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方法必备 02 由“两点”引发的联想
题型一：求点的坐标
题型二：求面积
题型三：求距离
题型四：旋转问题
题型五：最值问题
题型六：有关存在性问题
题型一：求点的坐标
1．（2023秋•项城市期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）点 为 轴上一点，若 的面积为10，求点 的坐标；
（3）点 是 上的一点，若将 沿直线 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，求点 的坐标．
【分析】（1）根据一次函数的图象的特点，求点 、 坐标即可；
（2）设 ，则 ，求出 的值即可求 点坐标；
（3）由折叠可知 ，则 ，在 △ 中， ，解得 ，即可求
点坐标．
【解答】解：（1）当 时， ，
，当 时， ，
；
（2）设 ，
，
的面积为10，
，
解得 或 ，
或 ；
（3）由折叠可知， ，
， ，
，
，
，
，
在 △ 中， ，
，
解得 ，
．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握次一函数的图象及性质，轴对称的性质，勾股定理是解题的
关键．
题型二：求面积
2．（2023秋•普陀区校级期末）已知，如图，正方形 ，点 、 分别是边 、 上的两个动点，如果
的大小始终保持 不变．将 绕着点 顺时针方向旋转 ，点 、 的对应点分别为点 、 ．
如果 ，那么 的面积为 ．【 分 析 】 根 据 旋 转 得 出 ， ， 则 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则
．
【解答】解： 将 绕着点 顺时针方向旋转 ，点 、 的对应点分别为点 、 ，
，
， ， 三点共线，
， ，
为等腰直角三角形，
．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据旋转得出 ，
．
题型三：求距离
3．（2023秋•埇桥区期末）问题原型：（1）如图①，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD，在AD上取点
E，使DE＝CD，连接BE．求证：BE＝AC；
问题拓展：（2）如图②，在（1）的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使AC⊥MC．
①求证：∠BEM＝∠M；②若 ，求A、M两点之间的距离．
【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△ADC，可得BE＝AC；
（2）①由“ASA”可证△BEF≌△CMF，可得∠BEM＝∠M；
②由全等三角形的性质可得AC＝BE＝MC，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）①证明：∵点F是BC中点，
∴BF＝CF，
∵AC⊥MC，
∴∠ACD+∠MCB＝90°，
∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠MCB，
∵△BDE≌△ADC，
∴∠DAC＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠MCB，
又∵∠EFB＝∠MFC，
∴△BEF≌△CMF（ASA），
∴∠BEM＝∠M；
②如图②，连接AM，由（1）可知，△BDE≌△ADC，
∴BE＝AC，
由（2）①可知：△BEF≌△CMF，
∴CM＝BE＝AC，
∵AC⊥CM，
∴AM＝ AC＝ ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的
关键．
题型四：旋转问题
4．（2023•西陵区模拟）如图，点 的坐标为 ，点 是 轴正半轴上的一点，将线段 绕点 按逆时针方
向旋转 得到线段 ．若点 的坐标为 ，则 点的坐标为 ．
【分析】过 作 轴于点 ，通过证得 ，得出 ， ，可得点
的坐标，
【解答】解：过 作 轴于点 ，如图：，
，
，
，
， ，
，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题．
5．（2023•蚌山区模拟）综合实践课上，小聪把一张长方形纸片 沿着虚线 剪开，如图①所示，把得到的
两张纸片如图②摆放，纸片 △ 较小锐角的顶点 在 上，较长直角边与斜边分别交边 于点 ， ．
以点 与 重合，且 为初始位置，把 △ 沿着 方向平移，当点 到达点 后立刻绕点 逆
时针旋转，如图③，直到点 与点 重合停止．为了探求 与 之间的变化关系，设 ，请用含 的代
数式表示 ．
（1）在平移过程中， ，
（2）在旋转过程中， ．
【分析】（1）解 △ ，求得 ，进而得出结果；
（2）先拜表示出 的长，进而根据 得出 的长，进一步得出结果．
【解答】解：（1）在 △ 中， ， ，，
，
故答案为： ；
（2）如图1，
当 时，
作 于 ，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
如图2，
当 时，
方法同上得出，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是
熟练掌握有关基础知识．题型五：最值问题
6．（2023•陆丰市二模）如图，在 中， ， ， 是 的高 上一个动点，以
点为旋转中心把线段 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值是 ．
【分析】在 上截取 ，由等腰直角三角形的性质可得 ， ，
，由旋转的性质可得 ， ，可证 ，可得 ，
当 时， 有最小值，即 有最小值，由直角三角形的性质可求 的最小值．
【解答】解：如图，在 上截取 ，连接 ，
， ， ，
， ， ，
以 点为旋转中心把线段 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
