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知识点42：
点类
非质
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE 减＝ΔE 增，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
加量。E 初＝E 末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
③有外力做功的表达式：WF＝ΔE，ΔE 为能量的增加量。
点一：流体类模型的力与能量问题
考
【知识思维方法技巧】
在应用能量方法处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程
中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，
但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况
将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。根据初、末状态物体重力势
能的变化列式求解。
注意：非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的
动能才可表示为mv2。
题型一：气体液体类模型的力与能量问题
类型一：气体流模型的力与能量问题
【典例1a 提高题】(多选)泉州小岞风电场利用风能发电，既保护环境，又可创造很高的经
济价值。如图所示，风力发电机的叶片半径为R。某段时间内该区域的风速大小为v，风
恰好与叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为ρ，风力发电机的发电效率为η，下列说法
正确的是( )
A.单位时间内通过叶片转动圆面的空气质量为ρπvR2
B.此风力发电机发电的功率为ρπv2R2η
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C.若仅风速减小为原来的，发电的功率将减小为原来的
D.若仅风速增大为原来的2 倍，发电的功率将增大为原来的4 倍
【典例1a 提高题】【答案】AC
【解析】由于风速v 可以理解为单位时间内通过叶片转动圆面的空气柱长度，所以单位时
间内通过叶片转动圆面的空气质量为m＝ρV＝ρπvR2，故A 正确；根据能量的转化与守恒
可知，风的一部分动能转化为发电机发出的电能，而发电功率为单位时间内参与能量转化
的那一部分动能，所以发电机发电功率为P＝mv2η＝ρπv3R2η，故B 错误；根据P 的表达式
可知，若仅风速减小为原来的，发电的功率将减小为原来的，若仅风速增大为原来的2 倍，
发电的功率将增大为原来的8 倍，故C 正确，D 错误。
类型二：液体流模型
【典例1b 提高题】某城市广场喷泉的喷嘴横截面为S，喷泉喷出的水柱超过了高度h。已
知水的密度为ρ，重力加速度为g，则用于给喷管喷水的电动机输出功率至少为( )
A.ρghS B.ρghS C.
D.
【典例1b 提高题】【答案】B
【解析】设喷嘴处水最小速度为v，上升的高度刚好为h，则v2＝2gh，解得v＝，设经过
时间Δt，喷嘴处喷出的水为Δm，则Δm＝ρSvΔt，根据动能定理可得PΔt＝Δmv2，解得P＝
ρghS，故A、C、D 错误，B 正确。
【典例1b 提高题对应练习】如图所示，水龙头出水口的横截面积为S，出水口到水平地面
的距离为h，水离开出水口时的速度大小为v0。假设水在下落的过程中不散开，重力加速
度大小为g，不计空气阻力。则( )
A．水下落到地面前瞬间的速度大小为
B．水下落到地面前瞬间的速度大小为
C．水柱在接近地面时的横截面积为
D．水柱在接近地面时的横截面积为
【典例1b 提高题对应练习】【答案】D
【解析】假设水柱落到地面前瞬间的速度为v1，由机械能守恒定律得mv＋mgh＝mv，解得
v1＝，A、B 错误；相同时间，上、下部分水柱体积相同，即h 上S 上＝h 下S 下，则v0tS 上＝
2
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v1tS 下，解得S 下＝，C 错误，D 正确。
类型三：辐射模型
【知识思维方法技巧】
辐射功率计算的模型：球体模型
【典例1c 提高题】大功率微波对人和其他生物有一定的杀伤作用。实验表明，当人体单位
面积接收的微波功率达到250 W/m2时会引起神经混乱，达到1 000 W/m2时会引起心肺功能
衰竭。现有一微波武器，其发射功率P＝3×107 W。若发射的微波可视为球面波，则引起神
经混乱和心肺功能衰竭的有效攻击的最远距离约为( )
A．100 m 25 m
B．100 m 50 m
C．200 m 100 m
D．200 m 50 m
【典例1c 提高题】【答案】B
【解析】设微波有效攻击范围为r 时单位面积接收微波功率为P′＝＝，即r＝，则引起神
经混乱时有r1＝＝ m≈100 m，引起心肺功能衰竭时有r2＝＝ m≈50 m，故B 正确，A、C、D
错误。
点二：
类模型的力与能量问题
考
绳索链条
题型一：
类
绳索
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下常分段考虑绳索各部分的重力势能，并用绳索各部分重力势能之和作为系统总
的重力势能，至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末状态重力势能便于表示为宜．
【典例1 提高题】如图一质量为m、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。用外力将绳的
下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距l。重力加速度大小为g。在
此过程中，外力做的功为( )
A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl
【典例1 提高题】【答案】A
【解析】由题意可知，PM 段细绳的机械能不变，MQ 段细绳的重心升高了，则重力势能
增加ΔEp＝mg·＝mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W＝mgl ，故选项A
