专题02函数选择题（理科）（教师版）_数学_专项复习_2024年_十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）_理科

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数（选择题）
目录
题型一：函数及其表示.................................................................................................1
题型二：函数的基本性质.............................................................................................2
题型三：基本初等函数...............................................................................................21
题型四：函数的图像...................................................................................................32
题型五：函数与方程...................................................................................................43
题型六：函数模型及其应用.......................................................................................50
题型七：函数的综合问题...........................................................................................52
题型一：函数及其表示
1．(2023年天津卷·第5题)已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可
能为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
解析：由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，故选：B．
2．(2014高考数学陕西理科·第10题)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点 的水平距离10
千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为 (
)
A． B．
C． D．
y
2
5 x
-5 O
A
-2
地面跑道
【答案】A
解析:由函数图象可知,该三次函数过原点,故可设 ,由
解得 ,故选A．
3．(2014高考数学陕西理科·第7题)下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是 (
)
A． B． C． D．
【答案】D
解析:从选项中检验满足 ,只有C,D．其中为增函数的为D．故选D．
f(x)5|x| g(x)ax2 x(aR) f[g(1)]1 a
4．(2014高考数学江西理科·第3题)已知函数 , ,若 ,则 (
)
A．1 B．2 C．3 D．-1
【答案】 A
f(g(1))15 g(1)0, a10,a 1.
解析:因为 ,所以 即 选A．
题型二：函数的基本性质
1．(2023年北京卷·第4题)下列函数中，在区间 上单调递增的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C解析：对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误．
故选：C．
2．(2023年天津卷·第3题)若 ，则 的大小关系为 (
)
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 ．
所以 ．
故选：D
3．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第4题)设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 (
)
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，所以 的取值范围是 ．
故选：D
4．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第4题)若 为偶函数，则 (
)．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
解析：因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称．
，
故此时 为偶函数．
故选：B．
5．(2023年全国乙卷理科·第4题)已知 是偶函数，则 ( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
解析：因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 ．
故选：D．
6．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析:因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知,故选B．
7．(2021年高考全国乙卷理科·第0题)设函数 ，则下列函数中为奇函数的是 (
)
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选：B
8．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)设函数 ，则f(x) (
)
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
解析：由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确．
故选：D．
9．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第8题)若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，故选：D．
10．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第8题)若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，
则满足 的x的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D解析：因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，故选：D．
11．(2022高考北京卷·第7题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保 二的氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是 (
)
( )
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
解析:当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误．
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误．
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面， 时对应的是非超临界状态，故C错误．
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确．
故选,D12．(2022高考北京卷·第4题)己知函数 ，则对任意实数x，有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
解析: ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选,C．
13．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R，且
，则 ( )
A． B． C．0 D．1
【答案】A
解析：因为 ，令 可得， ，所以
，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，
令 得， ，即有 ，从而可
知 ， ，故 ，即
所以函数 的一个周期为 ．
因为 ， ，
， ， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ． 故选：A．
14．(2022新高考全国I卷·第7题)设 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C解析: 设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ， 所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C．
15．(2019·上海·第15题)已知 ，函数 ，存在常数 ，使得 为
偶函数，则 可能的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一(推荐)：依次代入选项的值，检验 的奇偶性，选C；
法二： ，若 为偶函数，则 ，且 也为偶
函数(偶函数×偶函数=偶函数)，∴ ，当 时， ，选C.
16．(2019·全国Ⅲ·理·第11题)设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则 (
)A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 是 上的偶函数， ．
，又 在(0，+∞)单调递减， ，
，故选C．
17．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第 11 题)已知 是定义域为 的奇函数，满足
．若 ，则
( )
A． B．0 C．2 D．50
【答案】C
解析：因为 是定义域为 的奇函数，且满足 ，
所 以 ， 即 ， 所 以 ，
，因此 是周期函数且 ．
又 ，
且 ，所以 ，
所以 ，故选C．
18．(2014高考数学上海理科·第18题)设 若 是 的最小值，则 的取值范
围为 ( )．
A． B． C． D．
【答案】D
解析:当 时， ， ，所以 ，
当 时， ，二次函数对称轴为 ，要使得 时有最小值，则 ，
综上 ．
19．(2014高考数学山东理科·第5题)已知实数 满足 ( )，则下列关系式恒成立的是 ()
A． B． C． D．
【答案】
解析：由 知， ，所以 ．
20．(2014高考数学山东理科·第3题)函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
【答案】
解析：因为 ，所以 或 ，解得 或 ．
21．(2014高考数学辽宁理科·第12题)已知定义在 上的函数 满足：
① ；②对所有 ，且 ，有 ．
若对所有 ， ，则k的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析:依题意，由 ，得 ，
所以定义在[0，1]上的函数y=f(x)上任意两点直线的斜率|k|＜ ，
不妨令k＞0，构造函数f(x)= ( )，满足f(0)=f(1)=0，|f(x)-f(y)|＜ |x-
y|．
当x∈[0， ]，且y∈[0， ]时，所以 ，即 ，
所以|f(x)-f(y)|=|kx-ky|=k|x-y|≤ k＜ ；
当x∈[0， ]，且y∈[ ，1]时，有 ，所以|f(x)-f(y)|=|kx-(k-ky)|=|k(x+y)-k|≤| k-k|= ＜ ；
当y∈[0， ]，且x∈[ ，1]时，同理可得，|f(x)-f(y)|＜ ；
当x∈[ ，1]，且y∈[ ，1]时，
|f(x)-f(y)|=|(k-kx)-(k-ky)|=k|x-y|≤k×(1- )= ＜ ；
∴当k＞0时，对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜ ，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k恒成立，
∴k≥ ，即k的最小值为 ．
当 时，同理可得|f(x)-f(y)|＜ ，即k的最小值为 ．
综上所述，k的最小值为 ．
解析2:先证 ．不妨设 ，
（1） 若 ，则 ；
（2） 若 ，有 ，
则
所以 ．
由于对称性，同理可证明当 时， ；故：
再证 ．
为了证明这一点，我们需要构造一族函数．我们构造如下函数：
(其中 是远小于 的正数)
显然有 ．
接下来再验证条件(2)．同样不妨设 ．
(i)当 时，(ii)当 时，
；
(iii)当 时，
(因为此时有 和 ，
所以 )．
又因为 ，所以 ，由于 的任意性，令 趋近与
0，可得 ．
由于对称性，同理可证明当 时， ；
综合 ，所以只有 ．
解析3 :依题意，由 ，得 ，所以定义在
[0，1]上的函数y=f(x)任意两点连线的直线斜率|k|＜ ，
设直线 ： ，直线 ： ，直线 与直线 的交点P ，
如图所示的函数 y=f(x)满足的条件函数之一(函数 y=f(x)的图像位于直线 与直线 的下方，即
．)，所以对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜ ，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k恒成立，∴k≥ ，即k的最小值为 ．
解析4：依题意，由 ，得 ，
所以定义在[0，1]上的函数y=f(x)任意两点连线的直线斜率|k|＜ ，构造函数 ( )，满足已经条件①，②；
当x，y∈[0， ]或x，y∈[ ，1]，时
所以 ，当 时， ，
当 x∈[0， ]，y∈[ ，1]或 x∈[ ，1]，y∈[0， ]时， |k(x+y)-k|≤| k-k|=
，当 时， ，
综上：当 时， ．
∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k恒成立，
∴k≥ ，即k的最小值为 ．
f(x) g(x) f(x) g(x)
22．(2014高考数学课标1理科·第3题)设函数 , 的定义域都为R,且 是奇函数, 是偶函
数,则下列结论正确的是 ( )
f(x) g(x) f(x) g(x)
A． 是偶函数 B．| | 是奇函数
f(x) g(x) f(x) g(x)
C． | |是奇函数 D．| |是奇函数
【答案】 C
F(x) f(x) g(x) F(x) f(x) g(x) f(x) g(x)
解 析 : 设 , 则 ,∵ 是 奇 函 数 , 是 偶 函 数 ,∴
F(x)f(x) g(x) F(x) F(x)
, 为奇函数,选C．
f(x)ln(x2 x)
23．(2014高考数学江西理科·第2题)函数 的定义域为 ( )
(0,1) [0,1] (,0) (1,) (,0] [1,)
A． B． C．  D． 
【答案】 C
x2 x0, x1, x0
分析:由题意得: 解得 或 ,所以选C．
24．(2014高考数学湖南理科·第10题)已知函数 与 的图象
上存在关于 轴对称的点，则 的取值范围是 ( )
． B． C． D．
A
【答案】B
解析：由题可得存在 满足,当 取决于负无穷小时, 趋近于 ,因为 函数
在定义域内是单调递增的,所以 ,故选B．
25．(2014 高考数学湖南理科·第 3 题)已知 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，则
＝
( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】C
解 析 ： 分 别 令 x=1 和 x=-1 可 得 且 则
，故选C．
26．(2014高考数学福建理科·第7题)已知函数 ，则下列结论正确的是 (
)
A． 是偶函数 B． 是增函数
C． 是周期函数 D． 的值域为
【答案】D
解析：由解析式可知当 时， 为周期函数，
当 时， 为二次函数的一部分，
故 不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，对于D，当 时，函数的值域为 ，
当 时，函数的值域为值域为 ，
故函数 的值域为 ，故正确．故选：D．
27．(2014高考数学北京理科·第3题)曲线 ，( 为参数)的对称中心 (
)
A．在直线 上 B．在直线 上
C．在直线 上 D．在直线 上
【答案】B
解析：消去参数 ，将参数方程化为普通方程： ，其对称中心是圆心
，该点在直线 上，故选B
28．(2014高考数学北京理科·第2题)下列函数中,在区间 上为增函数的是 ()
∴A∩B={0,2}
A． B． C． D．
【答案】A
解析：A项，函数 在 上为增函数，所以在 上为增函数，故正确；
B项，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，故错误；
C项，函数 在R上为减函数，故错误；
D项，函数 在 上为减函数，故错误。
29．(2014高考数学安徽理科·第9题)若 的最小值为3，则实数 的值为 (
)
A．5或8 B．−1或5 C．−1或4 D．−4或8
【答案】D
a a a
f (x)=|x+1|+|x+ |+|x+ | x=−
2 2 2
解析：利用绝对值的几何意义， ，结合数轴易知，当 时，取
a a
f(x)=|− +1| |− +1|=3
得最小值，此时
2
，由
2
，可求得
a=−4
或
a=8
，故选D．
30．(2014高考数学安徽理科·第6题)设函数 满足 ，当 时，
，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
f(x+π)=f(x)+sinx
解析：由题意可得 ，
f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x+π)−sinx
，
f (x+2π)=f (x) f (x) 2π
两式相加可得 ，所以 是周期为 的周期函数，
所以 ，故选A．
31．(2015高考数学四川理科·第9题)如果函数 在区间
单调递减，则 的最大值为 ( )
f(x)−f(x)
m= 1 2
x−x
A．16 B．18 C．25 D． 1 2
【答案】B解析： 时，抛物线的对称轴为 ．据题意，当 时， 即 ．
．由 且 得 ．当 时，抛物
线开口向下，据题意得， 即 ． ．由
且 得 ，故应舍去．要使得 取得最大值，应有
．所以 ，所以最大值为18．选B．．
32．(2015高考数学湖南理科·第5题)设函数 ，则 是 (
)
A．奇函数，且在 上是增函数
B．奇函数，且在 上是减函数
C．偶函数，且在 上是增函数
D．偶函数，且在 上是减函数
【答案】A．
f (x) (−1,1) f(−x)=ln(1−x)−ln(1+x)=−f(x)
分析：显然， 定义域为 ，关于原点对称，又∵ ，∴
f (x)
f (x) (0,1)
为奇函数，显然， 在 上单调递增，故选A．
33．(2015高考数学广东理科·第3题)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 (
)
1 1
y= √1+x2
y=x+
x
y=2x +
2x y=x+ex
A． B． C． D．
【答案】D
解析：令 ，则 即 ，所以
既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选
D
．
34．(2015高考数学福建理科·第2题)下列函数为奇函数的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：函数 是非奇非偶函数； 和 是偶函数； 是奇函数，故选
D．
35．(2015高考数学安徽理科·第2题)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由选项可知， 项均不是偶函数，故排除 ， 项是偶函数，但 项与 轴没有交点，
即 项的函数不存在零点，故选A．
f(x) (,) f(1)1
36．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 单调递减,且为奇函数．若 ,
1 f(x2)1 x
则满足 的 的取值范围是 ( )
[2,2] [1,1] [0,4] [1,3]
A． B． C． D．
【答案】 D
f x , 1 f(x)1 x 1 x1
【解析】因为 为奇函数且在 上单调递减,要使 成立,则 满足 ,1 x21 1 x3 1 f(x2)1 x 1 x3
所以由 得 ,即使 成立的 满足 ,选D．
x2 x3,x1,

