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专题06 圆周运动模型中临界问题和功与能
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1．圆周运动的三种临界情况......................................................................................................................................1
2．常见的圆周运动及临界条件..................................................................................................................................1
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论.................................................................................................................2
1．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。
(2)接触面分离临界：FN＝0。
(3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。
2．常见的圆周运动及临界条件
(1)水平面内的圆周运动
水平面内
动力学方程
临界情况示例
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
恰好发生滑动
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
恰好离开接触面
(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻绳模型
最高点：FT＋mg＝m
恰好通过最高点，绳的拉力
恰好为0
轻杆模型
最高点：mg±F＝m
恰好通过最高点，杆对小球
的力等于小球的重力
带电小球在叠加场中的圆周
运动
关注六个位置的动力学方
程，最高点、最低点、等效
最高点、等效最低点，最左
边和最右边位置
恰好通过等效最高点，恰好
做完整的圆周运动
等效法
倾斜转盘上的物体
最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r
最低点Ff－mgsin θ＝mω2r
恰好通过最低点
3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论
【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点
记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为
要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A 的向心力恰好等于重力时，由
可得
①
对应C 点的速度有机械能守恒
得
②
当小球在C 点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与O 点等高的D 位置则由机械能守恒
得
③
小结：(1).当
时小球能通过最高点A 小球在A 点受轨道向内的支持力
由牛顿第二定律
④
(2).当
时小球恰能通过最高点A 小球在A 点受轨道的支持力为0
由牛顿第二定律
。⑤
(3).当
时小球不能通过最高点A 小球在A 点，上升至DA 圆弧间的某一位向右做斜抛
运动离开圆周，且v 越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0
在DA 段射重力与半径方向的夹角为
则
、
(4).当
时小球不能通过最高点A 上升至CD 圆弧的某一位置速度减为0 之后沿圆弧返回。上
升的最高点为C 永不脱离轨道
【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力
(1)从最高点A 点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑥
(2)从与O 等高的D 点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑦
(3)从A 点以初速度
释放小球到达最低点
由机械能守恒
在C 点由牛顿运动定律：
得
⑧
【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘
的边上，绳子下端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千”简化为如图乙
所示的模型，人和座椅看作质点，总质量约为m=80kg，圆盘的半径为R=2.5m，绳长
，圆盘以恒
定的角速度转动时，绳子与竖直方向的夹角为θ=45°，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为h=22.5m，
重力加速度g 取10m/s2.在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：
（1）手机滑落瞬间的速度大小；
（2）手机落地点距离中心转轴的距离。
【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切，BC 为圆弧
轨道的直径，O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，
，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，
经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受
到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重
力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力）求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；
（2）小球到达A 点时动量的大小；
【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路
→
→
【典例3】如图所示，轻杆的一端固定在通过O 点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O 点在竖直
平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A 点为最高点，C 点为最低点，B 点与O 点等高，下列说法正
确的是( )
A．小球经过A 点时，所受杆的作用力一定竖直向下
B．小球经过B 点时，所受杆的作用力沿着BO 方向
C．从A 点到C 点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从A 点到C 点的过程，杆对小球的作用力做负功
【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物
体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0 或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
【典例4】如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A 点的滑块P 接触但不粘连，
滑块P 所在光滑水平轨道与半径为0.8m 的光滑半圆轨道平滑连接于B 点，压缩的弹簧储存的弹性势能为
2.8J，重力加速度取10m/s2，现将弹簧解除锁定，滑块P 被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中
（ ）
A．可以到达半圆轨道最高点D
B．经过B 点时对半圆轨道的压力大小为9N
C．不能到达最高点D，滑块P 能到达的最大高度为1.35m