正确，B、C、 D 错误。
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【典例1 提高题对应练习】如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、
质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐，重力加
速度为g.用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开
斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A. 物块的机械能逐渐增加
B. 软绳的重力势能共减少了mgl
C. 物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功
D. 软绳减少的重力势能大于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和
【典例1 提高题对应练习】【答案】B
【解析】物块克服细线的拉力做功，其机械能减少，A 错误；软绳重力势能减少量ΔEp 减＝
mg· －mg· sinθ＝mgl，B 正确；因为物块的机械能减小，则物块的重力势能减小量大于
物块的动能增加量，机械能的减小量等于拉力做功的大小，由于拉力做功大于克服摩擦力
做功，所以物块重力势能的减少量大于软绳克服摩擦力所做的功，C 错误；细线的拉力对
软绳做正功，对物块做负功，则物块的机械能减小，软绳的总能量增加，能量中的减少量
一定小于能量中的增加量，故软绳重力势能的减少量小于其动能的增加量与克服摩擦力所
做功的和，D 错误．
题型二：
类
链条
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下常分段考虑链条各部分的重力势能，并用链条各部分重力势能之和作为系统总
的重力势能，至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末状态重力势能便于表示为宜。
【典例2 提高题】有一条长为L＝2 m 的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面
上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条
从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g 取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B． m/s C． m/s
D． m/s
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【典例2 提高题】【答案】B
【解析】设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep
＋Ek＝－×2mg×sin θ－×2mg×＋0＝－mgL(1＋sin θ)，链条全部滑出后，动能为Ek′＝
×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－mgL(1＋sin θ)＝
mv2－mgL，解得v＝＝× m/s＝ m/s，故B 正确，A、C、D 错误．
【典例2 提高题对应练习】一根质量为m、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，
另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为m 的小球分别拴在链条右端
和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条
刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是( )
A．v 甲＝v 乙＝v 丙
B．v 甲<v 乙<v 丙
C．v 丙>v 甲>v 乙
D．v 乙>v 甲>v 丙
【典例2 提高题对应练习】【答案】D
【解析】三种情况下所研究的系统机械能守恒，由－ΔEp＝ΔEk得，对于甲：mg×＋mg×＝
mv，v 甲＝；对于乙：mg×＋mg×＋mg×＝×2mv，v 乙＝ ；对于丙：mg×＋mg×＝×2mv，v 丙
＝ ，故v 乙>v 甲>v 丙，D 对。
题型三：
类
多个小球
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
在解决多个小球类问题时，应抓住小球之间是否始终相互挤压。
【典例3 提高题】如图所示，AB 是半径为R 的四分之一圆弧轨道，轨道底端B 点与水平
轨道BC 相切，水平轨道又在C 点与足够长的斜面轨道CD 平滑连接，轨道B 处有一挡板
(厚度不计)．在圆弧轨道上静止摆放着N 个半径为r(r≪R)的光滑刚性小球，恰好将AB 轨
道铺满，小球从A 到B 依次标记为1、2、3、…、N 号．现将B 处挡板抽走，N 个小球均
开始运动，不计一切摩擦，考虑小球从AB 向CD 的运动过程，下列说法正确的是( )
A．N 个小球在离开圆弧轨道的过程中均做匀速圆周运动
B．1 号小球第一次经过B 点的速度一定小于
C．1 号小球第一次经过B 点的向心加速度一定等于2g
D．1 号小球第一次沿CD 斜面上升的最大高度为R
【典例3 提高题】【答案】B
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【解析】由于后面小球对前面小球的推力作用，N 个小球在离开圆弧轨道的过程中均做加
速圆周运动，选项A 错误；将所有小球看成一个整体，对整体，在AB 段时，经分析可知其
重心低于，则mv2<mg，则第1 个小球到达最低点的速度v<，则在B 点时1 号球的向心加速
度a＝<g,1 号球沿斜面上升时，若仅有1 号球，则上升的最大高度h 满足m1gh＝m1v2，则
h<，上升过程1 号球会对2 号球有力的作用，上升的高度会更小，B 正确，C、D 错误．
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