压轴20 非对称问题处理策略的3 大核心题型
在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y，得到一个一元二次方程，往往能够利
用韦达定理来快速处理|x1-x2|，𝑥2
1+𝑥2
2，
1
𝑥1+
1
𝑥2之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2 的不同系
数的代数式的运算，比如
𝑥1
𝑥2，
3𝑥1𝑥2+2𝑥1−𝑥2
2𝑥1𝑥2−𝑥1+𝑥2 或λx1+μx2 之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非
对称韦达结构”.
题型01 解决定值问题
1.已知点F 为椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N 两
点(不与A，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为
1
2
,
,
k k
证明
1
2
k
k
为定值．
【解析】方案一 反设直线与积化和（变量y）：由题，A(－2，0)，B(2，0)，设:
1
l x
ty
，
1
1
2
2
( ,
),
(
,
),
M x y
N x
y
则
1
1
1
2
y
k
x
，
2
2
2
2
y
k
x
-
，联立
2
2
1
4
3
1
x
y
x
ty
ì
ïí
ï
î
，消x 得
2
2
(4
3 )
6
9
0
t
y
ty
-
，且△>0，则
1
2
2
1
2
2
6
4
3
9
4
3
t
y
y
t
y y
t
ì
-
ïï
í
ï
-
ï
î
．
1
2
1
2
3 (
)
2
ty y
y
y
所以，代入得，
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
1
3
(
)
1
2
2
2
3
3
9
3
3
(
)
3
2
2
2
y
y
y
y
y
k
ty y
y
k
ty y
y
y
y
y
y
y
-
-
，为定值，得证．
方案二 配凑半替换（变量y）：由题，A(－2，0)，B(2，0)，设
，
则
:
1
l x
ty
1
1
2
2
( ,
),
(
,
),
M x y
N x
y
技法指导
处理圆锥曲线中非对称韦达定理的定值问题，核心是消元配凑，转化为对称式。常用方法：1. 先猜后证：
由特殊位置猜测定值。2. 和积配凑：将非对称式如
用
与
表示，常需借助曲线方
程进行“暴力”代换化简。3. 比值代换：设
或
化为单变量。最终消去参数，证明结果为
常数。
1
2
x
x
1
2
x
x
1
2
x
x
1
2
x
t
x
1
2
y
t
y
，
，联立
，消x 得
，且△>0，则
．因此
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
9
6
3
(
)
1
4
3
4
3
4
3
=
9
9
3
3
3
3
4
3
4
3
t
t
t
y
y
k
ty y
y
y
y
t
t
t
t
t
k
ty y
y
y
y
t
t
-
-
-
-
-
，得
证．
方案三积化和（变量x）： 当直线l 斜率存在时，不妨就直线
，
，
，
联立
，消
得
1
2
2
1
2
2
6
2
3
4
15
1
3
4
x
x
k
x x
k
ì
-
ïï
í
ï
-
ï
î
，因此
1
2
1
2
5 (
)
4
2
x x
x
x
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
1
3
(
)
4
2
2
2
1
2
2
2
5
3
9
3
(
)
4
2
2
6
2
2
2
x
x
x
x
x
x
k
k
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
-
，为定值，得证．
方案四 配凑半替换（变量x）： 当直线l 斜率存在时，不妨就直线
，
，
，
联立
，消
得
所以
1 2
1
2
2
1
2
1 2
1
2
2
2
2
3
2
x x
x
x
x
k
k
x x
x
x
x
-
-
-
，
即
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4(
3)
16
3
2
1
1
3
4
3
4
3
4
9
3
4(
3)
8
3
3
3
2
3
4
3
4
3
=
4
k
k
x
x
k
k
k
k
k
k
k
x
x
k
k
k
-
-
-
-
-
-
-
-
-
，为定值，得证．
题型02 解决定线问题
2.点
,
A B 是椭圆
2
2
:
1
4
3
y
x
E
的左右顶点若直线:
(
1)
l y
k x
-
与椭圆E 交于M，N 两点，求证：直线AM 与
直线BN 的交点在一条定直线上．
【解】联立
2
2
1
4
3
(
1)
y
x
y
k x
ì
ïí
ï
-
î
化简得(
2
2
2
2
3
4
)
8
4
12
0
k
x
k x
k
-
-
，
1
1
1
2
y
k
x
2
2
2
2
y
k
x
-
2
2
1
4
3
1
x
y
x
ty
ì
ïí
ï
î
2
2
(4
3 )
6
9
0
t
y
ty
-
1
2
2
1
2
2
6
4
3
9
4
3
t
y
y
t
y y
t
ì
-
ïï
í
ï
-
ï
î
1
l
y
k x
-
：
1
1
M x y
2
2
N x
y
，
2
2
1
4
3
(
1)
x
y
y
k x
ì
ïí
ï
-
î
y
1
l
y
k x
-
：
1
1
M x y
2
2
N x
y
，
2
2
1
4
3
(
1)
x
y
y
k x
ì
ïí
ï
-
î
y
1
2
2
1
2
2
6
2
3
4
15
1
3
4
x
x
k
x x
k
ì
-
ïï
í
ï
-
ï
î
技法指导
非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，
将其转化为对称结构计算.
