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知识点25：抛体运动
考点一：平抛运动
题型一：平抛运动的规律及处理方法：
【知识思维方法技巧】
平抛运动的规律及处理方法：
（1）平抛运动的研究方法：将运动沿初速度方向（匀速直线运动）和垂直于初速度方向
（自由落体运动）进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
（2）平抛运动的基本规律：
如图以抛出点O 为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴
正方向.
（3）平抛运动的重要推论：
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图所示，即xB＝.
推导：→xB＝
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：→tan θ＝2tan α
③速度改变量：Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt 内的速度改变量Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
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类型一：落点在水平面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在水平面上平抛运动的处理技巧：
除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用水平面的特点。
【典例1a 提高题】 无人机在距离水平地面高度h 处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包
裹，不计空气阻力，重力加速度为g.
(1)求包裹释放点到落地点的水平距离x；
(2)求包裹落地时的速度大小v；
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x 轴方向，竖直向下为y 轴方向，建立平面直角坐
标系，写出该包裹运动的轨迹方程．
【典例1a 提高题】【答案】(1)v0 (2) (3)y＝x2
【解析】(1)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，h＝gt2，t＝，水平分运动是匀速直线
运动，x＝v0t，联立解得x＝v0.
(2)法一：根据动能定理mgh＝mv2－mv，(或根据机械能守恒定律mv＋mgh＝mv2)，解得v
＝.
法二：应用运动的合成与分解，落地时，竖直方向分速度vy＝gt，则合速度v＝，解得v＝.
(3)在竖直方向上y＝gt2，在水平方向上x＝v0t，消t 可得y＝x2.
【典例1a 提高题对应练习】“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一
竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标．设铁
圈在空中运动时间分别为t1、t2，则( )
A．v1＝v2 B．v1>v2 C．t1＝t2 D．t1>t2
【典例1a 提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据平抛运动的规律h＝gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1>t2，所以选
项C 错误，D 正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据x＝vt，可得v1<v2，故选项
A、B 错误．
类型二：落点在斜面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
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落点在斜面上平抛运动的处理技巧：
（1）除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面的倾角，找出斜面倾角
同位移和速度的关系，从而使问题得以顺利解决。
（2）顺着斜面平抛，要分解位移。求物体离斜面距离最大，要分解速度。
（3）对着斜面平抛，要分解速度。
（4）斜面上平抛运动的推论：
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落
到斜面速度方向相同。
【典例1b 提高题】如图所示，在斜面顶端a 处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好
落在斜面底端c 处．今在c 点正上方与a 等高的b 处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间
tb恰好落在斜面的三等分点d 处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta＝tb B．ta＝3tb C．va＝vb
D．va＝vb
【典例1b 提高题】【答案】C
【解析】a、b 两球下降的高度之比为3∶1，根据h＝gt2可知，t＝，则a、b 两球运动的时
间关系为ta＝tb，故A、B 错误；因为a、b 两球水平位移之比为3∶2，由v0＝得：va＝vb，
故C 正确，D 错误．
【典例1b 提高题对应练习】跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一、运动员（和滑雪板一起），
一定速度从跳台水平飞出，在空中飞行一段时间后重新落入赛道，如图所示。某运动员前
后两次分别以v、2v 的速度从跳台顶端水平飞出，两次运动员都落在倾斜的赛道上，斜坡
的倾角为，则（ ）
A．运动员前后两次起、落点间的距离之比为1：2
B．运动员前后两次在空中运动的时间之比为1：1
C．运动员前后两次与斜面的最远距离之比为1：2
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D．运动员前后两次落入赛道时的速度方向与斜面夹角之比为1：1
【典例1b 提高题对应练习】【答案】D
【解析】设速度与水平方向的夹角分别为
、
，根据平抛推论得
解得
，
，下落高度为
，
则
，由几何关系得，运动员前后两次起、落点间的距离之比为高
度之比，即1:4。故A 错误，D 正确。运动员前后两次在空中运动的时间之比为
，故B 错误；以斜面和垂直斜面建立坐标系，则垂直斜面方向上有
，
，
，当速度为0 时，离与斜面的最远。则
故C 错误。故选D。
类型三：落点在圆弧面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图甲所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，R±＝v0t.
联立两方程可求t.
