02 分布列与其数字特征的应用
一、必备知识：
1．离散型随机变量定义
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x，x，…，x，…，x，X取每一个值x(i＝1,2，…，
1 2 i n i
n)的概率P(X＝x)＝p，则表
i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p≥0(i＝1,2，…，n)；②p＋p＋…＋p＝1.
i 1 2 n
3．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则称E(X)＝xp＋xp＋…＋xp＋…＋xp 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取
1 1 2 2 i i n n
值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
4．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(x－E(X))2描述了x(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝∑ (x－E(X))2p为这些偏离
i i i i
程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称
其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
5. 独立重复试验
一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独
立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(k)＝ pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)．
n
6.二项分布
定义：若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试
验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，于是得到X的分布列：X 0 1 … k … n
P … …
p0qn p1qn－1 pkqn－k pnq0
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝ p0qn＋ p1qn－1＋…＋ pkqn－k＋…＋ pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服
从参数为n，p的二项分布，记作 ．
二项分布的期望、方差：若 ，则 ．
7.两点分布
X 0 1
P 1－p p
这样的分布列叫做两点分布列．
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．
两点分布的期望与方差： ．
8.超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分
布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
X 0 1 … k … m
…
P …
超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则 .
9.正态分布
x2
1
e 22
2
正态曲线: 我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的
图
象为正态密度曲线.
正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线
越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
正态分布的三个常用数据：
(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.
正态分布的均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
二、题组
题组一：分布列相关计算
经典例题：
例1．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P p
则p为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由分布列的性质可知， ，得 .故选：B
例2．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x， ）代替，分布列如下：
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
则 （ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
【答案】B
【详解】由题意得 ，化简得 ，又 且，所以 ，所以 .故选：B
例3．设随机变量X的概率分布为 ，则 ．
【答案】
【详解】∵随机变量X的概率分布为 ，
∴ ，
解得： ，∴ ．故答案为： ．
例4．已知离散型随机变量X的分布列如下，则 的最大值为（ ）
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】 ，故 ，易得 ， ，则
，故 ， ，
又因为 ，所以 ．故选：C．
变式训练：
1．已知离散型随机变量 的分布列为：
X 1 2 3
P m则 ．
【答案】
【详解】由离散型随机变量 的分布列的性质，可得 ，解得 ，
所以 .故答案为
2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P a
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于 .
【答案】
【详解】由分布列的性质,得a＋ ＋ ＝1,∴a＝ ，而x∈[1,2),∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)= ＋ ＝ ．故答
案为：
3．若随机变量X的概率分布列为 ，k＝1，2，3，则 .
【答案】
【详解】由题意 ，所以 .故答案为 .
4．离散型随机变量 的概率分布规律为 ,其中 是常数,则 .
【答案】
【详解】 ， ，解得： ，
.故答案为： .5．随机变量 的概率分布列如下：
－1 0 1
其中 ， ， 成等差数列，若随机变量 的期望 ，则其方差 ＝ ．
【答案】
【详解】因为 ， ， 成等差数列，则 ，又由分布列的性质，则 ，所以得 ，
又因为随机变量的均值 且 ,故解得 ， ，所以
.故答案为： .
6．已知某人每次投篮的命中率为 ，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为
X，则 的最大值为 ．
【答案】
【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得 ， ， ，则
，当且仅当 ，即
时，等号成立，故 最大值为 ．故答案为： .
达标检测：
1．随机变量Y的概率分布如下：
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2则 ＝ .
【答案】0.45
【详解】由 ，得 ,解得x＝0.1.
故答案为 .
2．设随机变量X的概率分布列为
1 2 3 4
则 ．
【答案】
【详解】由 ，解得 ， .故答案为： .
3．设随机变量 的分布列为 ，则 .
