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方法必备 02 由“两点”引发的联想
题型一：求点的坐标
题型二：求面积
题型三：求距离
题型四：旋转问题
题型五：最值问题
题型六：有关存在性问题
题型一：求点的坐标
1．（2023秋•项城市期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）点 为 轴上一点，若 的面积为10，求点 的坐标；
（3）点 是 上的一点，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，求点 的坐标．
题型二：求面积
2．（2023秋•普陀区校级期末）已知，如图，正方形 ，点 、 分别是边 、 上的两个动点，如果的大小始终保持 不变．将 绕着点 顺时针方向旋转 ，点 、 的对应点分别为点 、 ．
如果 ，那么 的面积为 ．
题型三：求距离
3．（2023秋•埇桥区期末）问题原型：（1）如图①，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD，在AD上取点
E，使DE＝CD，连接BE．求证：BE＝AC；
问题拓展：（2）如图②，在（1）的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使AC⊥MC．
①求证：∠BEM＝∠M；
②若 ，求A、M两点之间的距离．
题型四：旋转问题
4．（2023•西陵区模拟）如图，点 的坐标为 ，点 是 轴正半轴上的一点，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到线段 ．若点 的坐标为 ，则 点的坐标为 ．
5．（2023•蚌山区模拟）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片 沿着虚线 剪开，如图①所示，把得到的
两张纸片如图②摆放，纸片 △ 较小锐角的顶点 在 上，较长直角边与斜边分别交边 于点 ， ．
以点 与 重合，且 为初始位置，把 △ 沿着 方向平移，当点 到达点 后立刻绕点 逆
时针旋转，如图③，直到点 与点 重合停止．为了探求 与 之间的变化关系，设 ，请用含 的代
数式表示 ．
（1）在平移过程中， ，
（2）在旋转过程中， ．
题型五：最值问题
6．（2023•陆丰市二模）如图，在 中， ， ， 是 的高 上一个动点，以
点为旋转中心把线段 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值是 ．7．（2023秋•溧阳市期末）如图所示，平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，点 、
点 是 轴正半轴、 轴正半轴上的两个动点， ，以 为直径在第一象限内作半圆，与线段 交于点 、
两点，则 的最大值为 ．
8．（2023秋•宿豫区期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
的半径是 1，点 是直线 上的动点，过点 作 的切线，切点是 ，则切线长 的最小值是．
9．（2023秋•黔南州期末）如图，平面直角坐标系内有一个 ，点 、 、 的坐标分别是 、 、
．
（1）请作出 关于 轴的对称图形△ ；
（2） 轴上有一点 ，且 ，请你用尺规作图的方法找出点 （保留作图痕迹不写作法）；
（3）在 轴上求作一点 ，使点 到 ， 两点的距离之和最小，请作出点 （保留作图痕迹不写作法）．
10．（2023秋•夏邑县期末）如图，已知抛物线 y＝ax2+2ax+3与x轴交于A、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式；（2）当﹣3≤x≤k时，要使函数的最大值与最小值的差是一个不随k的变化而变化的定值，求k的取值范围．
11．（2023秋•双台子区校级期末）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于
点 ， 从点 开始沿射线 方商以每秒1个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 ，平移
时间为 秒，射线 交抛物线于点 、连接 ， ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 的横坐标是 ， 的面积是 ，求 关于 的函数关系式；
（3）如图1，当 面积最大时，求 的值．
题型六：有关存在性问题12．（2023秋•田阳区期末）如图， 是边长为 的等边三角形，动点 、 同时从 、 两点出发，分
别沿 、 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， 、 两点停止运动，设点 的运动
时间为 ，则当 是直角三角形时， 等于 ．
13．（2023秋•锦江区校级期末）直线AB：y＝x+3分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x轴正半轴于
点C，且OB：OC＝3：1．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在线段OB上存在点P，使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标：
（3）在第一象限内是否存在一点E，使得△BCE为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，
说明理由．
14．（2023秋•蒙城县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 与坐标轴交于A、B两点，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标．
15．（2023秋•玉山县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是直线 ，与
轴相交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式以及直线 的解析式；
（2）在抛物线上找一点 ，使得 轴平分 ，求点 的坐标；
（3） ， 分别是直线 和抛物线上的动点，当以 ， ， ， 为顶点， 为边的四边形是平行四边形时，
请求出点 的坐标．
16．（2023秋•上期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于 为坐标原点）， 两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点， 轴上一点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 是抛物线上的一点且横坐标为3，当 的值最小时，求点 的坐标；
（3）二次函数在第四象限的图象上有一点 ，连结 ， ，求 的最大面积；
（4）在二次函数图象上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