如图乙所示，小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆
心角α 与速度的偏向角相等．
如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角
θ 与速度的偏向角相等．
【典例1c 提高题】如图所示，竖直平面内平抛的小球恰好与光滑半圆轨道相切于B 点，已
知抛出点在半圆轨道左端点(A 点)的正上方，半圆轨道半径为R，直线OB 与水平面成60°
角，重力加速度为g，则下列关于小球在空中的运动的分析正确的是( )
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A．小球到达B 点飞行的时间为 B．小球平抛的初速度大小为
C．小球到达B 点时水平位移为 D．小球到达B 点时竖直位移为
【典例1c 提高题】【答案】B
【解析】小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，经过B 点时速度方向与水平方向的
夹角为30°，则tan 30°＝，小球在B 点时的位移方向与水平方向的夹角α 的正切值tan α＝
tan 30°＝，又知x＝R＋Rcos 60°＝R，v＝2gy，联立解得y＝R，vy＝，v0＝，小球到达B 点
飞行的时间为t＝＝，选项A、C、D 错误，B 正确。
【典例1c 提高题对应练习】如图所示，一半圆柱体放在地面上，横截面半径为R，圆心为
O，在半圆柱体的右侧B 点正上方离地面高为2R 处的A 点水平向左抛出一个小球，小球恰
好能垂直打在半圆柱体上，小球从抛出到落到半圆柱体上所用的时间为t，重力加速度为
g，则小球抛出的初速度大小为( )
A. B. C.
D．
【典例1c 提高题对应练习】【答案】A
【解析】由题意及平抛运动的规律知，小球打在半圆柱体上时速度方向的延长线过圆心，
反向延长线过水平位移的中点，设小球运动过程中下落的高度为y，水平位移为x，则＝，
x＝v0t，y＝gt2，解得v0＝，A 项正确。
类型四：落点在抛物面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
结合抛物面方程解题，注意符号。
【典例1d 提高题】如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y 轴上有一
点P，坐标为(0，6 m)．从P 点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s.则小球第一次打在曲面
上的位置为(g 取10 m/s2)( )
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A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m) C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
【典例1d 提高题】【答案】C
【解析】设小球第一次打在曲面上的位置为(x，y)，小球在水平方向有：x＝v0t; 竖直方向
有：6－y＝gt2，x、y 满足曲面方程，则y＝x2，联立各式并把g＝10 m/s2、v0＝1 m/s 代入
解得x＝1 m，y＝1 m，则小球第一次打在曲面上的位置为(1 m，1 m)，故选项C 正确．
【典例1d 提高题对应练习】（多选）如图所示，一个质量为0.4 kg 的小物块从高h＝0.05
m 的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O 点水平飞出，击中
平台右下侧挡板上的P 点。现以O 为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡
板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g 取10 m/s2，则下列说
法正确的是( )
A．小物块从O 点运动到P 点的水平位移为2 m
B．小物块从O 点运动到P 点的时间为1 s
C．小物块刚到P 点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于10
D．小物块刚到P 点时速度的大小为10 m/s
【典例1d 提高题对应练习】【答案】BC
【解析】对小物块，从释放至到达O 点的过程中，由动能定理得mgh＝mv－0，代入数据
解得v0＝＝ m/s＝1 m/s。小物块从O 点水平抛出做平抛运动，竖直方向y＝－gt2，水平方
向x＝v0t，解得v＝－5x2；又有y＝x2－6，联立解得x＝1 m，y＝－5 m，根据y＝－gt2，
解得t＝＝s＝1s，故A 错误，B 正确；竖直方向的速度大小vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，设
刚到P 点时速度方向与水平方向夹角为θ，则有tan θ＝＝＝10，故C 正确；根据速度的合
成法则，小物块刚到P 点时速度的大小为v＝＝ m/s＝ m/s，故D 错误。
类型五：落点在竖直面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d 相同，t＝。
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【典例1e 提高题】如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖
直墙上。O、A、B 是竖直墙上三点，O 与出射点处于同一水平线上，A、B 两点分别为两
次试验时击中的点，OA＝h1，OB＝h2，出射点到O 点的距离为L，当地重力加速度为g，
空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是( )
A．出射速度足够大，网球可以击中O 点
B．发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇
C．击中A 点的网球的初速度大小为L
D．网球击中B 点时速度大小为
【典例1e 提高题】【答案】D
【解析】网球做平抛运动，不论出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网球不能
击中O 点，故A 错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不
相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B 错误；对于击中A 点的网球，根据平
抛运动的规律可得L＝v0At1，h1＝gt，解得击中A 点的网球的初速度大小为v0A＝L，故C 错
误；网球击中B 点时，据平抛运动的规律可得L＝v0Bt2，h2＝gt，解得击中B 点的网球的初
速度大小为v0B＝L，网球击中B 点时速度大小为vB＝＝，故D 正确。
【典例1e 提高题对应练习】 (多选)从竖直墙的前方A 处，沿AO 方向水平发射三颗弹丸