【答案】
【详解】由题意 ,所以 ,
得 ,所以 .故答案为：
4．随机变量 的分布如下表，其中 成等差数列，且 ，
1 2 3
则 （ ）
A． B． C． D．1【答案】C
【详解】由题意得 ，得 ，则 ．故选：C．
5．已知 ，且 ，记随机变量 为x，y，z中的最大值，则 .
【答案】17
【分析】求出 可能取值，求出相应的概率，得出 的分布列，即可求出期望.
【详解】由题意可得： 的可能取值为 ，用隔板法可求得：事件总情况为 种，
若 ，三个正整数为 或 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 或 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 或 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 ，则有 种，故 ；
若 ，三个正整数为 ，则有 种，故 ；
故 的分布列为：
4 5 6 7 8
故 .所以 .故答案为： .
题组二：公布列数字特征的应用
经典例题：
例1．某方盒中有5个除颜色外其余都相同的球(3个红球、2个白球)，现从盒中任取2个球，若球的颜色
相同，则将2个球涂成白色并且放回盒中，否则将2个球涂成红色放回盒中.记X为方盒中最终的白球个
数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．【答案】C
【详解】从5个球中任取2个球有 种取法，由题意知X的所有可能取值为1，2，4，
， ， ，故 .故选:C.
例2．在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，
选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得
6分，选错扣 分.若随机选择时得分的均值为0分，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据随机变量的均值概念列出方程，然后解方程即可.
【详解】选对得6分，选错扣 分. ，则有 ，则 .故选：B.
例3．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的
分布列如下：
ξ 0 1 2
P
η 0 1 2
P
甲、乙两名工人的技术水平较好的为（ ）
A．一样好 B．甲 C．乙 D．无法比较
【答案】C
【详解】由题意，工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为: ,
,工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:
， ,因为
知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但 ,所以乙的技术比较稳定.故选C.
例4．某高二学生在参加物理、历史方向学考中，成绩是否取得 等级相互独立，记 为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得 、 的分布列如下表所示：
由分布列的性质可得 ,所以 ,所以 ,
，所以 ,设该生物理、历史学考获得等
级 的概率分别为 、 ,则有 ,则
,当且仅当 时取等号,所以, ,因为函数 在
上单调递减,所以 .故选：B.
变式训练：
1．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是 ，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，
则期望 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ； ； . 的分布列为：
1 2 3
.故选：A.
2．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，
每次摸出2个球．若摸出的红球个数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 的可能取值为0，1，2，则 ， ， ，
所以 ，故 ．故选：A．
3．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行
处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若
进这种鲜花500束，则利润的均值是（ ）
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
A．706元 B．690元 C．754元 D．720元
【答案】A
【详解】节日期间这种鲜花需求量的均值为 (束).
设利润为Y,则 ,所以
(元).故选：A.
4．已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有 个男生与 个女生，乙队伍中有 个男生与 个女生，若从甲、乙两队中各取1个人， 表示所取的2个人中男生的个数，则当方差 取
到最大值时， 的值为 ．
【答案】10
【详解】 的可能取值为0，1，2，则 ，
， ，所以 的分布列为
0 1 2
，
，
当且仅当 时，等号成立，所以当 取到最大值时， 的值为10．故答案为：10.
5．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
收益 /亿元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
乙产业收益分布列
收益 /亿元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
则下列说法正确的是（ ）
A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高
【答案】A
【详解】由题 , ;
, ,故,即甲产业收益的期望大，风险高，故选：A
达标检测：
1．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已
知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 ， .在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为 ．
【答案】
【详解】由题意可知：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.则 ，
， .故 的分布列为
0 1 2
P
则 ，所以 .
故答案为：
2．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（ ）
A．6 B．7.8 C．9 D．12
【答案】B
【详解】设此人的得奖金额为 ，则 的所有可能取值为12，9，6．
， ， .故分布列为
12 9 6
故 ．故选：B．
3．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学
再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成
语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ）A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1
【答案】A
【详解】依题意得， 的可能取值为0，1，2，
， ， ．
可得X的分布列如表所示：
0 1 2
0.3 0.5 0.2
.故选：A．
4．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸
到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】由题意可得 的可能取值为2,3,4,5…n，
， ， ,…， ，
，①
则 ，②
① ②得， ，即得 .
