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专题11 数列
【考点1 由
与
的关系求通项公式】
【考点2 由数列的递推关系求通项公式】
【考点3 数列的函数特征】
【考点4 等差数列基本量的运算】
【考点5 等差数列的判定与证明】
【考点6 等差数列的性质及应用】
【考点7 等比数列基本量的运算】
【考点8 等比数列的判定与证明】
【考点9 等比数列的性质及应用】
知识点1：数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列
的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数
分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项
间的大小
关系分类
递增数列
其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标
准分类
有界数列
存在正数M，使
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
1
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周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列
的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表达，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列
的首项(或前几项)，且任一项
与它的前一项
(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
熟记：1.若数列
的前n 项和为S”,通项公式为
知识点2 等差数列
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：
(
，
为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a，b 的等差中项．
3、通项公式与前n 项和公式
（1）通项公式：
．
（2）前项和公式：
．
4.等差数列的性质
已知数列
是等差数列，
是其前
项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：
．
（2）若
，则
．
（3）若
的公差为d，则
也是等差数列，公差为
．
（4）若
是等差数列，则
也是等差数列．
2
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熟记：
1.等差数列的函数的关系
(1)等差数列{
)的单调性:当d>0 时,递增数列;当d<0 时,(
)是递减数列;当小时,(
)是
常数列.
(2)在等差数列{
}中,
>0,d<0,则
韩最大值;若
<0,d>0,则
存在最小值
2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为
，则
，
；
（2）若项数为
，则
，
，
，
.
（3）两个等差数列
，
的前n 项和
，
之间的关系为
.
知识点4 等比数列
1、等比数列的定义
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非
零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
表示。
（2）数学语言表达式：
(
，
为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，
其中
.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n 项和公式
（1）通项公式：若等比数列
的首项为
，公比是
，则其通项公式为
；
通项公式的推广：
.
（2）等比数列的前
项和公式：当
时，
；当
时，
.
4、等比数列的性质
已知
是等比数列，
是数列
的前
项和．
1、等比数列的基本性质
3
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（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
，
，
，…仍是等比数列，
公比为
.
（2）若
，
（项数相同）是等比数列，则
，
，
，
，
仍是等比数列．
（3）若
，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若
是等比数列，且
，则
（
且
）是以
为首项，
为公差的等差数列。
（5）若
是等比数列，
，则
构成公比为
的
等比数列
熟记：
1.等比数列的单调性
当 q>1,
>0 或 0<q<1，
<0 时,{
)是递增数列;当 q>1,
<0 或 0<q<1,
>0
时，(
}是递减数列;当q=1 时,{
)是常数列.
2.等比数列的常用结论
（1）
（2）若
（3）
【考点1 由
与
的关系求通项公式】
【典例1】已知数列
的前项和为
.
4
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(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前项和
.
【变式1-1】】已知数列
的前项和为
满足
，则
的通项公式为
．
【变式1-2】已知数列
的前项和为
，且有
，则
.
【变式1-3】已知数列
的前n 项和
，则数列
的通项公式为
【考点2 由数列的递推关系求通项公式】
【典例2】已知数列
的前n 项和为
．若
，
，则
（ ）
A．48
B．50
C．52
D．54
【变式2-1】已知数列
满足，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】在数列
中，已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】在数列
中，
，则数列
的通项公式
【考点3 数列的函数特征】
【典例3】已知数列
满足：
，且数列
是递增数列，
则实数a 的取值范围是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【变式3-1】设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递增数列，
则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】设数列
的通项公式为
，若数列
是单调递增数列，则实数b
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】多选题已知函数
，若数列
满足
，且
是递增数列，则实数a 的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．2
【考点4 等差数列基本量的运算】
【典例4】记
为等差数列
的前项和，若
，则
（ ）
A．21
B．19
C．12
D．42
【变式4-1】已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
【变式4-2】若数列
为等差数列，且
，则
等于（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
6
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【变式4-3】设
为等差数列
的前项和，已知
，则
的值为（ ）
A．64
B．14
C．12
D．3
【变式4-4】已知等差数列
的前10 项和为100，且
，则
（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【考点5 等差数列的判定与证明】
【典例5】已知数列
满足
，
．
(1)求证：
是等差数列，并求
的通项公式；
(2)记
，求
．
【变式5-1】已知数列
满足
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【变式5-2】已知数列
满足
，
，
.