f(x) 2
x ,x1.
37．(2017 年高考数学天津理科·第 8 题)已知函数  x 设aR,若关于 x 的不等式
x
f(x)| a|
2 在R上恒成立,则a的取值范围是 ( )
47 47 39 39
[ ,2] [ , ] [2 3, ]
A． 16 B． 16 16 C． [2 3,2] D． 16
【答案】 A．
x
f x| a| f(x) x a f(x) f(x) x a f(x) x
【解析】由不等式 2 得 2 , 2 2,
x x
g(x)f(x) h(x) f(x)
只需要计算 2 在R上的最大值和 2在R上的最小值即可,
当x1时
x 1 47 47 1
x2  3(x )2   x=
又 g(x) 2 4 16 16 (当 4 时取等号),
3 3 39 39 3
x2  x3(x )2   x=
h(x) 2 4 16 16 (当 4 时取等号),
47 39
 a
所以 16 16,
当x1时
3 2 3 2 2 3
 x =( x )2 3, x=
又 g(x) 2 x 2 x (当 3 时取等号),
x 2 x 2
 2  2
h(x) 2 x 2 x (当x=2时取等号),
所以2 3a2,
47
 a2
综上 16 ．故选A．
38．(2017年高考数学天津理科·第6题)已知奇函数 f(x) 在R上是增函数, g(x)xf(x) ．若 ag(log 2 5.1) ,
bg(20.8) cg(3) a,b,c
, ,则 的大小关系为 ( )
cba
A．abc B． C．bac D．bca
【答案】 C．
【解析】因为奇函数 f(x) 在R上增函数,所以当 x0 时, f(x)0 ,从而 g(x) xf(x) 是R上的偶函
数,且在 (0,) 上是增函数, a g(log 2 5.1) g(log 2 5.1) , 20.8 2 ,又 45.18 ,则 2log 2 5.13
020.8 log 5.13 g(20.8) g(log 5.1) g(3) bac
所以 2 ,所以 2 ,所以 ,故选C．
f(x) x2 2xa(ex1ex1) a
39．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第11题)已知函数 有唯一零点，则
( )
1 1 1

