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知识点25：抛体运动
考点一：平抛运动
题型一：平抛运动的规律及处理方法：
【知识思维方法技巧】
平抛运动的规律及处理方法：
（1）平抛运动的研究方法：将运动沿初速度方向（匀速直线运动）和垂直于初速度方向
（自由落体运动）进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
（2）平抛运动的基本规律：
如图以抛出点O 为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴
正方向.
（3）平抛运动的重要推论：
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图所示，即xB＝.
推导：→xB＝
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：→tan θ＝2tan α
③速度改变量：Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
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类型一：落点在水平面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在水平面上平抛运动的处理技巧：
除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用水平面的特点。
【典例1a 拔尖题】(多选)如图所示，小球A、B 分别从2l 和l 的高度水平抛出后落地，上
述过程中A、B 的水平位移分别为l 和2l.忽略空气阻力，则( )
A．A 和B 的位移大小相等 B．A 的运动时间是B 的2 倍
C．A 的初速度是B 的 D．A 的末速度比B 的大
【典例1a 拔尖题对应练习】如图所示，P、Q 和M、N 分别是坐标系x 轴与y 轴上的两点，
Q 为OP 的中点，N 为OM 的中点，a、b、c 表示三个可视为质点的物体做平抛运动的轨迹，
a、b 抛出点的位置相同，a、c 落点的位置相同，以va、vb、vc表示三个物体的初速度，ta、
tb、tc表示三个物体做平抛运动的时间，则有( )
A．va∶vb＝1∶2 B．vb∶vc＝∶4 C．ta∶tb＝1∶
D．tb∶tc＝2∶1
类型二：落点在斜面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在斜面上平抛运动的处理技巧：
（1）除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面的倾角，找出斜面倾角
同位移和速度的关系，从而使问题得以顺利解决。
（2）顺着斜面平抛，要分解位移。求物体离斜面距离最大，要分解速度。
（3）对着斜面平抛，要分解速度。
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（4）斜面上平抛运动的推论：
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落
到斜面速度方向相同。
【典例1b 拔尖题】（多选）如图所示，蜘蛛在两竖直杆a、b 间织网，先布下一根蛛丝
MN，再在M 点正下方的P 点以水平速度v0向MN 跃去，蜘蛛恰好能跃到MN 上。已知
MN 与竖直方向成角α，重力加速度为g。则下列说法中正确的是( )
A．蜘蛛跃到蛛丝上的速度为
B．蜘蛛从P 点跃到MN 上的时间为
C．蜘蛛从P 点跃到MN 上的水平距离为
D．P 点与M 点间的距离为
【典例1b 拔尖题对应练习】如图所示，一小球在斜面的顶端以初速度v0水平抛出，最后落
到斜面上。已知斜面的倾角为α，小球的质量为m，重力加速度为g。求：
(1)小球落到斜面时速度大小和方向与水平面夹角的正切值。
(2)小球离斜面最远时的速度大小和运动时间。
类型三：落点在圆弧面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图甲所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，R±＝v0t.
联立两方程可求t.
如图乙所示，小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆
心角α 与速度的偏向角相等．
如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角
θ 与速度的偏向角相等．
3
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【典例1c 拔尖题】图中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB 上可上下移动的弹
射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B 点的正上方．竖直面内的半圆
弧轨道BCD 的半径R＝2.0 m，直径BD 水平且与轨道AB 处在同一竖直面内．小孔P 和圆
心O 连线与水平方向夹角为37°.游戏要求弹丸垂直于P 点圆弧切线方向射入小孔P 就能进
入下一关．为了能通关，弹射器离B 点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，
g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．0.15 m,4 m/s
B．1.50 m,4 m/s
C．0.15 m,2 m/s
D．1.50 m,2 m/s
【典例1c 拔尖题对应练习】（多选）在某次高尔夫球比赛中，一选手击球后，球恰好落在
洞的边缘，假定洞内bc 表面为球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为
g，把此球以大小不同的初速度v0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说
法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
类型四：落点在抛物面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
结合抛物面方程解题，注意符号。
【典例1d 拔尖题】如图所示，竖直平面第一象限有一个接触面，接触面表面满足
，
质量为
的钢球从图中其坐标为
处，以
的初速度水平抛出，经过
时，落在接触面某处（不考虑反弹），g 取
，下列说法正确的是（ ）
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A．接触表面抛物线方程表达式为
B．落在接触面上时，钢球的速度方向与水平面的夹角为
C．落在接触面上时，钢球的位移大小为
D．假设该钢球以
的初速度从图中原坐标处平抛，则不能落在接触面上
【典例1d 拔尖题对应练习】以某一初速度水平抛出一物体，若以抛出点为坐标原点O，初
速度方向为x 轴的正方向，物体所受重力方向为y 轴的正方向，它的运动轨迹恰好满足方
程y＝x2，经过一段时间速度大小变为初速度的2 倍，不计空气阻力，重力加速度为g，以
下说法正确的是( )
A．物体水平抛出的初速度为
B．该过程的运动时间为
C．该过程中的位移大小为
D．该程的位移方向与水平方向的夹角为θ，tan θ＝
类型五：落点在竖直面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d 相同，t＝。
【典例1e 拔尖题】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c 的运动轨迹，三个
小球到墙壁的水平距离均相同，且a 和b 从同一点抛出。不计空气阻力，则( )
A．a 和b 的飞行时间相同 B．b 的飞行时间比c 的短
C．a 的水平初速度比b 的小 D．c 的水平初速度比a 的大
【典例1e 拔尖题对应练习】如图所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面