△＞0
2
2
2
8
3
4
k
x
x
k
，
2
1
2
2
4
12
3
4
k
x
k
x
-
，直线AM：
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
，直线BN：
2
2
(
2)
2
y
y
x
x
-
联立得，
1
1
2
1
2
2
2(2
3
)
3
4
x
x
x
x
x
x
x
-
-
策略一：配凑半代换
原式＝
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
4
12
8
2 2
3
4
2 2
3(
)
4
3
4
3
4
(
)
2
4
8
2
4
3
4
k
k
x
x x
x
x
x
k
k
x
x
x
k
x
k
é
ù
-
-
ê
ú
-
ë
û
-
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
24
8
12
2
4
4
2
3
4
3
4
4
8
12
8
12
2
2
3
4
3
4
k
k
x
x
k
k
k
k
x
x
k
k
æ
ö
-
-
-
-
ç
÷
è
ø
æ
-
-
-
-
ö
ç
÷
è
ø
故直线AM 与直线BN 交点在定直线x＝4 上．
策略二：和积转换
分离常数得：
2
2
2
2
8
6
2
3
4
3
4
k
x
x
k
k
-
，
2
1
2
2
2
4
12
1
3
4
5
3
4
1
k
k
k
x
x
-
-
则有
1
2
1
2
5 (
)
4
2
x
x
x
x
-
代入得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2(2
3
)
5(
)
8
3
2
4
3
4
3
4
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
题型03 解决定点问题
3.已知点
1
2
2,0 ,
2,0 ,
F
F
M
-
是圆
2
2
:
1
O x
y
上任意一点，点
1F 关于点M 的对称点为N ，线段
1F N
的中垂线与直线
2
F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若点
1,0 ,
1,1
A
H
，直线:
2
l x
，过点H 的直线1l 与C 交于D
E
、
两点，直线AD
AE
、
与直线l
技法指导
分别交于点P
Q
、
．证明：PQ 的中点为定点．
【解】（1）由题意可得
1
OM
，且M 为
1
NF 的中点，又O 为
1
2
F F 的中点，
所以
2
OM
NF
∥
，且
2
2
2
NF
OM
．
因为点
1F 关于点M 的对称点为N ，线段
1F N 的中垂线与直线
2
F N 相交于点T ，
由垂直平分线的性质可得
1
TN
TF
，
所以
2
1
2
2
1
2
2
4
TF
TF
TF
TN
NF
F F
-
-
<
，
所以由双曲线的定义可得，点T 的轨迹是以
1
2
,
F F 为焦点的双曲线．
2
2
1
2
1
1,
2,
3
2
a
c
F F
b
c
a
-
，
故曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
；
（2）由题意可知：直线DE 的斜率存在，设
1
1
2
2
:
1
1,
,
,
,
DE y
k x
D x y
E x
y
-
，
联立方程
2
2
1
1
1
3
y
k x
y
x
ì
-
ïí
-
ïî
，消去y 得：
2
2
2
3
2
1
(1
)
3
0
k
x
k
k x
k
-
-
-
-
-
-
，
则
2
2
2
2
2
3
0
Δ
4
1
4 3
1
3
24 2
0
k
k
k
k
k
k
ì -
¹
ïí
é
ù
-
-
-
-
>
ï
ë
û
î
，
解得
2
k <
，且
3
k ¹ ±
2
1
2
1
2
2
2
2
1
(1
)
3
,
3
3
k
k
k
x
x
x x
k
k
-
-
-
-
-
-
，①
由
1,0
A
，得直线
1
1
:
1
1
y
AD y
x
x
-
-
，
令
2
x
，解得
1
1
1
y
y
x
-
，即
1
1
2,
1
y
P
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
同理可得
2
2
2,
1
y
Q
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
k x
k x
y
y