a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c 三颗弹丸(不计空气
阻力)( )
A．初速度之比是∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【典例1e 提高题对应练习】【答案】AC
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【解析】水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直
线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2 可知
ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t 可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A 正确，B 错
误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C 正确，D 错
误．
类型六：落点在水平台阶上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）临界速度法（2）虚构斜面法
【典例1f 提高题】一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水
平速度v 飞出，g 取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )
A． m/s＜v≤2 m/s B．2 m/s＜v≤3.5 m/s
C． m/s＜v＜ m/s D．2 m/s＜v＜ m/s
【典例1f 提高题】【答案】A
【解析】根据平抛运动规律有：x＝vt，y＝gt2，若打在第3 台阶与第4 台阶边沿，则根据几
何关系有：vt＝gt2，得v＝gt，如果落到第四台阶上，有：3×0.4＜gt2≤4×0.4，代入v＝gt，
得 m/s＜v ≤2 m/s，A 正确．
【典例1f 提高题对应练习】在教学楼的楼梯口，有如图所示的0、1、2、3、…、k 级台阶，
每级台阶的长为30 cm，高为15 cm(g＝10 m/s2)．某同学从第0 级台阶的边缘以v0＝4 m/s
水平踢出一足球(不计一切阻力)，则足球将落在第( )级台阶上．
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例1f 提高题对应练习】【答案】 C
s
h
v0
)θ
θ(
s
h
v0
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【解析】如图作一条连接各端点的直线，只要小球越过该直线，则小球落到台阶上．设小
球落到斜线上的时间t
，水平方向x＝v0t，竖直方向y＝gt2且＝＝2，联立解得t＝0.4
s，相应的水平位移x＝4×0.4 m＝1.6 m，则台阶数n＝≈5.3，知小球抛出后首先落到第6
级台阶上．
题型二：平抛运动的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动临界极值问题的处理技巧：
（1）找出临界状态对应的临界条件。分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方
法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件。
（2）分解速度或位移．
（3）画出临界轨迹．
类型一：乒乓球平抛运动的临界极值问题
【典例2a 提高题】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1
和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同
方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。
若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台
面上，则v 的最大取值范围是( )
A．＜v＜L1 B．＜v＜
C．＜v＜ D．＜v＜
【典例2a 提高题】【答案】D
【解析】发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v 最小时，球沿
中线恰好过网，有：3h－h＝，＝v1t1联立得v1＝，当速度最大时，球斜向右侧台面两个角
发射，有＝v2t2，3h＝gt，联立得v2＝，所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值
范围为＜v＜，选项D 正确。
【典例2a 提高题对应练习】如图所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L，某人在乒
乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧
边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( )
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
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B．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2∶1
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2
D．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
【典例2a 提高题对应练习】【答案】D
【解析】因为水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左侧水平位移的两倍，所以网右
侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知，击球点的高度与
网高之比为9∶8，故选项A、B 错误；球恰好通过网的上沿的时间为落到右侧桌边缘的时
间的，竖直方向做自由落体运动，根据v＝gt 可知，球恰好通过网的上沿的竖直分速度与
落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1∶3，根据v＝可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时
速率之比不是1∶2，故选项C 错误；网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv＝gt，所以乒乓球
在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2，故选项D 正确。