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一定的高度，然后向竖直墙面发射网球．假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面
时与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则( )
A．两次发射的初速度之比为3∶1 B．碰到墙面前空中运动时间之比为1∶3
C．下降高度之比为1∶3 D．碰到墙面时动能之比为3∶1
类型六：落点在水平台阶上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）临界速度法（2）虚构斜面法
【典例1f 拔尖题】如图所示，A、B、C 是三级台阶的端点位置，每一级台阶的水平宽度
是相同的，其竖直高度分别为h1、h2、h3，将三个相同的小球分别从A、B、C 三点以相同
的速度v0水平抛出，最终都能到达A 的下一级台阶的端点P 处，不计空气阻力．关于从
A、B、C 三点抛出的小球，下列说法正确的是( )
A．在空中运动时间之比为tA∶tB∶tC＝1∶3∶5
B．竖直高度之比为h1∶h2∶h3＝1∶2∶3
C．在空中运动过程中，动量变化率之比为∶∶＝1∶1∶1
D．到达P 点时，重力做功的功率之比PA∶PB∶PC＝1∶4∶9
【典例1f 拔尖题对应练习】如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1 级台
阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3 级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次
与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰
撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，取g＝10 m/s2，则小球( )
s
h
v0
)θ
θ(
s
h
v0
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A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m
B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m
C．抛出时的初速度为1.0 m/s
D．会与第5 级台阶相撞
题型二：平抛运动的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动临界极值问题的处理技巧：
（1）找出临界状态对应的临界条件。分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方
法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件。
（2）分解速度或位移．
（3）画出临界轨迹．
类型一：乒乓球平抛运动的临界极值问题
【典例2a 拔尖题】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球
发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、
方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中
实线所示)，求P1点距O 点的距离x1.
(2)若球从O 点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的
P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球从O 点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，
求发球点距O 点的高度h3.
【典例2a 拔尖题对应练习】如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′
距桌面的高度为h，发射器O′A 长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A 点以初速度v0
水平发射出去，其中
。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓
球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90º 角的范围内来回缓慢水平转
动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S 是( )
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A．8πh2
B．4πh2
C．6πh2
D．2πh2
类型二：网球平抛运动的临界极值问题
【典例2b 拔尖题】（多选）如图所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，
球的初速度垂直于球网平面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，
下列说法正确是( )
A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝1.8h2
B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，一定落在对方界内
C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
D．任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
类型三：曲面模型平抛运动的临界极值问题
【典例2c 拔尖题】如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平
距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g
取10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的最小速度．
【典例2c 拔尖题对应练习】（多选）如图所示，水平面内放置一个直径d＝1 m，高h＝1
m 的无盖薄油桶，沿油桶直径距左桶壁s＝2 m 处的正上方有一点P，P 点的高度H＝3
m，从P 点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是(取g＝10
m/s2)( )
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A．小球的速度范围为 m/s<v< m/s 时，小球击中油桶的内壁
B．小球的速度范围为 m/s<v< m/s 时，小球击中油桶的下底
C．小球的速度范围为 m/s<v< m/s 时，小球击中油桶外壁
D．若P 点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能落在桶底(桶边缘除外)
题型三：平抛运动的相遇问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动相遇问题的处理技巧：
（1）找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移(水平位移和竖
直位移)关系、速度关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。
（2）用规律：依据抛体运动的基本规律(位移规律、速度规律等)，列方程求解。
【典例3 拔尖题】如图所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8 m 的斜面体位于水平地面上，小球从
斜面顶端A 点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B 点处。
空气阻力忽略不计，取重力加速度g＝10 m/s2，tan 37°＝0.75。
(1)求小球平抛的初速度v0的大小；
(2)若在小球水平抛出的同时，使斜面体在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经