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
kx
k
x
kx
k
x
x
x
é
ù
é
ù
-
-
-
-
ë
û
ë
û
-
-
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1 2
2 1
1
kx x
k
x
x
k
x x
x
x
-
-
-
-
2
2
2
2
2
2
2
1
(1
)
3
2
1 2
2 1
3
3
2
1
(1
)
3
1
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2
2
2
2
2 (1
)
6
2
1
1 2
2 1
3
(1
)
3
2
1
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
6
1
-
-
6
，
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
>
>
过点
2, 2
P
，且离心率为
2
2 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为A、B，过点
0,4
P
斜率为k 的直线与椭圆C 交于M、N 两点.求证：直
线BM 与AN 的交点G 在定直线上.
【解】（1）由题意，
2
2
2
2
4
2
1
2
2
a
b
a
b
a
ì
ïïí
-
ï
ïî
，解得：
2 2
2
a
b
ì
ïí
ïî
，故椭圆C 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
（2）由题意，直线MN 的方程为
4
y
kx
，
0,2
A
，
0, 2
B
-
，设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
4
1
8
4
y
kx
x
y
ìïí
ïî
消去y 整理得：
2
2
1
2
16
24
0
k
x
kx
，
判别式
2
2
16
4 1
2
24
0
k
k
D
-
´
>
，
所以
6
2
k < -
或
6
2
k >
，由韦达定理，
1
2
2
1
2
2
16
1
2
24
1
2
k
x
x
k
x x
k
ì
-
ïï
í
ï
ï
î
①
②
直线BM 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
，直线AN 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
-
-
，
联立
1
1
2
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
y
x
x
ì
ïïí
-
ï -
ïî
消去x 可得：
1
2
2
1
2
2
2
2
y
x
y
y
y
x
-
-
从而
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
2
6
2
6
2
2
2
2
G
G
y
x
kx
x
y
kx x
x
y
y
x
kx
x
kx x
x
-
-
③
接下来给出以下两种计算非对称结构
1
2
2
1
2
1
6
2
kx x
x
kx x
x
的方法：
法1：由①②知
1
2
1
2
3
2
kx x
x
x
-
，
代入式③得：
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
3
3
9
6
6
2
2
2
3
3
1
3
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
kx x
x
kx x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
从而
2
3
2
G
G
y
y
-
-
，解得：
1
G
y ，所以点G 在定直线
1
y 上.
法2：由①知
1
2
2
16
1
2
k
x
x
k
-
-
，
代入式③得：
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
24
24
6
6
6
1
2
1
2
3
8
24
16
2
2
2
1
2
1
2
1
2
k
k
x
x
kx x
x
k
k
k
k
k
kx x
x
x
x
k
k
k
-
æ
ö
-
-
-
-
ç
÷
è
ø
从而
2
3
2
G
G
y
y
-
-
，解得：
1
G
y ，所以点G 在定直线
1
y 上.
