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秘籍05 圆周运动（水平面内、转盘模型、绳球模型、
杆球模型等）中的临界问题
动力学公式：F＝ma＝m＝mω2R＝mωv＝mR＝m4π2f2R.
一、水平面内圆周运动的临界问题
1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心；
汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力Ffm＝m
2. 水平转盘上运动物体模型
（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到
最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情
况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接
触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
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二、竖直面内圆周运动的临界问题
1. 轻绳模型（轨道模型）：
轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
（注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。（内轨道约束类似））
（1）实例：
球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等。
（2）临界条件：
小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是：小球的重力恰好提供向心力（绳子的拉力
或轨道的弹力都恰好为零），即
，这时的速度是做圆周运动的最小速度
（3）推导过程
N=0 时临界情况水恰好不掉出，
临界速度
（4）弹力随速度大小的变化
不能过最高点的条件：
，
能过最高点的条件：
，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力
2. 轻杆模型（管道模型）：
轻杆（或管道）——小球组成有支撑的物理模型（称为“轻杆模型”）
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（注：“轻杆”既能对小球产生拉力，也能产生支持力。（管道约束类似））
（1）临界条件：
当V=0 时，FN=mg（FN为硬杆或管壁对小球的支持力）
（2）推导过程：
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN 方向向上，由牛顿第二定律得：
（3）弹力随速度大小的变化
当
，弹力FN表现为支持力，方向竖直向上
当
，没有弹力FN=0 作用
当
，弹力FN表现为拉力，方向竖直向下
3．两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的
“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力
示意
图
F 弹向下或等于零
F 弹向下、等于零或向上
力学
方程
mg＋F 弹＝m
mg±F 弹＝m
临界
特征
F 弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F 向＝0
F 弹＝mg
讨论
分析
(1)最高点，若v≥，F 弹＋mg＝m，绳或轨
道对球产生弹力F 弹
(2)若v<，则不能到达最高点，即到达最
(1)当v＝0 时，F 弹＝mg，F 弹背离圆心
(2)当0<v<时，mg－F 弹＝m，F 弹背离圆心
并随v 的增大而减小
3
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高点前小球已经脱离了圆轨道
(3)当v＝时，F 弹＝0
(4)当v>时，mg＋F 弹＝m，F 弹指向圆心并随
v 的增大而增大
三、生活中的圆周运动
1．拱形桥和凹形桥模型特点
概述
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，
向心力F 向＝FN－mg＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
概述
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，
向心力F 向＝mg－FN＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若
v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
2．水平路面车辆转弯模型
模型名称
模型分析
水平路面车辆转弯模型
自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力
平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦
力来提供
,可知最大安全转弯速度
。
3．火车转弯模型
模型名称
模型分析
火车转弯模型
①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力
与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：
,得
。因为h
≪
L,θ 角很
小，所以
,则
;若火车经过弯道
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时的速度
,外轨将受到挤压；若火车经过弯道
时的速度
,内轨将受到挤压。
【题型一】水平面内的圆周运动
【典例1】（2024·吉林·三模）一质量为
且质量均匀分布的细圆环放置在光滑水平面上，其