A． 2 B．3 C．2 D．1
【答案】Cf x0 x2 2xa  ex1e1x gxex1e1x
【 解 析 】 法 一 ： ， 设 ，
e2x1
1
g(x)ex1e1x 
ex1
g(x)0 x1 x1 g(x)0
gx
x1 g(x)0
当 时， ，当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数
gx g12 hx x2 2x
x1 x1
单调递增，当 时，函数取得最小值 ，设 ，当 时，函数取得
hx agx ag1h1 hx
最小值1，若 a 0 ，函数 和 没有交点，当 a0 时， 时，函数
1
agx a
和 有一个交点，即 a21 ，所以 2，故选C．
f(x) x2 2xa(ex1ex1)
法二：由条件， ，得：
f 2x2x2 22xa  e2x1e2x1 
 x2 4x442xa  e1x ex1
 x2 2xa  ex1e1x
f 2x f x f x
x1
所以 ，即 为 的对称轴
f(x) f(x) x1 f(1)12 21a(e11e11)0
由题意， 有唯一零点，∴ 的零点只能为 即
1
a
解得 2．
1
40．(2017年高考数学北京理科·第5题)已知函数 f(x)3x ( )x ,则 ( )
3 f(x)
A．是奇函数,且在R上是增函数 B．是偶函数,且在R上是增函数
C．是奇函数,且在R上是减函数 D．是偶函数,且在R上是减函数
【答案】 A
x x x
1 1 1
f x3x   3x f x
     
