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数学试卷
考生注意：本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确选项．
1.
（ ）
A.
B.
C.
D. 3
2. 根据国家统计局的数据，2024 年中国生产芯片约451420000000 颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．
数据451420000000 用科学记数法可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 如图1，三根木条a，b，c 相交成
，
，固定木条b，c，将木条a 绕点A 顺时针转动
至如图2 所示，使木条a 与木条b 平行，则可将木条a 旋转（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 关于x 的一元二次方程
有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，一个多边形纸片的内角和为
，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（
）
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A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
7. 如图，四边形
内接于
，
，连接
，若
，则
的度数为（
）
A.
B.
C.
D.
8. 习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要
途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、
诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用
户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A. 2022 年，人均纸质书籍阅读量为5 本
B. 2023 年，人均电子书籍阅读量为11 本
C. 2024 年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3 倍
D. 2016 年至2024 年，人均电子书籍阅读量逐年上升
9. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置
，喷头M 向外喷水，水流在各个方向
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上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度
与水平距离
之
间的关系式是
，则水流喷出的最大高度是（ ）
A
B.
C.
D.
10. 如图1，在等腰直角三角形
中，
，点D 为边
的中点．动点P 从点A 出发，沿边
方向匀速运动，运动到点B 时停止．设点P 的运动路程为x，
的面积为y，y 与x 的函
数图象如图2 所示，当点P 运动到
的中点时，
的长为（ ）
A. 2
B. 2.5
C.
D. 4
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分．
11. 因式分解：
______．
12. 方程
的解是
_______．
13. 已知点
，
在反比例函数
的图象上，如果
，那么
_______
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（请写出一个符合条件的k 值）．
14. 如图，把平行四边形纸片
沿对角线
折叠，点B 落在点
处，
与
相交于点E，此
时
恰为等边三角形．若
，则
_______
．
15. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列
入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个
形状相同
风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线
．已知大、小风筝的对应边之比为
，如果小风筝两条对角线的长分别为
和
，那么大风筝两条对角线长的和为________
．
16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与
繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1 个图形是正方形，第2 个图形是以这个正方形的边长
为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的
正方形，重复上述步骤得到第3 个图形，……，则第5 个图形中共有_______个正方形．
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三、解答题：本大题共6 小题，共46 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算：
．
18. 解不等式组：
19. 化简：
．
20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉
代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑
技术典籍之一．如图2 是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，
用
表示，点O 是
所在圆的圆心，
是月洞门的横跨，
是月洞门的拱高．现在我们也可以
用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为
，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段
的垂直平分线
，垂足为D；
②在射线
上截取
；
③连接
，作线段
的垂直平分线交
于点O；
④以点O 为圆心，
的长为半径作
．
则
就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3 中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
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21. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3 个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘
指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新
转动转盘．
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为_______；
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列
表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
22. 如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明
嘉靖十八年（1539 年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关长城、
悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降
低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2
是他们测量长城第一墩高度AB 的示意图，点A 为最高点，点B，F，D 是地面同一直线上的三个点（点
D，F 都在保护栅栏外），在D，F 处分别用测角仪测得．
，
，其中
（测角仪的高度），
，求长城第一墩的高度
（结果精确到
）．（参考数据：
，
，
，
，
，
）
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四、解答题：本大题共5 小题，共50 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10 次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：
环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员
平均数
中位数
众数
方差
甲
8.3
8
n
2
01
乙
8.3
m
9
1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n
值：
_______，
_______；
（2）_______队员在射击选拔赛中发挥
更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说
明理由（写出一条合理的理由即可）．
24. 如图，一次函数
的图象交x 轴于点A，交反比例函数
的图象于点
．
将一次函数
的图象向下平移
个单位长度，所得的图象交x 轴于点C．
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（1）求反比例函数
的表达式；
（2）当
的面积为3 时，求m 的值．
25. 如图，四边形
的顶点A，B，C 在
上，
，直径
与弦
相交于点F、
点D 是
延长线上的一点且
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若四边形
是平行四边形，
．求
的长．
26. 四边形
是正方形，点E 是边
上一动点（点D 除外），
是直角三角形，
，
点G 在
的延长线上．
（1）如图1，当点E 与点A 重合，且点F 在边
上时，写出
和
的数量关系，并说明理由；
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（2）如图2，当点E 与点A 不重合，且点F 在正方形
内部时，
的延长线与
的延长线交于点
P，如果
，写出
和
的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，写出
和
的数量关系，并说明理由．
27. 如图1，抛物线
分别与x 轴，y 轴交于A，
两点，M 为
的中
点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接
，过点M 作
的垂线，交
于点C，交抛物线于点D，连接
，求
的面积；
（3）点E 为线段
上一动点（点A 除外），将线段
绕点O 顺时针旋转
得到
．
①当
时，请在图2 中画出线段
后，求点F 的坐标，并判断点F 是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P 是第四象限的一动点，
，连接
，当点E 运动时，求
的最小值．
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数学试卷
考生注意：本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确选项．
【1 题答案】
【答案】D
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】A
【5 题答案】
【答案】B
【6 题答案】
【答案】A
【7 题答案】
【答案】C
【8 题答案】
【答案】C
【9 题答案】
【答案】B
【10 题答案】
【答案】A
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分．
【11 题答案】
【答案】
##
【12 题答案】
【答案】
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【13 题答案】
【答案】1（答案不唯一）
【14 题答案】
【答案】12
【15 题答案】
【答案】195
【16 题答案】
【答案】31
三、解答题：本大题共6 小题，共46 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
【17 题答案】
【答案】
【18 题答案】
【答案】
【19 题答案】
【答案】
【20 题答案】
【答案】图见解析
【21 题答案】
【答案】（1）
（2）
【22 题答案】
【答案】长城第一墩的高度
为
四、解答题：本大题共5 小题，共50 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
【23 题答案】
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【答案】（1）
（2）乙 （3）不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）
【24 题答案】
【答案】（1）
（2）
【25 题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【26 题答案】
【答案】（1）
，理由见解析
（2）
，理由见解析
（3）
，理由见解析
【27 题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）①
，在抛物线上②