半径为，过圆心的几何轴与水平面垂直，若圆环能经受的最大张力为，估算此圆环可以绕
几何轴旋转的最大角速度约为（当角很小时，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】如图所示，完全相同的两车在水平面同心圆弧道路上转弯，甲行驶在内侧、乙行
驶在外侧，它们转弯时速度大小相等，则两车在转弯时，下列说法正确的是（ ）
A．角速度
B．向心加速度a 甲>a 乙
C．地面对车的径向摩擦力f 甲＜f 乙
D．若两车转弯速度过大，则乙车更容易发生侧滑
【典例3】（2024·贵州贵阳·一模）如图所示，质量均为m 的甲、乙、丙三个小物块（均可看
作质点）随水平转盘一起以角速度
绕OO'轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，
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所有接触面间的动摩擦因数均为
。已知甲、乙到转轴的距离为r1，丙到转轴的距离为r2，
且r2>r1。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．甲受到的摩擦力一定为
B．乙受到转盘的摩擦力一定为：
C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，小物块A、B、C 与水平转台相对静止，B、C 间通过
原长为1.5r、劲度系数
的轻弹簧连接，已知A、B、C 的质量均为m，A 与B 之间的
动摩擦因数为2μ，B、C 与转台间的动摩擦因数均为μ，A 和B、C 离转台中心的距离分别为
r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（ ）
A．逐渐增大转台角速度，B 先相对于转台滑动
B．当B 与转台间摩擦力为零时，C 受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心
C．当B 与转台间摩擦力为零时，A 受到的摩擦力为
D．当A、B 及C 均相对转台静止时，允许的最大角速度为
2．（2024·河南·模拟预测）下图为游戏中小球转向器的横截面，转向器由两段光滑细圆弧形
轨道Ⅰ、Ⅱ连接而成，半径分别为和
，连接部分平滑，两轨道内径均远小于，且
两轨道所在平面为水平面。质量为
的小球从
点以速率
射入，自
点离开轨道。
已知小球直径略小于轨道内径，重力加速度为。则小球在Ⅰ、Ⅱ轨道中运动时对轨道压力
之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．水平面上放置质量为M 的物块，通过光滑的定滑轮用一根轻绳与质量为m 的小球连接，
滑轮到小球的距离为L，现使小球在水平面内做匀速圆周运动。要使物块保持静止，细绳与
竖直方向的最大夹角为
已知物块与水平面间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，物块和水
平面间的动摩擦因数
。重力加速度为g，不计定滑轮和小球的大小，物块M 始终保持静
止，则（ ）
A．小球运动的最大周期为
B．小球运动的最大线速度大小为
C．组绳的最大拉力为
D．滑块的质量可能小于小球的质量
【题型二】 竖直平面内的圆周运动
【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在转轴O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平
面内做半径为R 的圆周运动，小球在最高点受到杆的弹力大小为F，速度大小为v，其
图象如乙图所示，则（ ）
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A．
时，杆对小球的弹力方向向上
B．当地的重力加速度大小为
C．小球的质量为
D．
时，小球受到的弹力与重力大小不相等
【典例2】（2024·河北沧州·一模）如图所示，竖直平面内半径为R 的光滑半圆轨道和倾角为
的光滑斜面在半圆轨道最低点A 用极小一段光滑圆弧平滑连接，两轨道均被固定，半圆轨
道的最高点为M。一个质量为m 的小球（可视为质点）从A 点以某一水平向左的初速度进入
半圆轨道，然后落在斜面上的N 点（图中未画出），不计空气阻力，重力加速度大小为g，
下列说法正确的是（ ）
A．若小球恰好能通过M 点，则M、N 两点间的高度差为
B．若小球的初速度合适，则小球从M 点离开落到斜面上时速度可以垂直于斜面
C．若小球的初速度合适，则小球从M 点离开落到斜面上时位移可以垂直于斜面
D．若N 点与半圆轨道的圆心等高，则小球通过M 点时，半圆轨道对小球的支持力为
【典例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，长为0.1m 的轻杆一端固定一小球质量为
0.1kg 的小球，小球绕圆心O 在竖直面内做圆周运动。P 是圆周上的最高点，重力加速度
，下面说法正确的时（ ）
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A．当小球运动到与O 相平的水平位置时，杆对小球作用力为零
B．若小球经过P 点时速度为1m/s，杆对小球作用力为零
C．若小球经过P 点时杆对小球作用力等于0.36N，小球的速度一定等于0.8m/s
D．若小球经过Q 点时杆对小球作用力等于5N，小球速度一定等于2m/s
1．滚筒洗衣机静止于水平地面上，已脱净水的衣物随滚筒一起在竖直平面内做匀速圆周运动，
滚筒截面如图所示。若质量为m 的衣物在最高点A 对滚筒恰好无作用力，重力加速度大小为
g，则衣物在最低点B 对滚筒的压力大小为（ ）
A．mg
B．2mg
C．3mg
D．4mg
2．（2024·安徽安庆·一模）如图所示，轻质细杆的一端与小球相连，可绕过O 的水平轴自由
转动，细杆长1m，小球质量为1kg。现使小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过轨道最低