3 3 3x 3
【解析】 ,所以函数是奇函数,并且 是增函数, 是减
函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选A．
41．(2016高考数学上海理科·第18题)设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：①若
、 、 均为增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；
②若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、 均是
以 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】D【解析1】因为
所以
又 、 、 均是以 为周期的函数
所以 ，所以 是周期为 的函数
同理可得 、 均是以 为周期的函数，②正确；
、 、 中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；
三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函
数，所以①不正确．选D．
【解析2】①不成立，可举反例
， ，
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得 ，
也有
∴②正确
故选D．
42．(2016 高考数学山东理科·第 9 题)已知函数 的定义域为 ．当 时， ；当
时， ；当 时， ．则 (
)
A．−2 B．−1 C．0 D．2
【答案】D
【解析】当 时， ,所以当 时，函数 是周期为 的周期函数，所
以 ，又函数 是奇函数，所以 ，故选D．
43．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第 12 题)已知函数 满足 ，若函数与 图像的交点为 ，则 (
)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的图像的对称中心为
又函数 满足 ，所以 图像的对称中心为：
所以 ，故选Ｂ
44．(2016高考数学北京理科·第5题)已知 ,且 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
解析： ．考查的是反比例函数 在 单调递减，所以 即 所以 错；
．考查的是三角函数 在 单调性，不是单调的，所以不一定有 ，
错 ； ． 考 查 的 是 指 数 函 数 在 单 调 递 减 ， 所 以 有 即
所以 对；
考查的是对数函数 的性质， ，当 时， 不一定有
，所以 错．
题型三：基本初等函数
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知 ， ， ，则下列判断正确的是 (
)
A． B． C． D．
【答案】C解析: ，即 ,故选C．
2．(2021年高考全国乙卷理科·第0题)设 ， ， ．则 (
)
A． B． C． D．
【答案】B
解析： ,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系．
记 ,则 , ，
由于
所以当0<x<2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即
b<c;
综上， ,
故选：B．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第0题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 (
)( )
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】C
解析：由 ，当 时， ，则 ．
故选：C．
4．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 ．
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误．
故选：B．
5．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
6．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则 (
5 8 13
)
.
Aa<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
解析：由题意可知 、 、 ，， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ．
综上所述， ．
故选：A．
7．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者
根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：
，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约
为 ( )(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
解析： ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题．
8．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第6题)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基
0
本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫
情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数
增长率r与R，T近似满足R=1+rT．有学者基于已有数据估计出R=3．28，T=6．据此，在新冠肺炎
0 0 0
疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0．69) ( )
A．1．2天 B．1．8天
C．2．5天 D．3．5天
【答案】B
解析：因 ， ， ，所以 ，所以 ，
为
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，所以 天． 故选：B．
9．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第7题)已知函数 在 上单调递增，则
的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由 得 或
所以 的定义域为
因为 在 上单调递增
所以 在 上单调递增
所以 ，故选：D
10．(2022年浙江省高考数学试题·第7题)已知 ，则 ( )
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
解析:因为 ， ，即 ，所以 ．
故选,C．
11．(2021高考天津·第7题)若 ，则 ( )
A． B． C．1 D．
【答案】C
解 析 ： ， ，
．
故选：C．
12．(2021高考天津·第5题)设 ，则a，b，c的大小关系为
( )
A． B． C． D．
【答案】D解析： ， ， ， ，
， ， ． 故选：D．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第4题) 年 月 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的
轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距
离为 ， 点到月球的距离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， 满足方程：
． 设 ． 由 于 的 值 很 小 ， 因 此 在 近 似 计 算 中
，则 的近似值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【 解 析 】 由 得 ． 将 其 代 入 到 中 ， 可 得
，所以 ，故 ．
14．(2019·北京·理·第6题)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足 ，其中星等为 的星的亮度为 ．已知太阳的星等是 ，天狼
星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足 ，令 ，
． 故选A．
15．(2018年高考数学天津(理)·第5题)已知 ， ， ，则 的大小关系为 ()
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ，而 ，所以 ．
16．如果函数 在区间 上是增函数，那么实数 的取值范围
是 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】B
解：函数y 且 可以看作是关于 的二次函数，若a>1，
则 是增函数，原函数在区间 上是增函数，则要求对称轴 ≤0，
矛盾；若0<a<1，则 是减函数，原函数在区间 上是增函数，则要求
当 (0<t<1)时， 在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴 ≥1，∴ ，
∴实数 的取值范围是 ，选B．
17．函数 的反函数是
Ａ． Ｂ． ( )
Ｃ． Ｄ．
【答案】D
解：由函数 解得 (y>2)
所以原函数的反函数是 ，选D．
18．设 ， ， ，则 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】A
解： ， ，排除Ｂ、
Ｄ． ， ，故选Ａ．
或 则 ，选A．
f(x)=xa (x≥0),g(x)=log x
19．(2014高考数学浙江理科·第7题)在同一直角坐标系中，函数 a 的图像可
能是 ( )【答案】D
解析：当 时，函数 ， 的图象为：
此时答案D满足要求，
当 时，函数 的图象为：
无满足要求的答案，综上：故选D
20．(2014高考数学天津理科·第4题)函数 的单调递增区间是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析:函数 的定义域为 ,因为函数 是由 与 复合而成,而
在 上单调递减, 在 上单调递减,所以函数 在 上单调递增．故选
D．
21．(2014高考数学四川理科·第9题)已知 ，下列命题：① ② ③
其中的所有正确命题的序号是 ( )
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】C
解析： 故①正确
但左边的 ，右边的 ，故②不正确
当 时，
令 ( )
因 为 ， 所 以 在 单 增 ，
即 ，又 与 为奇函数，所以 成立故③正确
22．(2014高考数学辽宁理科·第3题)已知 ， ，则 (
)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：∵ ， ，
∴c＞a＞b
解析2：首先将c化简： ．画函数 的图像，如图所示：
y
c
a
0 x
b
通过观察图像得：c＞a＞b
23．(2014高考数学福建理科·第4题)若函数 ,且 的图像如图所示，则下列函数图像
正确的是 ( )y
ylog x
a
1
x
O 3
【答案】解析：由题意可知图象过 ，故有 ，解得 ，
选项A， 单调递减，故错误；
选项B， ，由幂函数的知识可知正确；