2.（2025.黑龙江漠河高三模拟）.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
>
>
的右焦点为F，长轴长为4，离心率为
1
2 ．过点
(4,0)
Q
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
,
AF BF 的斜率分别为
1
2
2
,
0
k k
k ¹
，求证：
1
2
k
k 为定值．
【解】由已知有
2
2
2
2
4
1
2
a
c
a
a
b
c
ì
ïï
í
ï
ïî
，解得
2
2
4
3
a
b
ì
í
î
，
故椭圆C 的标准方程为：
2
2
1
4
3
x
y
；
(2)由已知直线l 斜率不为零，故设其方程为
4
x
my
，
由
2
2
4
1
4
3
x
my
x
y
ìïí
ïî
消去x 得：（
2
2
3
4
24
36
0
m
y
my
，
令
0
D >
得
2
4
m >
．
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则有
1
2
1
2
2
2
24
36
,
3
4
3
4
-
m
y
y
y
y
m
m
，易知
(1,0)
F
，
∴
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
3
3
1
3
3
-
-
k
y
x
y
my
my y
y
k
x
y
my
y
my y
y
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
36
3 24
3
3
3
3
4
3
4
36
3
3
3
4
´
-
-
-
m
m
y
my y
y
y
y
m
m
m
my y
y
y
m
2
2
2
2
36
3 24
3
3
4
1
36
3
3
4
- ´
-
-
m
m
y
m
m
y
m
所以
1
2
k
k 为定值1
- ．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
>
>
的一个焦点与抛物线
2
4 3
y
x
的焦点重合，且椭圆C 的离心率为
3
2
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 交椭圆C 于A､B 两点，线段AB 的中点为
(1, )
M
t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直
线m 过定点，并求出该定点的坐标.
【解】（1）抛物线
2
4 3
y
x
的焦点为( 3,0) ，则
2
2
3
c
a
b
-
.
椭圆C 的离心率
3
2
c
e
a
，则
2
2
2
2,
1
a
b
a
c
-
.
故椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
.
（2）显然点
(1, )
M
t 在椭圆C 内部，故
3
3
2
2
t
-
< <
，且直线l 的斜率不为0.
当直线l 的斜率存在且不为0时，设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则有
2
2
1
1
1
4
x
y
，
2
2
2
2
1
4
x
y
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
4
x
x
x
x
y
y
y
y
-
-
.由线段AB 的中点为
(1, )
M
t ，则
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
t
，
故直线l 的斜率
1
2
1
2
1
4
y
y
k
x
x
t
-
-
-
.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线
:
4 (
1)
m y
t
t x
-
-
，即
(4
3)
y
t
x
-
.
令4
3
0
x -
，此时
3 ,
0
4
x
y
，于是直线m 过定点3 ,0
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
当直线l 的斜率不存在时，易知
0
t
，此时直线
:
0
m y
，故直线m 过定点3 ,0
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
综上所述，直线m 过定点3 ,0
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
4.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
>
>
的左右顶点分别为
1A ，2
A ，右焦点F 的坐标为
3,0 ，点P 坐标为
2,2
-
，
且直线
1
PA
x
^
轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A ，B 两点（A ，B 在第一象限且点A 在点B 的上方），直
线OP 与
2
AA 交于点Q ，连接
1
QA .
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直线
1
QA 的斜率为
1k ，直线
1A B 的斜率为
2k ，问：
1 2
k k 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若
不是，说明理由.
【解】（1）设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
>
>
，由题意可知：
2
3
a
c
ìïí
ïî
，所以
1
b ，
所以椭圆的方程为
2
2
1
4
x
y
（2）是定值，定值为
1
4
-
.设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，因为直线AB 过点
2,2
P -
，设直线AB 的方程为：
2
2
x
my
m
-
-
，
联立
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
8
0
2
2
x
y
m
y
m
m y
m
m
x
my
m
ì
Þ
-
í
-
-
î
所以
2
1
2
2
4
4
4
m
m
y
y
m
，
2
1
2
2
4
8
4