类型二：排球平抛运动的临界极值问题
【典例2b 提高题】如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度
为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高．如果运动员的弹跳水平不
高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是
触网就是越界．设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网
将排球水平击出，关于该种情况下临界值H 的大小，下列关系式正确的是( )
A．H＝h
B．H＝
C．H＝h
D．H＝h
【典例2b 提高题】【答案】C
【解析】将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，有：H－h＝gt，
H ＝gt，＝v0t1，＋＝v0t2，联立解得H＝h，故C 正确．
【典例2b 提高题对应练习】中国女排享誉世界排坛，曾经取得辉煌的成就．如图所示，在
某次比赛中，我国女排名将冯坤将排球从底线A 点的正上方以某一速度水平发出，排球正
好擦着球网落在对方底线的B 点上，且AB 平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为
s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H 和水平初速度v 分
别为( )．
A．H＝h
B．H＝h
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C．v＝
D．v＝
【典例2b 提高题对应练习】【答案】AD
【解析】由平抛知识可知gt2＝H，H－h＝g2得H＝h，A 正确、B 错误．由vt＝s，得v＝，
D 正确、C 错误．
类型三：网球平抛运动的临界极值问题
【典例2c 提高题】一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己
一方场地的B 点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的A 点处，如图所示，第二
只球直接擦网而过，也落在A 点处，设球与地面的碰撞过程没有能量损失，且运动过程不
计空气阻力，则两只球飞过球网C 处时水平速度之比为( )
A．1∶1 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶9
【典例2c 提高题】【答案】B
【解析】由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．由
于球与地面的碰撞没有能量损失，设第一只球自击出到落到A 点时间为t1，第二只球自击
出到落到A 点时间为t2，则t1＝3t2.由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，
设它们从O 点出发时的初速度分别为v1、v2，由x＝v0t 得：v2＝3v1，所以有＝，所以两只
球飞过球网C 处时水平速度之比为1∶3，故B 正确．
【典例2c 提高题对应练习】一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球
飞出时的初速度为v1，落在自己一方场地B 点后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场
地的A 点处。如图所示，第二只球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A 点处。
设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：
(1)网球两次飞出时的初速度之比v1∶v2；
(2)运动员击球点的高度H、网高h 之比H∶h。
【典例2c 提高题对应练习】【答案】(1)1∶3 (2)4∶3
【解析】(1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被
击出至各自第一次落地的时间是相等的。由题意知水平射程之比为x1∶x2＝1∶3，故平抛
运动的初速度之比为v1∶v2＝1∶3。
(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知DB 段和OB 段是相同的平抛运
动，则两球下落相同高度H－h 后水平距离x1′＋x2′＝2x1，根据公式H＝gt，H－h＝gt，而
x1＝v1t1，x1′＝v1t2，x2′＝v2t2，综合可得v1t2＋v2t2＝2v1t1，故t1＝2t2，即H＝4(H－h)，解得
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H∶h＝4∶3。
类型四：曲面模型平抛运动的临界极值问题
【典例2d 提高题】如图所示，窗子上、下沿间的高度差H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，
某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以
速度v 水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v 的取值范围
是( )
A．v＞7 m/s
B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s
D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
【典例2d 提高题】【答案】C
【解析】小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题．若小物件恰好经窗子上沿，则有
h＝gt，L＝v1t1，得v1＝7 m/s，若小物块恰好经窗子下沿，则有h＋H＝gt，L＋d＝v2t2，得
v2＝3 m/s，所以3 m/s ＜v＜7 m/s，故选项C 正确．
【典例2d 提高题对应练习】某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道AB 上的弹射器可上下
移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸．圆心为O 的圆弧槽BCD 上开有小孔P，弹丸
落到小孔时，速度只有沿OP 方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上( )
A．位于B 点时，只要弹丸射出速度合适就能过关
B．只要高于B 点，弹丸射出速度合适都能过关
C．只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关
D．有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关