选项C， ，其图象应与B关于x轴对称，故错误；
选项D， ，当x=﹣3时，y=1，
但图象明显当 时， ，故错误．故选：B．
24．(2014高考数学大纲理科·第12题)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对
称，则 的反函数是 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：设 的反函数图像上的任意一点 ，则该点关于直线 对称的点为 ，该
点在函数 的图像上，而点 关于直线 的对称点为 ，该点在函
数 的图像上，所以 即 ，这就是 应该满足的关系式，这
也就是函数 的反函数．
25．(2015高考数学新课标2理科·第5题)设函数 , (
)
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
解析：由已知得 ，又 ，所以 ，故
，故选C．
f x2xm 1
26．(2015高考数学天津理科·第7题)已知定义在R上的函数 ( m 为实数)为偶函数，记
a  f(log 3),b f log 5,c  f 2m a,b,c
0.5 2 ，则 的大小关系为 ( )
abc acb cab cba
A． B． C． D．
【答案】C
f x2xm 1 f x2x 1
m 0
解析：因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，所以1
 1 log
a  f(log 3) f  log  2 23 12log 2 31312,
0.5  2 3
b f log 52log 2 5 14,c  f 2m f(0)20 10
2
cab
所以 ，故选C．
27．(2015高考数学陕西理科·第12题)对二次函数 ( 为非零常数)，四位同学分别给出
下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 ( )
A． 是 的零点 B．1是 的极值点
C．3是 的极值 D．点 在曲线 上
【答案】A
解析：若选项 A 错误时，选项 B、C、D 正确， ，因为是 的极值点， 是
的极值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线
上，所以 ，即 ，解得： ，所以 ，
，所以 ，因为 ，所以 不是
的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
28．(2015 高考数学陕西理科·第 9 题)设 ，若 ， ，
，则下列关系式中正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
ab ab
q f( )ln
解析： ， 2 2 ， ，
ab ab
 ab f( ) f( ab)
函数 f(x)lnx 在 上单调递增，因为 2 ，所以 2 ，所以
q pr
，故选B．
29．(2015高考数学山东理科·第10题)设函数 则满足 的 取值范围
是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
分析：当 时， ，所以， ，即 符合题意．
当 时， ,若 ，则 ，即： ，所以
适合题意综上， 的取值范围是 ,故选C．
30．(2017年高考数学浙江文理科·第5题)若函数 f(x) x2 axb 在区间 [0,1] 上的最大值是M ,最小值m M m
是 ,则
( )
a b a b
A．与 有关,且与 有关 B．与 有关,但与 无关
a b a b
C．与 无关,且与 无关 D．与 无关,但与 有关
【答案】 B
a 0,b0 M m1 a 0,b1 M m1 a 1,b0
【 解 析 】 ( 特 值 法 ) 取 得 ; 取 得 ; 取 得
M m2 M m a b
,故 与 有关,与 无关．故选B．
M m1a M m(1a) M m a
(特例法)当对称轴小于0时, ;当对称轴大于1时, ; 故 与 有关,
b
与 无关．故选B．
x,y,z 2x 3y 5z
31．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第11题)设 为正数,且 ,则 (
)
2x3y5z 5z 2x3y 3y5z 2x 3y2x5z
A． B． C． D．
【答案】D
2x 3y 5z k xlog k y log k z log k
【解析】令 ,则 2 , 3 , 5
2x 2lgk lg3 lg9
   1
3y lg2 3lgk lg8 2x3y
∴ ,则
2x 2lgk lg5 lg25
   1
5z lg2 5lgk lg32 2x5z
,则 ,故选D．
32．(2017年高考数学北京理科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇
M
宙中普通物质的原子总数 约为 ．则下列各数中与 最接近的是(参考数据: )
N 1080 N lg30.48
1033 1053 1073 1093
A． B． C． D．
【答案】 D
M 3361 3361
 x lgxlg lg3361lg1080 361lg38093.28
【解析】设 N 1080 ,两边取对数, 1080 ,所
M
以 x1093.28 ,即 N 最接近 1093 ,故选D．
33．(2016高考数学四川理科·第5题)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 全
年投入的研发资金 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 ，则该公司全年投
入的研发资金超过 万的年份是 ( )( 参 考 数 据 ：
)
A． 年 B． 年 C． 年 D． 年
【答案】B
【解析】由题意可得指数增长关系式为所以该公司全年投入的研发资金超过 万的年份 年．
34．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知 , , ,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 , ,故选A.
35．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题)若 ，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】对A： 由于 ，∴函数 在 上单调递增，因此 ，A
错误；对B： 由于 ，∴函数 在 上单调递减，
∴ ，B错误；对C： 要比较 和 ，
只需比较 和 ，只需比较 和 ，只需 和
构造函数 ，则 ， 在 上单调递增，因此
又由 得 ，∴ ，C正确
对D： 要比较 和 ，只需比较 和
而函数 在 上单调递增，故
又由 得 ，∴ ，D错误
故选C．
题型四：函数的图像
1．(2023年天津卷·第4题)函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为 (
)( )
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当 时 、 ，即A、C中 上函数值为正，排除；
故选：D
2．(2021年高考浙江卷·第7题)已知函数 ，则图象为如图的函数可能是 (
)
( )
A． B．
C． D．
【答案】D
解析:对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C．
故选D．
3．(2020年浙江省高考数学试卷·第4题)函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为 (
)
A． B．
C． D．
【答案】A
解析： ，则 ，
为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且 时， ，据此可知选项B错误． 故选：A．
4．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第5题)函数 在区间 的图象大致为 (
)
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】令 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除BD；
又当 时， ，所以 ，排除C．
故选：A．
5．(2021高考天津·第3题)函数 的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
解析：设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，又 ，所以函数 偶函数，排除AC；
为
当 时， ，所以 ，排除D．
故选：B．
6．(2020天津高考·第3题)函数 的图象大致为 ( )
A B． (
.
)
C． D．
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原
点对称，选项CD错误；当 时， ，选项B错误．故选：A．
7．(2020北京高考·第6题)已知函数 ，则不等式 的解集是 (
)．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：两函数图象的交点坐标为 ，不等式 的解为 或 ．
所以不等式 的解集为： ．故选：D．
8．(2019·浙江·第6题)在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是 (
)
y y y y
x x x x
O 1 O 1 O 1 O 1
A B C D
【答案】D
【解析】当 时，函数 的图象恒过点 ，且在 上单调递增； 的图象
恒过点 ，在 上单调递减，故选项D满足条件．当 时，函数 的图象恒过
，在 上单调递减； 的图象恒过点 ，在 上单调递增，各选项均不
符合．
9．(2019·全国Ⅲ·理·第7题)函数 在 的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】设 ，则 ，所以 是奇函数，
图象关于原点成中心对称，排除选项C．又 ，排除选项A、D，故选B．
10．(2018年高考数学浙江卷·第5题)函数 的图像可能是 ( )
y y y y
x x x x
π O π π O π π O π π O π
A B C D
【答案】B
解析：设 ，则 ，所以该函数是一个奇
函数，其图像关于原点对称，排除A，B，又 ，排除C，故选D．
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为( )
【答案】D
解 析 ： 易 知 函 数 为 偶 函 数 ， 而
， 所 以 当 时 ，
；当 时， ，所以函数 在 、
上单调递增，在 、 上单调递减，故选D．
x
12．(2014高考数学课标1理科·第6题)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角 的始边为
射线 OA ,终边为射线 OP ,过点P作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线 OP 的距离表示为 x 的
f(x) y f(x) 
函数 ,则 = 在[0, ]上的图像大致为 ( )P
x
0 M A
y y
1 1
0 π x 0 π x
A B
y y
1 1
0 π x 0 π x
( )
C D
【答案】 B
cosx
sinx RtOMP
解 析 : 如 图 : 过 M 作 MD⊥ OP 于 D, 则 PM= ,OM= , 在 中 ,MD=
OM PM cosx sinx
 