m
m
y y
m
，因为点Q 在直线OP 上，所以可设
,
Q
t t
-
，
又Q 在直线
2
AA 上，所以：
1
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
t
t
t
x
x
y
Þ -
- -
-
-
所以
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
y
y y
y y
k k
y
x
x
x
y
my
m
m
y
x
y
-
-
-
-
-
-
-
-
1
2
2
1
2
1
2
1
4
2
2
4
y y
m
m
y y
y
y
-
-
-
5.（2022 新高考1 卷）已知点
(2,1)
A
在双曲线
2
2
2
2
:
1(
1)
1
x
y
C
a
a
a
-
>
-
上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线
AP ，AQ 的斜率之和为0．
（1）求l 的斜率；
（2）若tan
2 2
PAQ
Ð
，求PAQ
D
的面积．
【解】（1）将点A 代入双曲线方程得
2
2
4
1
1
1
a
a
-
-
，化简得
4
2
4
4
0
a
a
-
，
2
2
a
\
，故双曲线方程为
2
2
1
2
x
y
-
，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y
kx
m
，设
1
(
P x ，
1
2
) (
y Q x ，
2)
y
，则联立双曲线得：
2
2
2
(2
1)
4
2
2
0
k
x
kmx
m
-
，故
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
-
- ，
2
1
2
2
2
2
2
1
m
x x
k
-
，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
0
2
2
2
2
AP
AQ
y
y
kx
m
kx
m
k
k
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
-
，
化简得：
1
2
1
2
2
(
1
2 )(
)
4(
1)
0
kx x
m
k
x
x
m
- -
-
-
，
故
2
2
2
2 (2
2)
4
(
1
2 )(
)
4(
1)
0
2
1
2
1
k
m
km
m
k
m
k
k
- -
-
-
-
-
-
，
即(
1)(
2
1)
0
k
m
k
-
，
当
0
1
2
-
k
m
时，直线
1
)
2
(
:
-
x
k
y
l
过点A，不合题意，舍去.,故
1
k - .
6.（2020 新高考卷）已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
>
>
的离心率为
2
2
，且过点
2,1
A
．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM
AN
^
，AD
MN
^
，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
【解】（1）椭圆方程为：
2
2
1
6
3
x
y
.
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
．若直线MN 的斜率不存在，则
1
1
1
1
,
,
,
M x y
N x
y
-
．
因为AM
AN
^
，则
0
AM AN
uuuur uuur
，即
1
2
2
1
2
1
0
x
y
-
-
．由
2
2
1
1
1
6
3
x
y
，解得
1
2
3
x
或
1
2
x
（舍）．
所以直线MN 的方程为
2
3
x
．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y
kx
m
，则
2
2
2
1
2
2(
)
6
1
2
0
x
kx
m
k
x
x
x
x
-
-
-
．令
2
x
，则
1
2
2
2(2
1)(2
1)
2
2
1
2
k
m
k
m
x
x
k
-
-
-
．又
2
2
1
2
2
1
2
6
2
y
m
y
y
y
y
y
k
k
-
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，令
1
y ，则
1
2
2
(2
1)( 2
1)
1
1
1
2
k
m
k
m
y
y
k
-
-
-
-
-
．因为
AM
AN
^
，所以
1
2
1
2
2
(2
1)(2
3
1)
2
2
1
1
0
1
2
k
m
k
m
AM AN
x
x
y
y
k
-
-
-
-
-
uuuur uuur
，
即
2
1
m
k
-
或
2
1
3
3
m
k
-
-
．当
2
1
m
k
-
时，直线MN 的方程为
2
1
(
2) 1
y
kx
k
k x
-
-
．所以直线MN
恒过
(2,1)
A
，不合题意；当
2
1
3
3
m
k
-
-
时，直线MN 的方程为
2
1
2
1
3
3
3
3
y
kx
k
k x
æ
ö
-
-
-
-
ç
÷
è
ø
，所以直线MN
恒过
2
1
,
3
3
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø ．综上，直线MN 恒过
2
1
,
3
3
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，所以
4 2
|
|
3
AP
．又因为AD
MN
^
，即AD
AP
^
，所以
点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为
4 1
,
3 3
Qæ
ö
ç
÷
è
ø，则
1
2 2
|
|
|
|
2
3
DQ
AP
．所以存在定点
Q，使得|
|
DQ 为定值．
7 已知椭圆C：
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），M，N 分别为左、
右顶点，直线l：x＝ty＋1 与椭圆C 交于A，B 两点，当t＝－
3
3 时，A 是椭圆的上顶点，且△AF1F2 的周长
为6.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线AM，BN 交于点Q，证明：点Q 在定直线上.