当 时， 有最小值，即 有最小值，
， ，，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三
角形是本题的关键．
7．（2023秋•溧阳市期末）如图所示，平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，点 、
点 是 轴正半轴、 轴正半轴上的两个动点， ，以 为直径在第一象限内作半圆，与线段 交于点 、
两点，则 的最大值为 ．
【分析】过 的中点作 的垂线与 交于点 ， 交于点 ，连接 ，当直线过 点时， 的值最大；
利用 ，求出 ， ，在利用勾股定理求出 即可．
【解答】解：过 的中点作 的垂线与 交于点 ， 交于点 ，连接 ，
当直线过 点时， 的值最大；
当 时， ，当 时， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，能够确定 最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键．
8．（2023秋•宿豫区期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
的半径是1，点 是直线 上的动点，过点 作 的切线，切点是 ，则切线长 的最小值是
．
【分析】先解方程 得 ， ，再确定 ，则利用正切的定义可求出
，连接 、 ，如图，根据切线的性质得到 ，则利用勾股定理得到 ，
所以当 的长度最小时， 的长度最小，根据垂线段最短得到当 时， 的长度最小， 的最小值
为4，从而得到 的最小值．
【解答】解：当 时， ，
解得 ， ，
， ，
当 时， ，，
， ， ，
在 中， ，
，
连接 、 ，如图，
为 的切线，
，
，
，
当 的长度最小时， 的长度最小，
而当 时， 的长度最小，
，
此时 ，
的最小值为 ，
即切线长 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的性质、抛物线与 轴的
交点、解直角三角形．
9．（2023秋•黔南州期末）如图，平面直角坐标系内有一个 ，点 、 、 的坐标分别是 、 、
．
（1）请作出 关于 轴的对称图形△ ；
（2） 轴上有一点 ，且 ，请你用尺规作图的方法找出点 （保留作图痕迹不写作法）；
（3）在 轴上求作一点 ，使点 到 ， 两点的距离之和最小，请作出点 （保留作图痕迹不写作法）．【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；
（3）取点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，则点 即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求．
（2）如图所示；
（3）如图，点 即为所求．
【点评】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
10．（2023秋•夏邑县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+2ax+3与x轴交于A、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当﹣3≤x≤k时，要使函数的最大值与最小值的差是一个不随k的变化而变化的定值，求k的取值范围．【分析】（1）将（﹣3，0）代入抛物线解析式求出a的值即可；
（2）根据抛物线求出对称轴，结合点B的坐标，根据使函数的最大值与最小值的差是一个不随 k的变化而变化
的定值求出k的取值范围即可．
【解答】解：（1）将（﹣3，0）代入抛物线解析式y＝ax2+2ax+3可知：
a×（﹣3）2+2a×（﹣3）+3＝0，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意得，该抛物线的对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
∴A（1，0），
当k取值逐渐增大时，根据数形结合可知：当k≥﹣1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，继续增大，
当k＝1时，仍满足题意，但当k＞1时，不符合题意，
综上分析，当﹣1≤k≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个不随k的变化而变化的定值．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
11．（2023秋•双台子区校级期末）如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于
点 ， 从点 开始沿射线 方商以每秒1个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为 ，平移
时间为 秒，射线 交抛物线于点 、连接 ， ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 的横坐标是 ， 的面积是 ，求 关于 的函数关系式；
（3）如图1，当 面积最大时，求 的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意，点 在第一象限抛物线上移动，过点 作 轴交 于 ，设点 的横坐标是 ，表示出
的长，然后依据 列出 与 的函数关系式即可；
（3）根据（2）求得的函数关系式以及二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）由题意，点 在第一象限抛物线上移动，过点 作 轴交 于 ，
与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，
令 ，则 ，
解得 或8，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