 cosxsinx
OP 1
1 1
 sin2x  sin2x (0 x)
2 ,∴ f(x) 2 ,选B．
．
13．(2014 高考数学湖北理科·第 10 题)已知函数 f (x) 是定义在 R上的奇函数，当 x≥0 时，
1
f (x)= (|x−a2 |+|x−2a2 |−3a2 )
2
，若
∀x∈R ， f(x−1)≤f(x) ，则实数a的取值范围为 ( )
1 1 √6 √6 1 1 √3 √3
[− , ] [− , ] [− , ] [− , ]
6 6 6 6 3 3 3 3
A． B． C． D．
【答案】B
解析：由题意得，若a＝0，f(x)＝x，显然成立；若a≠0，当x≥0时， 作出x≥0的图象 ，利用f(x)是奇函数作出整个定义
域上的图象如图：
而f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位得到的，要满足对任意实数x，都有f(x-1)≤f(x)，至少
应向右平移6a2个单位，所以6a2≤1，解得 ，且a≠0．
综上，实数a的取值范围是 ．
14．(2015高考数学新课标2理科·第10题)如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，
点 沿着边 ， 与 运动，记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数
，则 的图像大致为 ( )
D P C
x
A O B
( )
y y y y
2 2 2 2
  3 x   3 x   3 x   3 x
   