【解】（1）当t＝－
3
3 时，直线l：x＝－3
3 y＋1，
令x＝0，得y＝3，即椭圆的上顶点为（0，3），
则b＝3，
又△AF1F2 的周长为6，
即2a＋2c＝6，即a＋c＝3，
又a2－c2＝b2＝3，解得a＝2，c＝1，
所以椭圆C 的方程为
𝑥2
4 ＋
𝑦2
3 ＝1.
（2）证明：由（1）知，M（－2，0），N（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
依题意，点A，B 不在x 轴上，
由
𝑥＝𝑡𝑦+ 1，
𝑥2
4 ＋
𝑦2
3 = 1，
消去x 并整理得（3t2＋4）y2＋6ty－9＝0，Δ＞0，
则
𝑦1＋𝑦2＝－
6𝑡
3𝑡2+4 ，
𝑦1𝑦2＝
－9
3𝑡2+4 ，
得ty1y2＝
3
2（y1＋y2），
直线AM 的方程为y＝
𝑦1
𝑥1+2（x＋2），
直线BN 的方程为y＝
𝑦2
𝑥2－2（x－2），
联立直线AM，BN 的方程得
𝑥+2
𝑥－2＝
𝑦2（𝑥1+2）
𝑦1（𝑥2－2）
＝
𝑦2（𝑡𝑦1+3）
𝑦1（𝑡𝑦2－1）＝
𝑡𝑦1𝑦2+3𝑦2
𝑡𝑦1𝑦2－𝑦1
＝
3
2 （𝑦1＋𝑦2）+3𝑦2
3
2 （𝑦1＋𝑦2)−𝑦1 ＝
3
2𝑦1＋
9
2𝑦2
1
2𝑦1＋
3
2𝑦2＝3，
于是得x＝4，
所以直线AM，BN 的交点Q 在定直线x＝4 上.
8.设直线x
m
与双曲线C ：
2
2
(
0)
3
y
x
m m
-
>
的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB 的面积为
3 .
(1)求m 的值；
(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M ¢ ，F
为C 的右焦点，若M ¢ ，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点.
【解】（1）双曲线C ：
2
2
0
3
y
x
m m
-
¹
的渐近线方程为
3
y
x
±
，
不妨设
, 3
A m
m ，
,
3
B m
m
-
因为三角形OAB 的面积为
3 ，所以
2
1
3
2 AB m
m
，
所以
2
3
3
m
，又
0
m >
，所以
1
m .
（2）双曲线C 的方程为C ：
2
2
1
3
y
x -
，所以右焦点F 的坐标为
2,0 ，
依题意，设直线l 与x 轴交于点
,0
p
，直线l 的方程为
0
y
k x
p
k
-
¹
，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，则
1
1
,
M
x
y
¢
-
，
联立
2
2
1
3
y
k x
p
y
x
ì
-
ïí
-
ïî
，得
2
2
2
2
2
3
2
3
0
k
x
pk x
k p
-
-
，
2
3
0
k
-
¹
且
2
2
2
2
2
Δ
2
4 3
3
0
-
>
pk
k
k p
，
化简得
2
3
k ¹ 且
2
2
1
3
0
p
k
-
>
，
所以
2
1
2
2
2
3
pk
x
x
k
-
-
，
2
2
1
2
2
3
3
k p
x x
k
-
-
，
因为直线MN 的斜率存在，所以直线M N¢ 的斜率也存在，
因为M ¢ ，F ，N 三点共线，所以
M F
FN
k
k
¢
，
即
1
2
1
2
2
2
y
y
x
x
-
-
-
，即
1
2
2
1
2
2
y
x
y
x
-
-
-
，
所以
1
2
2
1
2
2
k x
p
x
k x
p
x
-
-
-
-
-
，
因为
0
k ¹
，所以
1
2
2
1
2
2
0
x
p
x
x
p
x
-
-
-
-
，
所以
1
2
1
2
2
2
4
0
x x
p
x
x
p
-
，
所以
2
2
2
2
2
3
2
2
2
4
0
3
3
k p
pk
p
p
k
k
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
，
化简得
1
2
p
，所以MN 经过x 轴上的定点1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø .
9.已知点
3 0
3 0
A
B
-
，,
，，动点V 满足直线VA与直线VB 的斜率之积为1
3 ，动点V 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程：
(2)直线PQ与曲线C 交于
,
P Q 两点，且BP
BQ BM
PQ
^
^
,
交PQ于点M ，求定点N 的坐标，使MN 为定值；
(3)过（2）中的点N 作直线交曲线C 于
,
G H 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线
,
AG BH 的斜率分别为
1
2
,
k k ，求
1
2
k
k 的值．
【解】（1）解：设
,
V x y 是曲线C 上的任意一点，
因为点
3 0
3 0
A
B
-
，,
，，且动点V 满足直线VA与直线VB 的斜率之积为1
3 ，
可得
1
3
3
3
y
y
x
x
-
，整理得
2
2
1
3
x
y
-
，其中
0
y ¹
．
所以曲线C 的轨迹方程为
2
2
1
0
3
x
y
y
-
¹
.
（2）解：①当直线PQ斜率存在时，设l 的方程为y
kx
t
，设
1
1
2
2
,
P x
y
Q x
y
，
，
，
联立方程组
2
2
1
3
x
y
y
kx
t
ì
-
ïí
ï
î
，整理得
2
2
2
3
1
6
3
1
0
k
x
ktx
t
-
，
则
2
2
2
Δ
6
4 3
3
3
1
0
kt
t
k
-
-
>
，即
2
2
3
1
0
k
t
-
- <
，
且
2
1
2
1
2
2
2
6
3
3
,
3
1
3
1
kt
t
x
x
x x
k
k
-
-
-
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y y
kx
t
kx
t
k x x
kt x
x
t
，
因为
1
2
1
2
3
3
0
BP BQ
x
x
y y
-
-
uuur uuur
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
3
3
0
k
x x
kt
x
x
t
-
，
所以
2
2
2
2
2
3
3
6
1
3
3
0
3
1
3
1
t
kt
k
kt
t
k
k
-
-
-
-
，
化简得
2
2
3 3
6
0
t
kt
k
，即
3
2 3
0
t
k
t
k
，
所以1
2
3
2 3
t
k t
k
-
-
,
，且均满足
2
2
3
1
0
k
t
-
- <
，
当1
3
t
k
-
时，直线PQ的方程为
3
y
k x
-
，直线过定点
3 0
，，与已知矛盾，
当2
2 3
t
k
-
时，直线PQ的方程为
2 3
y
k x
-
，过定点
2 3 0
，，记为点D ．
②当直线PQ的斜率不存在时，由对称性不妨设直线
:
3
BP y
x
-
，
联立方程组
2
2
1
3
3
x
y
y
x
ì
-
ïí
ï
-
î
，解得
2 3
P
Q
x
x
，此时直线PQ也过点
2 3 0
D
，，
综上，直线PQ过定点
2 3 0
D
，．
又由BM
PQ
^
，所以点M 在以BD 为直径的圆上，
故当N 为该圆圆心，即点N 为BD 的中点时，MN 为该圆半径，即
1
2
MN
BD
，
所以存在定点
3 3 0
2
N æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，，使MN 为定值
3
2
．
（3）解：设
3
3
4
4
G x
y
H x
y
,
,
,
，易得直线GH 的斜率不为0，可设直线
3 3
:
2
GH x
ny
联立方程组
2
2
1
3
3 3
2
x
y
x
ny
ì
-
ïïí
ï
ïî
，整理得
2
2
15
3
3 3
0
4
n
y
ny
-
，
则
2
2
15
Δ
(3 3 )
4
3
0
4
n
n
-
-
´
>
，且
3
4
3
4
2
2
15
3 3
4
,
3
3
n
y
y
y y
n
n
-
-
-
，
则
3
4
3
4
5 3
12
ny
y
y
y
-
，
所以
3
3
3
4
3
4
3
4
3
3
1
4
2
3
4
4
3
4
4
4
3
4
3
3
5 3
3
2
3
2
12
2
5 3
5 3
5 3
5 3
3
2
12
2
2
y
y
y
ny
ny y
y
y
y
x
k
y
k
ny y
y
y
y
y
y
ny
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
3
4
3
4
3
5 3
1
12
12
5
5 3
25 3
12
12
y
y
y
y
-
-
-
．