t2＝0.3 s 小球落至斜面体上，求斜面体运动的加速度大小。
【典例3 拔尖题对应练习】地方电视台有一个叫“投准”的游戏，其简化模型如图所示，
左侧是一个平台，平台右边的地面上有不断沿直线向平台运动的小车，参赛者站在台面上，
看准时机将手中的球水平抛出，小球能落入小车算有效。已知投球点与小车上方平面高度
差h=5 m，小车的长度为L0=1.0 m，小车以大小为a=2 m/s2的加速度做匀减速运动，球的
大小可忽略。某次活动中，一辆小车前端行驶到与平台水平距离L=23 m 处时，速度为
v0=11 m/s，同时参赛选手将球水平抛出，结果小球落入小车中。重力加速度g 取10 m/s2，
求：
(1)小球从抛出到落入小车的时间；
(2)小球抛出时的速度v 的范围。
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考点二：类平抛运动
【知识思维方法技巧】
类平抛运动问题分析：
（1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（2）运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直
线运动，加速度
。
（3）求解方法：
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解。
题型一：光滑斜面模型
【典例1 拔尖题】如图所示，A、B 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v0沿x 轴正方
向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P1；B 沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在
同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A.A、B 的运动时间相同 B.A、B 沿x 轴方向的位移相同
C.A、B 运动过程中的加速度大小相同 D.A、B 落地时速度大小相同
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成
质点)沿斜面左上方顶点P 水平射入，恰好从底端Q 点离开斜面，试求：(重力加速度为g)
(1)物块由P 运动到Q 所用的时间t；
(2)物块由P 点水平射入时的初速度v0的大小；
(3)物块离开Q 点时速度的大小v.
题型二：其他模型
【典例2 拔尖题】风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图所示，在风洞实验
室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy 直角坐标系。质量m＝0.5 kg 的小球以
初速度v0＝0.40 m/s 从O 点沿x 轴正方向运动，在0～2.0 s 内受到一个沿y 轴正方向、大小
F1＝0.20 N 的风力作用；小球运动2.0 s 后风力方向变为沿y 轴负方向、大小变为F2＝0.10
N(图中未画出)。试求：
(1)2.0 s 末小球在y 轴方向的速度大小和2.0 s 内运动的位移大小；
(2)风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。
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考点三：斜上抛运动及类斜抛运动
题型一：斜上抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线
运动。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
（3）逆向思维法：把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以
从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动
时间、位移和速度具有对称性．
类型一：应用常规分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用常规分解法解决斜上抛运动的技巧：
将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，
建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①vx＝v0x＝v0cos θ ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ④
斜抛运动中的极值：在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t 总＝⑦
将⑦式代入①式得物体的射程xm＝
当θ＝45°时，sin 2θ 最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
【典例1a 拔尖题】中国运动员谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台项目中获得金牌。
如图所示为赛道的简化模型，ab 为助滑道，bc 为带有跳台的起跳区，cd 为着陆坡，de 为
停止区。运动员在跳台顶端M 点以速度
斜向上飞出，速度方向与水平方向夹角为θ，落
地点为着陆坡上的P 点。已知M 点到P 点的高度差为h，假设运动员在空中运动过程只受
重力作用，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
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A．运动员在P 点落地速度大小为
B．运动员在P 点落地速度与水平方向的夹角正切值为
C．运动员在空中的运动时间为
D．运动员在空中最高点与P 点的高度差为
【典例1a 拔尖题对应练习】如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P 点水
平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M 点斜向上射出。经过一段时间后两黄豆在N 点相遇，
曲线1 和2 分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M 点在P 点正下方，M 点与N 点位于同一水
平线上，且PM 长度等于MN 的长度，不计空气阻力，可将黄豆看成质点，则( )
A. 两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍
B. 甲黄豆在P 点的速度与乙黄豆在最高点的速度不相等
C. 两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍
D. 乙黄豆相对于M 点上升的最大高度为PM 长度的一半
类型二：应用特殊分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0
分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
【典例1b 拔尖题】单板滑雪U 形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所
示的模型：U 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接
而成，轨道倾角为17.2°.某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s 的速度从轨道边缘上的M
点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD 的夹角α＝72.8°，腾空
后沿轨道边缘的N 点进入轨道．图乙为腾空过程左视图．该运动员可视为质点，不计空气
阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30.求：
（1）运动员腾空过程中离开AD 的距离的最大值d；
（2）M、N 之间的距离L.