4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
解析：由已知得，当点 在 边上运动时，即 时， ；当
点 在 边上运动时，即 时，当 时 ， ； 当 点 在 边 上 运 动 时 ， 即 时 ，
，从点 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 对称，且
，且轨迹非线型，故选B．
15．(2015高考数学北京理科·第8题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述
了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 (
)
( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
解析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程
为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最
省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，
行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时． 由于丙比乙的燃油效
率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选D．
考点：本题考点定位为函数应用问题，考查学生对新定义“燃油效率”的理解和对函数图象的理解．
16．(2015高考数学安徽理科·第9题)函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是 (
)
( )
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C解析：由 及图象可知， ， ，则 ；当 时， ，
所以 ；当 ， ，所以 ，所以 ．故 ， ， ，选
C．
17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并
整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图．
根据该折线图,下列结论错误的是 ( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【答案】 A
【解析】观察折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,故选项A说法错误;
折线图整体呈现出增长的趋势,年接待游客量逐年增加,故选项B说法正确;
每年的接待游客量七、八月份达到最高点,即各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故选项C说法正
确;
每年1月至6月的折线图比较平稳,月接待游客量波动性较小,而每年7月至12月的折线图不平稳,波动
性较大,故选项D说法正确．
故选A．
18．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最
高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为 C．B点表示四月的平均
最低气温约为 C．下面叙述不正确的是 ( )
A．各月的平均最低气温都在 C以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 C的月份有5个【答案】D
【解析】由图可知 C均在阴影框内,所以各月的平均最低气温都在 C以上,A正确;由图可知在七月
的平均温差大于 C,而一月的平均温差小于 C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;
由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 C,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于
C的月份有3个或2个,所以D不正确.故选D.
19．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第7题)函数 在[–2,2]的图像大致为 (
)
y y y y
1 1 1 1
-2 O 2 x -2 O 2 x -2 O 2 x -2 O 2 x
A B C D
【答案】D
【 解 析 1 】 函 数 在 [–2,2] 上 是 偶 函 数 ， 其 图 象 关 于 轴 对 称 ， 因 为
，所以排除 选项；当 时， 有一零点，设为
，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数．故选D．
【解析2】 ，排除A
，排除B
时， ，当 时，
因此 在 单调递减，排除C 故选D．题型五：函数与方程
1．(2021高考天津·第9题)设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是 ( )
A． B．
C．
【答案】A
解析： 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，由 可得
，
(1) 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
(2)当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点．
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足或 或 ，
则可解得a的取值范围是 ．
2．(2020天津高考·第9题)已知函数 若函数 恰有4个零
点，则 的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，令 ，即 与 的图象有 个不同交点．
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 (负值舍去)，所以 ．
综上， 的取值范围为 ．故选：D．3．(2019·浙江·第9题)设 ， ，函数 若函数 恰有
个零点，则 ( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】解法一：设 ．
当 时， ，此时最多一个零点；
当 时， ， ，
若 ，即 ， ， 在 ， 上递增，此时 最多一个零点．不合题意；
若 ，即 时，又 知 在 上函数递增，在 上函数递减．此时
函数 最多有2个零点；
要使 恰有3个零点，则函数 必满足在 上有1个零点，
在 ， 上有2个零点．
如图，可知 且 ，解得 ， ， ，
即 ， ．故选C．解法二：当 时， ，最多一个零点．(取决于 与0的大小),所以关键研究当
时，方程 的解的个数，即 ,利
用奇穿偶回画右边的三次函数 的图象，分类讨论如下．
①当 ，即 时， 处为偶重零点反弹， 为奇重零点穿过，又 在
单调递增，故与 最多只能有一个交点，不符合题意．
y
g(x)
O x
②当 ，即 时， 处为3重零点穿过，也不符合题意．
y
g(x)
O x
③当 ，即 时， 处为偶重零点反弹， 为奇重零点穿过，若 ，则
与 可以有两个交点，且同时需 ，故 ， ．故选C．
y
g(x)
O
x
b
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第9题)已知函数 ， ．若
存在 个零点，则 的取值范围是 ( )A． B． C． D．
【答案】C
解析：由 得 ，作出函数 和 的图象如图
当直线 的截距 ，即 时，两个函数的图象都有2个交点，即函数 存在2
个零点，故实数 的取值范围是 ，故选C．
5 ． (2014 高 考 数 学 浙 江 理 科 · 第 6 题 ) 已 知 函 数
l
1 ( )
A．
l
B．
P
C．
l
1 D．
a−b
【答案】C
解 析 ： 由 得 ， 解 得 ，
由 ，得 ，即 ，
故选C．
6．(2014高考数学山东理科·第8题)已知函数 ， ，若 有两个不相
等的实根，则实数 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】
解析：因为函数 的图象有两个公共点，如图所示，当 介于
和 之间时符合题意，所以 ．
2 x , x2,

f x
 x22 , x2, gxb f 2x
7．(2015高考数学天津理科·第8题)已知函数 函数 ，其中y  f xgx
bR b
，若函数 恰有4个零点，则 的取值范围是 ( )
7   7  7 7 
, , 0, ,2
       