设点 的横坐标是 ，则 ， ，
，
；
；
（3）由（2）知， 的面积是 关于 的函数关系式为 ，
，
当 时， 的面积 最大为 ，从点 开始沿射线 方商以每秒1个单位长度的速度平移，平移时间为 ， ，
，
的值为7．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、图形的平移、面积的计算、最值问题等知识，
解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
题型六：有关存在性问题
12．（2023秋•田阳区期末）如图， 是边长为 的等边三角形，动点 、 同时从 、 两点出发，分
别沿 、 方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时， 、 两点停止运动，设点 的运动
时间为 ，则当 是直角三角形时， 等于 ．
【分析】分两种情况：① ；② ．然后在直角三角形 中根据 ， 的表达式和
的度数进行求解即可．
【解答】解：设经过 秒 是直角三角形，
则 ， ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
若 是直角三角形，则 或 ，
当 时， ，
即 ，，
当 时， ，
，
，
即当 或 时， 是直角三角形．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、解一元一次方程，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是
解答此题的关键．
13．（2023秋•锦江区校级期末）直线AB：y＝x+3分别与x，y轴交于A，B两点、过点B的直线交x轴正半轴于
点C，且OB：OC＝3：1．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在线段OB上存在点P，使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标：
（3）在第一象限内是否存在一点E，使得△BCE为等腰直角三角形，若存在，直接写出E点坐标；若不存在，
说明理由．
【分析】（1）把y＝0代入y＝x+3求出x的值，即可得出点A的坐标；把x＝0代入y＝x+3求出y的值，即可
求出B的坐标；根据OB：OC＝3：1，求出OC＝1，即可求出点C的坐标；
（2）连接PC，设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，在Rt△OPC中，根据勾股定理可得：OC2+OP2＝PC2，据此列出
方程求出x的值，进而得出OP，即可求出点P的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：①当BC＝CE时，过点E作EF⊥x轴于点F，通过证明△OBC≌△FCE，得出
CF＝OB＝3，OC＝EF＝1，即可得出点E的坐标；②当BC＝BE时，过点E作EG⊥y轴于点G，和①同理可
证：△OBC≌△GEB，BG＝OC＝1，OB＝GE＝3，即可求出点E坐标；③当BE＝CE时，过点E作EN⊥y轴
于点N，过点E作EM⊥x轴于点M，通过证明△BNE≌△CME，设ON＝ME＝NE＝x，则BN＝3﹣x，根据勾股
定理列出方程求解即可．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x+3得：0＝x+3，
解得：x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），把x＝0代入y＝x+3得：y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝1，
∴C（1，0）；
（2）连接PC，
∵点P到B，C的距离相等，
∴PB＝PC，
设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，
在Rt△OPC中，根据勾股定理可得：OC2+OP2＝PC2，
∴12+（3﹣x）2＝x2，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①当BC＝CE时，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵△BCE为等腰直角三角形，
∴∠BCE＝90°，
∴∠BCO+∠FCE＝90°，
∵∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠FCE＝∠OBC，
∵∠FCE＝∠OBC，∠BOC＝∠CFE＝90°，BC＝CE，
∴△OBC≌△FCE，
∴CF＝OB＝3，OC＝EF＝1，∴E（4，1）；
②当BC＝BE时，过点E作EG⊥y轴于点G，
和①同理可证：△OBC≌△GEB，
∴BG＝OC＝1，OB＝GE＝3，
∴E（3，4）
③当BE＝CE时，过点E作EN⊥y轴于点N，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵OB＝3，OC＝1，
∴ ，
根据勾股定理可得：BE2+CE2＝2BE2＝BC2＝10，
解得： ，
∵EN⊥y轴，EM⊥x轴，∠MON＝90°，
∴四边形OMEN为矩形，
∴ON＝EM，∠MEN＝90°，
则∠CEM+∠CEN＝90°，
∵∠BEC＝∠BEN+∠CEN＝90°，
∴∠BEN＝∠CEM，
∵∠BEN＝∠CEM，∠BNE＝∠CME＝90°，BE＝CE，
∴△BNE≌△CME，
∴BN＝CM，NE＝ME，
设ON＝ME＝NE＝x，则BN＝3﹣x，
∵BN2+NE2＝BE2，∴（3﹣x）2+x2＝5，
解得：x ＝1，x ＝2，
1 2
∴ON＝2或ON＝1（舍），
∴E（2，2）；
综上：E（4，1）或E（3，4）或E（2，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，
构造全等三角形和直角三角形求解是解题的关键．