7
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(1)证明：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式.
【变式5-3】已知数列
的前n 项和
，
.
(1)写出数列
的通项公式.
(2)证明：数列
是等差数列；
37．已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列，并指出其首项及公比；
(2)求数列
的通项公式
．
【考点6 等差数列的性质及应用】
【典例6】已知等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．26
B．32
C．512
D．1024
【变式6-1】已知
为等比数列，
，
，则
（ ）
8
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A．3
B．2
C．
D．
【变式6-2】记等比数列
的前项和为
，则
（ ）
A．121
B．63
C．40
D．31
【变式6-3】记
为等差数列
的前项和，若
，则
【考点7 等比数列基本量的运算】
【典例7】在等比数列
中.
(1)若它的前三项分别为，
，
， 求
；
(2)若
，
，
，求
；
(3)已知
，
，求
；
【变式7-1】记
为等比数列
的前项和，若
，则
.
【变式7-2】记
为等比数列
的前n 项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】记
为等比数列
的前项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9
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【变式7-4】已知等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．7
【考点8 等比数列的判定与证明】
【典例8】已知数列
的首项
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)若
，求
．
【变式8-1】已知数列
满足：
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，求的值.
【变式8-2】已知
为数列
的前项和，若
.
10
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(1)求证：数列
为等比数列；
(2)令
，若
，求满足条件的最大整数.
【考点9 等比数列的性质及应用】
【典例9】正项等比数列
的前项和为
，若
，
，则
（ ）
A．9
B．
C．9 或
D．18
【变式9-1】已知
是等比数列
的前n 项和，
，
，则
（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18
【变式9-2】多选题等比数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式9-3】设
为正项等比数列
的前n 项积，若
的公比
，则
（ ）
A．
B．32
C．
D．512
11
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一、单选题
1．若数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
是等差数列
的前n 项和，且
，则
（ ）
A．17
B．34
C．51
D．68
3．在等差数列
中，若
，则
的值为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
4．已知首项为1 的等比数列
的前 项和为
，若
，则
（ ）
A．24
B．12
C．20
D．15
5．记等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．60
B．80
C．140
D．160
6．设等比数列
的前项和为
，则
（ ）
A．1
B．4
C．8
D．25
7．已知数列
是等差数列，若
，则
（ ）
A．8
B．6
C．5
D．4
8．已知
是等比数列
的前n 项和，
，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．3 或
D．
或
9．已知数列
是等比数列，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
12
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C．
D．
10．已知等差数列
的前项和为
，
，
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．已知定义在实数集R 上的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．f（x）的图像关于点
成中心对称
C．
D．
12．若数列
满足
，
，且
，
，则下列
结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
为等比数列，则
第II 卷（非选择题）
三、填空题
13
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13．已知等比数列
为递增数列，且
，
，则
．
四、解答题
14．数列
满足
．
(1)求数列
通项公式．
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
15．已知数列
，
中，
，
，
是公差为1 的等差数列，数列
是公比为2 的等比数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前项和
.
16．已知各项均为正数的数列
的前项和为
，且
，
（
且
）．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，设数列
的前项和
，求证：
．
14
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17．设数列
的各项均为正整数，且
是递减数列．
(1)若
是等比数列，求公比q；
(2)已知：非空有限集S 中总存在最大的元素．若
是递增数列，证明：
从某一项起
是等差数列．
18．已知数列
，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中
并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列
的前项和为
（
）；②数列
的前项之积为
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前项和
.
19．已知首项为1 的数列
的前项和为
，且
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若
，求数列
的前项和
.
15
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20．设正项等比数列
的前n 项和为
，已知
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设正项数列
满足
，其前n 项和为
，当
取最小值时，求
的值．
21．已知数列
是公差不为0 的等差数列，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前2024 项和．
22．已知等差数列
满足
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和．
16
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17