【典例2d 提高题对应练习】【答案】C
【解析】根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B 点时，不管速度多
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大，弹丸都不可能沿OP 方向从P 点射出，故A 错误；如图所示，根据平抛运动速度反向
延长线过水平位移的中点可得：EN＝R(1＋cos α)，则竖直位移PN＝EN·tan α＝R(1＋cos
α)tan α，弹射器离B 点的高度为y＝PN－Rsin α＝R(tan α－sin α)，所以只有一个位置，
且弹丸以某一速度射出才能过关，故B、D 错误，C 正确．
题型三：平抛运动的相遇问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动相遇问题的处理技巧：
（1）找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移(水平位移和竖
直位移)关系、速度关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。
（2）用规律：依据抛体运动的基本规律(位移规律、速度规律等)，列方程求解。
类型一：平抛运动与其他运动的相遇问题
【典例3a 提高题】如图，小球甲从A 点水平抛出，同时将小球乙从B 点自由释放，两小球
先后经过C 点时速度大小相等，方向夹角为30°，已知B、C 高度差为h，两小球质量相等，
不计空气阻力，重力加速度大小为g，由以上条件可知( )
A．小球甲做平抛运动的初速度大小为2
B．甲、乙两小球到达C 点所用时间之比为 1∶2
C. A、B 两点高度差为
D．两小球在C 点时重力的瞬时功率大小相等
【典例3a 提高题】【答案】C
【解析】设两小球在C 点的速度大小为vC，vC＝，小球甲的水平初速度大小为v0＝vCsin 30°
＝，故A 错误．小球甲在C 点的竖直分速度大小为vy＝vCcos 30°，小球甲到达C 点所用时
间t 甲＝，小球乙到达C 点所用时间t 乙＝，则t 甲∶t 乙＝∶2，选项B 错误．小球甲从A 到C
竖直方向有vy
2＝2gh 甲，解得h 甲＝，则A、B 两点高度差为h－h＝，选项C 正确．两小球
在C 点时重力的瞬时功率为P 甲＝mgvy＝mgvCcos θ，P 乙＝mgvC，大小不相等，选项D 错
误．
【典例3a 提高题对应练习】如图所示，在高为h＝5 m 的平台边缘以大小为vA＝10 m/s 的
水平速度抛出小球A，同时在水平地面上与台面边缘的水平距离为s＝15 m 处竖直上抛小
球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，小球与地面间的碰撞是弹性的，且碰撞时间不计，
碰后水平速度不变，竖直速度等大反向。若小球B 未落地前，两球能在空中相遇，求小球
B 的初速度大小vB(不计空气阻力，重力加速度为g＝10 m/s2)。
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【典例3a 提高题对应练习】【答案】10 m/s
【解析】如图所示，小球A 从抛出点到第一次落地点的水平位移记为x1，所用时间记为
t1，则由平抛运动规律可得h＝gt1
2，x1＝vAt1，解得t1＝1 s，x1＝10 m, 小球A 落地的竖直分
速度大小为vy＝gt1＝10 m/s，因为x1<s，故小球A 第一次落地前不会与小球B 相遇，由平
抛运动的对称性及2x1>s 可知，小球A 与地面碰撞一次反弹到最高点前可以与小球B 相遇，
若小球A 第一次落地后再经时间t2与小球B 相遇，由相遇的特点“同时、同位”可得竖直
方向：vy′t2－gt2
2＝vB(t1＋t2)－g(t1＋t2)2，vy′＝vy水平方向：s－x1＝vAt2，解得vB＝10 m/s。
类型二：反向平抛的相遇问题
【典例3b 提高题】（多选）如图，在同一竖直面内，小球a、b 从高度不同的两点，分别
以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P
点，并且落到P 点时两球的速度互相垂直．若不计空气阻力，则( )
A．小球a 比小球b 先抛出 B．初速度va小于vb
C．小球a、b 抛出点距地面高度之比为vb∶va D．初速度va大于vb
【典例3b 提高题】【答案】AB
【解析】h＝gt2，所以t＝，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a 的高
度比小球b 的大，所以ta＞tb，由于小球a、b 的水平位移相等，由x＝v0t 得va＜vb，故A、
B 正确，D 错误．h＝gt2＝g，故小球a、b 抛出点距地面高度之比为＝，C 错误．
【典例3b 提高题对应练习】如图所示，将a、b 两小球以大小均为20 m/s 的初速度分别从
A、B 两点水平相向、相差1 s 先后抛出，a 小球从A 点抛出后，经过时间t，a、b 两小球恰
好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2。则抛出点
A、B 间的水平距离为( )
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A．80 m
B．100 m
C．200 m
D．180 m
【典例3b 提高题对应练习】【答案】D
【解析】a、b 两球在空中相遇时，设a 球运动的时间为t，则b 球运动的时间为t－1 s，此
时两球速度相互垂直，如图所示，由图可得tan α＝＝，代入数据解得t＝5 s，故抛出点
A、B 间的水平距离为x＝v0t＋v0(t－1 s)，解得x＝180 m，故选项D 正确。
考点二：类平抛运动
【知识思维方法技巧】
类平抛运动问题分析：
（1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（2）运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直
线运动，加速度
。
（3）求解方法：
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解。
题型一：光滑斜面模型
【典例1 提高题】如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5 m，宽b＝4 m，倾角θ＝
30°，一可视为质点的小球从底端A 处沿斜面射入，恰好从斜面右上方顶点B 处水平射出，
重力加速度g 取10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．小球运动的加速度为10 m/s2
B．小球从A 运动到B 所用时间为2 s
C．小球从B 点水平射出时的速度为2 m/s
D．若小球从B 点以4 m/s 的速度水平向左射入，则恰能从底端A 点离开斜面
【典例1 提高题】【答案】C