14．（2023秋•蒙城县期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 与坐标轴交于A、B两点，若
△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标．
【分析】作CD⊥x轴，证明△AOB≌△CDA（AAS），可得OA＝CD，OB＝AD，继而OD＝OA+AD＝7，CD＝
OA＝3，可得C（7，3）．
【解答】解：∵一次函数 与坐标轴交于A、B两点，
∴A（3，0）B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
如图，作CD⊥x轴，垂足为点D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
在△AOB和△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴OA＝CD，OB＝AD，∴OD＝OA+AD＝7，CD＝OA＝3，
∴C（7，3）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
15．（2023秋•玉山县期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是直线 ，与
轴相交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式以及直线 的解析式；
（2）在抛物线上找一点 ，使得 轴平分 ，求点 的坐标；
（3） ， 分别是直线 和抛物线上的动点，当以 ， ， ， 为顶点， 为边的四边形是平行四边形时，
请求出点 的坐标．
【分析】（1）首先根据抛物线对称轴求出 ，得到 ，然后利用待定系数法求解一次函数解
析式即可；
（2）设 交 轴于点 ，首先证明出 ，得到 ，然后求出直线 表达式为
，然后根据抛物线联立求解即可；
（ 3 ） 根 据 题 意 得 到 ， ， 设 ， 则 ， 表 示 出
，然后解方程求解即可．
【解答】解：（1） 抛物线 的对称轴是直线 ，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ，令 ，即 ，
解得 ， ，
， ，
令 ，则 ，
，设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）设 交 轴于点 ，
轴平分 ，
，
，
又 ，
，
，
，设直线 表达式为 ，
将 ， 代入得，
解得
直线 表达式为 ，
联立抛物线与直线 ，得 ，
解得 ，
；
（3）以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，且 为边，
，
， 分别是直线 和抛物线上的动点，
设 ，则
解得 ， ， ，
将 ， ， 代入
得 ， ， ，
点的坐标为 或 或 ．
【点评】本题考查了待定系数求二次函数和一次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的性质，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行四边形的性质解决问题．
16．（2023秋•上期末）如图，二次函数 的图象与 轴交于 为坐标原点）， 两点，且二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点， 轴上一点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点 是抛物线上的一点且横坐标为3，当 的值最小时，求点 的坐标；
（3）二次函数在第四象限的图象上有一点 ，连结 ， ，求 的最大面积；
（4）在二次函数图象上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出
所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意设二次函数解析式为 ，将点 代入即可求函数的解析式；
（2）点 关于对称轴的对称点为点 ，连接 ，与对称轴的交点即为所求的点 ，使得 的值最小，
求出直线 与对称轴的交点即为 点；
（ 3 ） 设 ， 过 点 作 轴 的 垂 线 交 于 点 ， 则 点 的 坐 标 为 ， 可 得
，当 时， 有最大值 ，此时 的最大值为 ；
（4）设 点坐标为 ，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程
求 的值即可求 点坐标．
【解答】解：（1） 二次函数的最小值为 ，点 是其对称轴上一点，
二次函数顶点为 ，
设二次函数解析式为 ，
将点 代入得， ，
，
；（2）由题意知点 坐标为 ，
点 关于对称轴的对称点为点 ，连接 ，与对称轴的交点即为所求的点 ，使得 的值最小，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ；
（3）设 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，则点 的横坐标为 ，
令抛物线解析式的 ，得到 ，解得 ， ，
的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
点 的坐标为 ，
，
当 时， 有最大值 ，
面积的最大值为 ；
（4）存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设 点坐标为 ，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ，
，
，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ，
，
，
当 为对角线时，由中点坐标公式得， ，
，
，
综上所述： 或 或 ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称求最短
距离是解题的关键．
