时间
t 可能为( )
A．1 s B．3 s C．4 s
D． s
类型三：竖直式双向运动类问题
【典例2c 提高题】假设某次深海探测活动中，“蛟龙号”完成海底科考任务后竖直上浮，
从上浮速度为v 时开始匀减速并计时，经过时间t，“蛟龙号”上浮到海面，速度恰好减为
零，则“蛟龙号”在t0（t0<t）时刻距离海面的深度为( )
A．vt0(1－) B． C． D．
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