【解析】对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律可得mgsin 30°＝
ma0，解得a0＝gsin 30°＝5 m/s2，方向沿斜面向下，故A 错误；逆向分析，小球从B 到A
做类平抛运动，水平方向有b＝v0t，沿斜面向下方向有a＝a0t2，联立解得t＝ s，v0＝2
m/s，故B 错误，C 正确；由上述分析可知，若小球从B 点以2 m/s 的速度水平向左射入，
则恰能从底端A 点离开斜面，若小球从B 点以4 m/s 的速度水平向左射入，则小球会在A
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点上方离开斜面，故D 错误．
【典例1 提高题对应练习】（多选）a、b 两质点从同一点O 分别以相同的水平速度v0沿x
轴正方向抛出，a 在竖直平面内运动，落地点为p1，b 沿光滑斜面运动，落地点为p2，p1和
p2在同一水平面上，如图所示，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．a、b 的运动时间不同
B．a、b 沿x 轴方向的位移相同
C．a、b 落地时的速度大小相同
D．a、b 落地时的速度相同
【典例1 提高题对应练习】【答案】AC
【解析】质点a 在竖直平面内做平抛运动，质点b 在斜面上运动时，只受沿斜面方向垂直
于斜面底边的重力的分力mgsin θ 的作用，如图所示，质点b 做类平抛运动．分析如下：
对a，运动时间ta＝ ；对b，＝gsin θt，所以运动时间tb＝≠ta，则A 项正确；对a，沿x
轴方向位移xa＝v0ta，对b，沿x 轴方向位移xb＝v0tb≠xa，则B 项错误；由动能定理知：mgh
＝mv－mv，所以vt的大小相等，则C 项正确；a、b 落地时速度的方向不同，不能说速度
相同，则D 项错误．
题型二：竖直弹性碰撞模型
【典例2 提高题】（多选）如图所示，竖直墙MN、PQ 间距为l，竖直线OA 到两边墙面等
距．从离地高度一定的O 点垂直墙面以初速度v0水平抛出一个小球，小球与墙上B 点、C
点各发生一次弹性碰撞，且最后恰好落在地面上的A 点．设B 点距地面高度为h1，C 点距
地面高度为h2，所有摩擦和阻力均不计．下列说法正确的是( )
A. h1∶h2＝8∶5 B. h1∶h2＝15∶7
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C. 仅将间距l 加倍而仍在两墙中央O 点平抛，小球不会落在A 点
D. 仅将初速度v0增为nv0(n 为正整数)，小球一定落在A 点
【典例2 提高题】【答案】BD
【解析】由于竖直线OA 到两边墙面的距离均为，小球与墙面发生弹性碰撞，无能量损失，
小球在运动过程中，竖直方向为自由落体，运动到B、C 及A 所用时间之比为1∶3∶4，O
到B、C、A 的竖直距离分别为y1、y2、y3，由匀变速运动规律得y1∶y2∶y3＝1∶9∶16，h1
＝y3－y1，h2＝y3－y2，故h1∶h2＝15∶7，A 错误，B 正确；由于OA 间距离不变，小球落
到地面时间不变，仅将间距l 加倍，仍在两墙中央O 点平抛，小球将与墙面碰撞一次后落
在A 点，C 错误；仅将初速度v0增为nv0(n 为正整数)，小球从抛出到落地在水平方向通过
路程s＝2nl，根据对称性，小球一定落在A 点，D 正确．
题型三：其他模型
【典例3 提高题】据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的
滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的AOB 为
此跑道纵截面示意图，其中AO 段水平，OB 为抛物线，O 点为抛物线的顶点，抛物线过O
点的切线水平，OB 的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通
过OB 段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B 点的速率
为( )
A. B. C.
D.
【典例3 提高题】【答案】D
【解析】战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为
零的匀加速直线运动，则战机到达B 点时的水平分速度大小vx＝，竖直分速度大小vy＝，
合速度大小为v＝＝，选项D 正确。
【典例3 提高题对应练习】在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg 的质点以速度v0＝10 m/s
沿x 轴正方向运动，经过原点后受一沿y 轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N 作用，直线
OA 与x 轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA 相交于P 点，质点从O 点到P 点所经历的时间以及P 点
的坐标；
(2)质点经过P 点的速度大小.
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【典例3 提高题对应练习】【答案】(1)3 s P(30 m,22.5 m) (2)5 m/s
【解析】(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F 和重力mg
作用做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得：a＝＝ m/s2＝5 m/s2，设质点从O 点到P 点经
历的时间为t，P 点坐标为(xP，yP)，则xP＝v0t，yP＝at2，又tan α＝，联立解得：t＝3 s，xP
＝30 m，yP＝22.5 m.
(2)质点经过P 点时沿y 方向的速度，vy＝at＝15 m/s，故P 点的速度大小vP＝ ＝5 m/s.
考点三：斜上抛运动及类斜抛运动
题型一：斜上抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线
运动。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
（3）逆向思维法：把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以
从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动
时间、位移和速度具有对称性．
类型一：应用常规分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用常规分解法解决斜上抛运动的技巧：
将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，
建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①vx＝v0x＝v0cos θ ②