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类型三：应用逆向思维法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用逆向思维法解决斜上抛运动的技巧:
把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以从最高点分段研究
后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具
有对称性．
【典例1c 拔尖题】如图所示，甲球从O 点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A 点．
乙球从O 点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B 点反弹后恰好也落在A 点．已知
乙球在B 点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变、竖直方向的分速度方向相反大
小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是
( )
A．由O 点到A 点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O 点到A 点的水平位移是乙球由O 点到B 点水平位移的3 倍
C．v1∶v2 ＝3∶1 D．v1∶v2 ＝2∶1
【典例1c 拔尖题对应练习】如图所示，质量相同的两个小球a、b 由斜面底端斜向上抛出，
分别沿水平方向击中斜面顶端A 和斜面中点B，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球a、b 的末速度之比为2∶1 B．小球a、b 的位移之比为∶1
C．小球a、b 的初速度方向相同 D．小球a、b 的初动能之比为4∶1
题型二：类斜抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
类斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将类斜抛运动分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀变速直
线运动。
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（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
（3）逆向思维法：把物体的类斜抛运动看做从最高点开始的反向的类平抛运动。类斜抛运
动可以从最高点分段研究，前半段相当于反向的类平抛运动，后半段相当于类平抛运动，
且两段运动时间、位移和速度具有对称性．
类型一：已知合外力模型
【典例2a 拔尖题】一个质量为m 的质点以速度v0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F
的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为. 质点从开始受到恒力作用到速度减至最
小的过程中( )
A．经历的时间为 B．经历的时间为
C．发生的位移为 D．发生的位移为
类型二：已知二个相互垂直的外力模型
【典例2b 拔尖题】风洞实验室可以产生水平方向的、大小可以调节的风力。如图所示，两
水平面
、
（图中虚线）的间距为H，虚线区域存在方向水平向右、大小恒定的风力。
在该区域下边界上的O 点，将质量为m 的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界的
M 点离开虚线区域，经过一段时间，小球又从上边界的N 点再次进入虚线区域，小球再次
进入虚线区域后做直线运动，最后小球从下边界的P 点离开。已知小球从P 点离开时，其
速度为从O 点进入时的2 倍。不计虚线区域上方的空气阻力，重力加速度为g。求：（计
算结果可用根号表示。）
（1）O、M 的水平距离与N、P 的水平距离之比；
（2）虚线区域中水平风力的大小；
（3）在第一个小球抛出的同时，有另一相同小球从O 点竖直向上抛出，其初速度为第一
个小球的
。当第二个小球从下边界离开时，求两小球之间的距离。
考点四：三维空间抛体运动
题型一：平抛运动模型
【典例1 拔尖题】（多选）如图所示，边长为
的正方体空间图形
，其
下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点
在
所在范围内（包括边界）分
别沿不同的水平方向抛出，落点都在
平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，
取
则（ ）
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A．小球落在
点时，初速度为
，是抛出速度的最小值
B．小球落在
点时，初速度为
，是抛出速度的最大值
C．落在
线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是
D．落在
线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是
【典例1 拔尖对应练习】（多选）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架
ABCD—A1B1C1D1，从顶点A 沿不同方向平抛一小球(可视为质点)．关于小球的运动，下列
说法正确的是( )
A. 落点在A1B1C1D1内的小球，落在C1点时平抛的初速度最大
B. 落点在B1D1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶
C. 运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
D. 运动轨迹与A1C 相交的小球，在交点处的速度方向都相同
题型二：斜抛运动模型
【典例2 拔尖题】（多选）如图所示，某同学将离地1.25 m 的网球以13 m/s 的速度斜向上
击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m．当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为
8.45 m 的P 点．网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75 倍．平行墙面
的速度分量不变．重力加速度g 取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v 和着地点到墙壁的距
离d 分别为( )
A．v＝5 m/s
B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m
D．d＝3.9 m
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题型三：流体抛体运动
【典例3 拔尖题】在一次海上消防救援过程中，消防船启动了多个喷水口进行灭火。其中
所处高度与口径都相同的甲、乙两喷水口的出水轨迹如图所示，两轨迹在同一竖直面内且
最高点高度相同，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．喷口甲每秒喷出水的体积较大
B．喷口乙喷出的水初速度较大
C．喷口甲喷出的水在空中运动时间较长
D．喷口乙喷出的水在最高点的速度较大
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