D．可以通过C 点且在CD 之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s
1．如图所示，质量为 m 的小物块开始静止在一半径为 R 的球壳内，它和球心O 的连线与竖直方向的夹
角为30°。现让球壳随转台绕转轴
一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g，则（
）
A．静止时物块受到的摩擦力大小为
B．若转台的角速度为
，小物块不受摩擦力作用
C．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
D．若转台的角速度为
，小物块受到的摩擦力沿球面向下
2．如图所示，长度为l 的轻绳一端固定在O 点，另一端系着一个质量为m 的小球，当小球在最低点时，
获得一个水平向右的初速度
，重力加速度为g，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法
正确的是（ ）
A．小球恰好能到达竖直面内的最高点
B．当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2mg
C．轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为
D．初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4mg
3．如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（ ）
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力
4．如图所示，一半径为R 的圆环处于竖直平面内，A 是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质
量为m 的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O 的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不
同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω 匀速转动且小球与圆环相对静止时（ ）
A．若圆环光滑，则角速度
B．若圆环光滑，则角速度
C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω 可能等
D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A 点，则角速度ω 可能等于
5．如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀
螺”。其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R 的磁性圆轨道竖直固定，质量为m 的小铁球视为
质点在轨道外侧转动，A、B 两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且
大小不变，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．铁球可能做匀速圆周运动
B．铁球绕轨道转动时机械能不守恒
C．铁球在A 点的速度一定大于或等于
D．要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5mg
6.（多选）如图所示，倾角为
的斜面体置于粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为
的滑块，通过轻
绳绕过光滑的滑轮与质量为
的带正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与
斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为
。斜面体和滑块始终静止，滑块
与斜面的动摩擦因数为
，小球与小孔之间的绳长为
，重力加速度为
，下列说法正确的是
（ ）
A．斜面体所受到地面的摩擦力大小为mg
B．若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小
C．若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为
D．若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大
7.（多选）．如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A 和B，
，
，它们分居在
圆心两侧，与圆心距离为
，
，中间用细线相连，A、B 与盘间的动摩擦因数均为
＝
0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，
，
以下说法正确的是（ ）
A．B 的摩擦力先达到最大
B．当
时，绳子出现张力
C．当
时，A、B 两物体出现相对滑动
D．当
时，A、B 两物体出现相对滑动
8.（多选）如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动，已知圆轨道
的半径为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加速度为g， P、Q 为圆轨道上同一
竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
9．（多选）在X 星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，
现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，
其
图像如图乙所示。已知X 星球的半径为
，引力常量为G，不考虑星球自转，则下列说法正确的
是（ ）
A．X 星球的第一宇宙速度
B．X 星球的密度
C．X 星球的质量
D．环绕X 星球的轨道离星球表面高度为
的卫星周期
10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R 的光滑圆弧轨道ABC，其圆心为O，B 点在O 的正上
方，A、C 点关于OB 对称，
。可看成质点的物块自A 点以初速度
沿着轨道切线方向向上运动，
并且能沿轨道运动到B 点。已知重力加速度为g，
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则物块在A 点初速度可能为
B．若
，则物块在A 点初速度可能为
C．若
，则物块在A 点初速度可能为
D．若
，则物块在A 点初速度可能为
11．（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于B 点，半圆轨道的圆心为O，半径为R，C 为
其最高点。BD 段为双轨道，D 点以上只有内轨道，D 点与圆心的连线与水平方向夹角为θ，一小球从水平
面上的A 点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C 点。不计一切摩擦。则（ ）
A．小球到达C 点时速度为0
B．小球到达C 点后做平抛运动落在地面上
C．小球在A 点的初速度为
D．若小球到达D 点时对内外轨道均无弹力，则
12．（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC 由直线段AB 和圆弧段 BC 组成，两段相切于B 点，
AB 段与水平面夹角为
，BC 段圆心为O，最高点为C、A 与C 的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从
A 点以初速度
上轨道，能沿轨道运动恰好到达C 点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B 到C 的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球A 从到C 的过程中，重力的功率先增大后减小
C．小球的初速度
D．若小球初速度
增大，小球有可能从B 点脱离轨道
13．空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，
上端是半径