在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ④
斜抛运动中的极值：在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤
将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t 总＝⑦
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将⑦式代入①式得物体的射程xm＝
当θ＝45°时，sin 2θ 最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
【典例1a 提高题】某同学在高度h 处以一定大小的速度
抛出一小球，当其速度方向不同
时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则最大射程为（
）
A．
B．
C．
D．
【典例1a 提高题】【答案】D
【解析】如图所示
对初速度
进行分解，水平方向
，竖直方向
，则水平射程为
，竖直方向落地时
，消去
解得
则
，当
，时x 有最大值
，即
，ABC 错误，D 正确。故选D。
【典例1a 提高题对应练习】（多选）如图所示，从水平地面上a、b 两点同时抛出两个物
体，初速度分别为v1和v2，与水平方向所成角度分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在ab
连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体速度均沿水平方向，不计空气阻
力。则( )
A．v1＞v2
B．v1＝v2
C．Oa＞Ob
D．Oa＜Ob
【典例1a 提高题对应练习】【答案】AC
【解析】两物体做斜抛运动，在竖直方向减速，在水平方向匀速，对从a 点抛出的物体：
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v1x＝v1cos 30°＝v1，v1y＝v1sin 30°＝v1，竖直方向通过的位移为：h＝＝，对从b 点抛出的物
体：v2x＝v2cos 60°＝，v2y＝v2sin 60°＝v2，竖直方向通过的位移为：h′＝＝。因h＝h′，联立
解得：v1＞v2，故A 正确，B 错误；由于v1x＝v1，v2x＝v2，则有从a 点抛出的物体在水平方
向的速度大于从b 点抛出的物体在水平方向的速度，故在水平方向上，从a 点抛出的物体
通过的位移大于从b 点抛出的物体的位移，即Oa＞Ob，故C 正确，D 错误。
类型二：应用特殊分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0
分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
【典例1b 提高题】如图，斜面倾角为30°，某一物体从斜面上距地面高为h＝2 m 处的A
点以速度v0＝4 m/s 与斜面成60°飞出，最后落回斜面上B 点．不计空气阻力，重力加速度
g＝10 m/s2，O 点为斜面最低点．关于物体的运动情况下列说法正确的是( )
A. 物体飞行时间为0.8 s
B. 物体离斜面的最远距离为
m
C. AB 长度为1.6 m
D. 物体离地面的最大高度为0.2 m
【典例1b 提高题】【答案】A
【解析】将运动沿着斜面和垂直斜面方向正交分解，
在垂直斜面方向上2v0sin 60°＝gtcos 30°，可得飞行时间t＝0.8 s，故A 正确；物体离斜面的
最远距离：d＝
＝
m，故B 错误；AB 的长度L＝v0tcos 60°＋gsin 30°·t2＝
4×0.8× m＋×10× ×0.82m＝3.2 m，故C 错误；将运动沿水平方向和竖直方向分解，由几
何关系可得初速度与竖直方向夹角为60°，因此最大高度H＝h＋
＝2.2 m，故
D 错误．
类型三：应用逆向思维法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用逆向思维法解决斜上抛运动的技巧:
把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以从最高点分段研究
后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具
有对称性．
【典例1c 提高题】甲、乙两个同学对打乒乓球，设甲同学持拍的拍面与水平方向成α 角，
乙同学持拍的拍面与水平方向成β 角，如图所示，设乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，
且乒乓球每次击打球拍前与击打后速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍
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的速度v1与乒乓球击打乙的球拍的速度v2之比为( )
A. B. C.
D.
【典例1c 提高题】【答案】A
【解析】乒乓球被甲的球拍击打后以速度v1做斜上抛运动到最高点，此运动可看成平抛运
动的逆过程，设平抛的初速度为v0，则v1＝，v2＝，得＝，A 项正确。
【典例1c 提高题对应练习】如图所示，某同学由O 点先后抛出完全相同的3 个小球(可将
其视为质点)，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P 三点上。已知M、N、P、O 四点距离
水平地面高度分别为4h、3h、2h、h。不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．击中P 点的小球速度最小
B．分别到达M、N、P 三点的小球的飞行时间之比为1∶2∶3
C．分别到达M、N、P 三点的小球的初速度的竖直分量之比为
∶
∶1
D．分别到达M、N、P 三点的小球的加速度大小之比为3∶2∶1
【典例1c 提高题对应练习】【答案】C
【解析】B．将运动逆向看，可看成是三个平抛运动，且达到O 点时水平位移相等，根据
，可得运动时间：
；则到达M、N、P 的运动时间之比为
，故
B 错误；A．水平方向有
，则击中M、N、P 水平方向的速度之比为
，击
中M 点的小球速度最小，P 点的小球速度最大，故A 错误；C．由
可知，达到M、
N、P 三点的小球的初速度的竖直分量之比为
，故C 正确；D．做斜抛运动的物
体加速度为重力加速度，故到达木板前小球的加速度相同，故D 错误。故选C。
题型二：斜抛运动与其他运动的相遇问题
【典例2 提高题】（多选）如图，两位同学同时在等高处抛出手中的篮球A、B，A 以速度
v1斜向上抛出，B 以速度v2竖直向上抛出，当A 到达最高点时恰与B 相遇。不计空气阻力，
A、B 质量相等且均可视为质点，重力加速度为g，以下判断正确的是( )
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A．相遇时A 的速度一定为零 B．相遇时B 的速度一定为零