点A 的速度为
，通过轨道最高点B 的速度为
，取
，则小球通过最低
点和最高点时，细杆对小球的作用力小球可视为质点（ ）
A．在A 处为拉力，方向竖直向上，大小为
B．在A 处为推力，方向竖直向下，大小为
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C．在B 处为推力，方向竖直向上，大小为
D．在B 处为拉力，方向竖直向下，大小为
3．（2024·河南·模拟预测）游客在动物园里常看到猴子荡秋千，其运动可以简化为如图所示
的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上。现有一质量
的猴子
在竖直平面内绕圆心O 做圆周运动，当猴子运动到O 点的正下方时松手，做平抛运动，恰好
飞到水平距离。
的对面的滑板上，O 点离平台高度也为H，平台与滑板等高，猴子与
O 点之间的绳长
，重力加速度
，不考虑空气阻力，猴子可视为质点，求：
（1）猴子落到滑板上时的速度大小；
（2）猴子运动到O 点正下方时秋千绳对猴子拉力的大小。
【题型三】 生活中的圆周运动
【典例1】（2024·四川甘孜·一模）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时对桥的压力等于桥对车的支持力
B．如图b 所示是一圆锥摆，增大，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度减小
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B 位置先后做匀速圆周运动，小球在
A 处受到的支持力大于B 处受到的支持力
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
【典例2】（2024·浙江温州·二模）如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运
动轨迹可视作半径为R 的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法
线与竖直方向夹角为，船体后视简图如图乙所示。一质量为m 的小物块放在甲板上，与甲
板始终保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为
。假设航母的运动半径R、夹角
不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）
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A．航母对小物块的支持力
B．小物块可能只受重力、支持力两个力作用
C．航母的航速越大，则小物块受到的摩擦力越大
D．航母的最大航速
【典例3】（2024·福建·一模）市面上有一种自动计数的智能呼拉圈。如图甲，腰带外侧带有
轨道，将带有滑轮的短杆穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其模型简化如
图乙所示。将腰带水平套在腰上，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，
此时绳子与竖直方向夹角为。配重运动过程中认为腰带没有变形，下列说法正确的是（
）
A．若增大转速，绳子的拉力变小
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力变大
C．若减小转速，腰受到腰带的摩擦力不变
D．若只增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ 变小
1．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．
汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
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B．
在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是利用轮缘与
外轨的侧压力助火车转弯
C．
杂技演员在表演“水流星”节目时，盛水的杯子通过最高点而水不流
出，水对杯底压力可以为零
D．
脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切
线方向甩出
2．（2024·黑龙江·二模）如图甲所示，汽车的后备箱里水平放着一个内装圆柱形工件的木箱，
工件截面和车的行驶方向垂直，当汽车以恒定速率通过如图乙所示的三个半径依次变小的水
平圆弧形弯道ABC 时，木箱及箱内工件均保持相对静止。从汽车行驶方向上看，下列说法正
确的是（ ）
A．Q 和M 对P 的支持力大小始终相等
B．汽车过A 点时，汽车重心的角速度最小
C．汽车过A、B、C 三点时工件P 受到的合外力大小相等
D．汽车过A、C 两点时，M 对P 的支持力小于Q 对P 的支持力
3．（2024·浙江·二模）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。光滑细杆的一端固定在竖
直转轴
上的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另
一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动
的角速度。杆与竖直转轴的夹角
始终为60°，则（ ）
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A．角速度越大，圆环受到的杆的支持力越大
B．角速度越大，圆环受到的弹簧弹力越大
C．弹簧处于原长状态时，圆环的向心加速度为
D．突然停止转动后，圆环下滑过程中重力势能和弹簧弹性势能之和一直减小
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