4   4  4 4 
A． B． C． D．
【答案】D
2 x , x 2,
f x

 f(2x)


2 2 x ,x 0

x22
, x 2, x2, x0
解析：由 得 ，
2 x  x2, x0

y  f(x) f(2x) 4 x  2 x , 0 x 2

2 2 x (x2)2,x 2

所以 ，
x2 x2, x0

y  f(x) f(2x) 2, 0 x 2

x2 5x8,x 2

即
y  f(x)g(x) f(x) f(2x)b y  f xgx
,所以 恰有4个零点等价于方程
f(x) f(2x)b0 y b y  f(x) f(2 x)
有4个不同的解，即函数 与函数 的图象的4个公
7
b2
共点，由图象可知4 ．
8
6
4
2
15 10 5 5 10 15
2
4
6
8
8．(2015高考数学上海理科·第17题)记方程①： ，方程②： ，方程③：
，其中 是正实数．当 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实
根的是 ( )
A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
解析：方程③无实根，则 ，又 ， ，当 成等比数列时，
，即有 ，由 得 ，即
当方程①有实根，且②无实根时， ， ，可以推出 ，选择B．
9．(2017年高考数学山东理科·第10题)已知当 x0,1 时,函数 y mx12 的图象与 y  x m 的图象m
有且只有一个交点,则正实数 的取值范围是 ( )
A．
0,1



2 3, 
B．
0,1

3,
 0, 2 2 3,   0, 2 3,
 
C． D．
【答案】B
m 2 y ( 2x1)2,x[0,1] [0,1] y  2x 2,x[0,1]
【解析】若 ,则 的值域为 ; 的值域为
[ 2,2 2] m3 (1,4)
,所以两个函数的图象无交点,故排除C．D;若 ,则 是两个函数的公共点,故选
B．
10．(2016高考数学天津理科·第8题)已知函数 ( ，且 )在
上单调递减，且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 (
)
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由 在 上递减，则
，
又由 在R上单调递减，则：
y
。2
x
O 2
由图像可知，在 上， 有且仅有一个解，故在 上， 同样有且
仅有一个解，
当 即 时，联立 ，则 ，解得：或1(舍)，当 时，由图像可知，符合条件．综上：∴ 选C．
题型六：函数模型及其应用
1．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：
°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面
的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方
程类型的是 ( )
.
A B． C． D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配
货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于
0．95，则至少需要志愿者 ( )
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】B
解析：由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者x名，
， ,故需要志愿者 名．
故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．
3．(2015高考数学湖北理科·第10题)设 ， 表示不超过 的最大整数．若存在实数 ，使得 ，
，…， 同时成立，则正整数 的最大值是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
解析：因为 表示不超过 的最大整数．由
[t]=1
得
1≤t<2
，
由
[t2 ]=2
得
2≤t2 <3
，
由
[t4 ]=3
得
4≤t4 <5
，所以
2≤t2 <√5
，
2≤t2 <√5
所以 ，
由
[t3 ]=3
得
3≤t3 <4
，
6≤t5 <4√5
所以 ，
由
[t5 ]=5
得
5≤t5 <6
，与
6≤t5 <4√5
矛盾，
故正整数 的最大值是4．
4．(2015 高考数学湖北理科·第 6 题)已知符号函数 是 上的增函数，
，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
解析：因为 是 上的增函数，令
f (x)=x
，所以
g(x)=(1−a)x
，因为
a>1
，所以
g(x)
是
上的减函数，由符号函数 知， ．
题型七：函数的综合问题
1．(2021年高考全国甲卷理科·第0题)设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简
便计算的效果．
2．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第12题)已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，．
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 ．
所以
．
3．(2019·天津·理·第 8 题)已知 ，设函数 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：当 时， ，可得 ，当 ，即 时，上式恒成
立，
当 ， 即 时 ， ， 设 ， 令
，则 ，由对勾函数的性质可知 在 上单调递增，在 上单调递
减，所以当 时， 有最大值 ，即 ，有 恒成立，所以
．
当 时， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调
递增，
所以当 时， 有最小值 ，又因为 恒成立，所以 ．
综上可知， ．二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第10题)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声
压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声
压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则 (
)．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
解析：由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD．
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第11题)已知函数 的定义域为 ， ，则 (
)．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC
解析：方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确．
对于B，令 ， ，则 ，故B正确．
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误．
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确．
对于B，令 ， ，则 ，故B正确．
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，对 于 D ， 当 时 ， 对 两 边 同 时 除 以 ， 得 到
，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误．
故选：．