C．A 从抛出到最高点的时间为 D．从抛出到相遇A、B 动量的变化量相同
【典例2 提高题】【答案】BCD
【解析】A 分解为竖直方向的匀减速直线运动与水平方向的匀速直线运动，相遇时A 达到
最高点则其竖直方向的速度为0，水平方向速度不变，合速度不为0，故A 错误；A 在竖直
方向的分速度为vy，则相遇时：vyt－gt2＝vBt－gt2，解得vB＝vy，B 达到最高点，速度也为
0，故B 正确；A 与B 到达最高点的时间相等为t＝，故C 正确；两者受到的外力为重力，
时间相同则冲量相同，动量的变化量相同，故D 正确。
题型三：类斜抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
类斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将类斜抛运动分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀变速直
线运动。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y 方向列方程求解．
（3）逆向思维法：把物体的类斜抛运动看做从最高点开始的反向的类平抛运动。类斜抛运
动可以从最高点分段研究，前半段相当于反向的类平抛运动，后半段相当于类平抛运动，
且两段运动时间、位移和速度具有对称性．
类型一：已知合外力模型
【典例3a 提高题】在光滑的水平面上，一质量为m＝2 kg 的滑块在水平方向恒力F＝4 N
的作用下运动．如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q 两点时速
度大小均为v＝5 m/s，滑块在P 点的速度方向与PQ 连线夹角α＝37°，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．水平恒力F 的方向与PQ 连线成53°夹角 B．滑块从P 点运动到Q 点的时间为3 s
C．滑块从P 点运动到Q 点的过程中速度最小值为3 m/s
D．P、Q 两点连线的距离为10 m
【典例3a 提高题】【答案】B
【解析】 滑块在水平恒力作用下由P 点到Q 点，滑块过P、Q 两点时速度大小均为v＝5
m/s，即水平恒力不做功，所以力应该和位移的方向垂直，A 错误；把滑块在P 点的速度分
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解到垂直于PQ 方向上有v2＝vsinα＝5×0.6 m/s＝3 m/s，由题意知在这个方向上滑块先减速
后反向加速，由牛顿第二运动定律得，运动的加速度a＝＝2 m/s2，运动具有对称性，得滑
块从P 到Q 的时间t＝2×＝2× s＝3 s，B 正确；把速度分解到PQ 方向上有v1＝vcosα＝
5×0.8 m/s＝4 m/s，滑块在PQ 方向上做匀速运动，所以当滑块在垂直于PQ 方向上的速度
等于零时，速度最小，为4 m/s，C 错误；P、Q 两点之间的距离为PQ＝v1t＝4×3 m＝12
m，D 错误．
类型二：已知二个相互垂直的外力模型
【典例3b 提高题】如图所示，在风洞实验室中，从A 点以水平速度v0向左抛出一个质量
为m 的小球，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运
动到A 点正下方的B 点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
（1）小球离A、B 所在直线的最远距离；
（2） A、B 两点间的距离；
【典例3b 提高题】【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向：F＝max ， v0
2＝
2axxmax，解得：xmax＝
.(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
，由对称性知总时间t
＝2t1 竖直方向上：y＝gt2＝
.(3)小球运动到B 点时速度最大，有vx＝v0， vy＝gt，
则vmax＝
＝
.
考点四：三维空间抛体运动
题型一：平抛运动模型
【典例1 提高题】如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s
处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h.足球做平
抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
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A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
【典例1 提高题】【答案】B
【解析】根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x 水平＝ ，则足
球位移的大小为：x＝＝ ，选项A 错误；由h＝gt2，x 水平＝v0t，可得足球的初速度为v0
＝ ，选项B 正确；对足球应用动能定理：mgh＝mv2－mv，可得足球末速度v＝ ＝ ，选
项C 错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D 错误．
【典例1 提高题对应练习】如图所示，边长为a 的正方体无盖盒子放置在水平地面上，O
为直线B′A′延长线上的一点，且与A′的距离为a，将小球(可视为质点)从O 点正上方距离
2a 处以某一速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g。为使小球能落在盒子内部，
调整抛出方向，则小球抛出时的速度最大不超过( )
A.
B.
C.
D.
【典例1 提高题对应练习】【答案】A
【解析】当小球恰好从C 点落入盒子时水平速度最大，此时小球的水平位移为x＝OC′＝＝
a，竖直位移为a，根据平抛运动的规律得a＝v0t，a＝gt2，联立解得v0＝，故选A。
题型二：流体抛体运动
【典例2 提高题】为了节约用水又能完成浇水任务，绿化洒水车在工作时需要根据工作环
境中的实际情况控制水量的大小。如图所示，若洒水车的水平喷水口满管径工作，且距某
绿化带两侧的水平距离分别为
、
，忽略水滴受到的空气阻力，为完成绿化带浇水任务，
则洒水车单位时间内最大出水量和最小出水量之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【典例2 提高题】【答案】C
【解析】设管的横截面积为S，喷水距离为L，水流速度为v，则出水量为
最大出水
量水流速为
，则t 时间内出水量
最小出水量水流速为
，则t 时间内出
水量
单位时间内最大出水量与最小出水量之比故C 正确，ABD 错误。故选C。
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