的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴
转动。在转台的边缘固定有一长
的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最
低点，然后转台在电机带动下绕竖直转轴
缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为
时开始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg，取重力加速度大小
g=10m/s2，
，
。求：
(1)该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小
；
(2)座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量
。
14．“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为
、
的水平转盘A 与水平转盘B 通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B 上，
半径为
的转盘C 固定在竖直中心轴的顶端，长度为
的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转
盘C 的边缘。转盘静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系上人；装置启动后，转盘C 先向上抬升
，
然后绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为
。游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为
，不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速
度
取
，
，
。求：
(1)稳定后缆绳拉力的大小；
(2)转盘A 转动的角速度大小；
(3)从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。
15．如图所示，光滑水平轨道与半径为R 的光滑竖直半圆轨道在B 点平滑连接，整个空间分布有大小为
、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为m、电荷量为+q 的小球（可视为质点）从水平
轨道上A 点由静止释放，小球运动到C 点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷
量保持不变，A、B 间的距离为3R，重力加速度为g。求
(1)小球运动到B 点时受到的支持力大小；
(2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值vm；
(3)小球落入水平轨道瞬间的速度大小。
16．如图所示，质量为
的小物块从平台的右端A 点以速度
水平飞出后，恰由P 点沿切
线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M 飞出。已知圆轨道半径
，圆心为O，N 点为轨
道最低点，∠PON=53°，重力加速度
，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
(1)小物块在P 点的瞬时速度大小
；
(2)小物块通过M 点的瞬时速度大小
；
(3)小物块在圆轨道上运动的过程中摩擦力对它做的功W。
17．如图所示，在倾角为
的固定光滑斜面体ABCD 上（CD 为斜面体与地面的交线），有一根长R=0.2m
的细线，细线的一端固定在斜面上的O 点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O 点平行于AD 的直
线交CD 于E 点，DE 的长度
。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、Q 为
轨迹圆的最高点和最低点，从某次过Q 点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），小球沿斜面运动，
后经斜面边缘上的M 点飞出，落到地面上的N 点，总共用时t=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，
，重力加速度
。求：
(1)小球经过Q 点时的速度大小
(2)小球经过M 点时的速度大小
；
(3)M、N 两点间的距离L。（结果均可保留根号）
18．如图所示，M、N 为固定在同一竖直方向上相距L 的两个钉子，一根长为10L 的轻绳一端系在M 点，
另一端竖直悬挂质量为m 的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径，
不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。
(1)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M 点正上方，求初速度的最小值；
(2)若给小球大小为
的初速度，使其在竖直面内运动旋转两周时经过M 点正下方时绳子断开，求绳子
断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。
19．如图所示，半径为
的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心
的对称轴
重合。转台以一定角速度
匀速旋转，一质量为
的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，
小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和
点的连线与
之间的夹角
为
。重力加速度大小为
。
(1)若
，小物块受到的摩擦力恰好为零，求
；
(2)若
，求小物块受到的摩擦力大小和方向。
20．如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从
位
置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至
点后水平飞出，赛车能从
点无碰撞
地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，
点和
点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道
段运动时受到的恒定阻力为
，赛车质量为
，通电时赛车电动机的输出功率恒为
，
、
两点间高度差为
，赛道
的长度为
，
与圆心
的连线与竖直方向的夹角
，空气阻力忽略不计，
，
，取
，求：
(1)赛车经过
点时的速度大小
；
(2)电动机工作的时间；
(3)要使赛车能通过圆轨道最高点
后沿轨道回到水平赛道
，则轨道半径的最大值
为多少？
21．如图所示，半径为
（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，
、
分别为轨道的最高点和最
低点（
和
垂直），
为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为
。质量为
的磁性小球通过
磁力吸附在轨道上，磁力大小恒为
、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为
的恒力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为
。
(1)若让小球从轨道外侧
点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道；
(2)若让小球从轨道内侧
点以初速度大小
水平向左射入轨道，求：
①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小；
②小球运动到
点时对轨道压力的大小。
22．如图所示，光滑半球半径为
，球心为
，固定在水平地面上，其上方有一个光滑的四分之一圆弧轨
道
，高度为
，轨道底端水平并与半球顶端相切。半径可不计、质量为
的小球由
点静止滑下，经
过圆弧轨道最低点
，从半球上
点（图中未标出）离开，落在水平地面上。重力加速度为
。求：
(1)小球在
点对轨道的压力；
(2)C 点距离水平地面的高度。