当 时， .故选：A.
5．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试对两种品牌手表的性能作出描述： ．
【答案】甲种手表的性能更好，更稳定
【分析】根据给定的分布列，分别求得 和 ，比较即可得到结论.
【详解】由甲品牌的走时误差分布列，可得：
， ；
由乙品牌的走时误差分布列，可得：
，
,
则甲、乙两种手表走时误差的期望一样，但甲种手表的方差小于乙种手表的方差，
所以认为甲种手表的性能更好，更稳定．
题组三：独立重复实验与二项分布
经典例题：
例1．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则 .
【答案】
【详解】X服从二项分布 ，则 ， ，所以 ，解得 .
故答案为：
例2．设某项试验的成功率是失败率的4倍，用随机变量 描述一次试验的失败次数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，利用两点分布的方差公式求解即可.
【详解】由题知， 服从两点分布，且 ， ，所以 ．故选：C.
例3．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲
获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则甲选手以3：1获胜的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢，故所求概率为
.故选：A
例3．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木
钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰
到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，
3，……，6，用 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入100粒小球，则落入2号格
的小球大约有 粒．
【答案】16
【分析】设 ，分析出 ，从而求解 时的概率即可.
【详解】设 “向右下落”， “向左下落”，且 ，设 ，因为小球在下落过
程中共碰撞5次,所以 ,于是
，
所以 ,故投入100粒小球,则落入2号格的小球大约有 粒.故答案为16.
例4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,每个球被摸到的机会均等．
定义数列： , .如果 为数列 的前n项和,那么 的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知可知，每次摸球摸到红球的概率为 ，则 次摸球中，取到白球的次数 服从二项分布，
即 .由 可知，前7次摸到5次白球，2次红球，即 ， .所以， 的概率是
.故选：B.
例5．某人在19次射击中击中目标的次数为X，若 ，若 最大，则 （ ）
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
【答案】C
【详解】因为在19次射击中击中目标的次数为X， ，所以 ，
且 .若 最大，则 . ，即
，解得： ，因为 且 ，所以当 或 时， 最大.
故选：C.
变式训练：
1．已知随机变量 服从二项分布 ，则 .
【答案】
【详解】 表示做了4次独立实验,每次试验成功概率为 , ，故答案为：
2．若X～B ，则使P（X＝k）最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4或3 D．4
【答案】C
【详解】 ，得 .所以当 时， ，当
时， ，则 ,从而 或4时， 取得最大值.故选：
C.
3．若随机变量 服从两点分布，其中 ， 分别为随机变量 的均值与方差，则
下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】随机变量 服从两点分布，其中 ， ， ，
，在A中， ，故A正确；在B中，
，故B正确；在C中， ，故C错误；在D中，
，故D正确.故选：C.
4．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3
次，记摸取白球的个数为X．若 ，则 ．
【答案】【详解】由题意知 ．因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ．故答案为： .
5．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉
之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到
小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3， ，
6，用 表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大
约有 ．
【答案】
【分析】设 ，由题意得 ，求出 时的概率，由此能求出落入 号格的小球粒数．
【详解】设 “向右下落”，则 “向左下落”，且 ，设 ， 小球下落过
程中共碰撞 次， ， ， ，1，2，3，4， ，
，故投入 粒小球，则落入 号格的小球大约有 粒．故答案为： ．
6.《英雄联盟》2023MSI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五
局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的
胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为 ，比赛局数的期望值
记为 ，则 的最大值是 .
【答案】
【详解】设比赛局数为 ，则 的可能取值为3，4，5，则
， ， ，则 ，
所以 ，
因为函数 的图象对称轴为 ，
当 时， ，当 时， ，所以 ，
所以当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
达标检测：
1．若随机变量X ~ B (n, 0.4) ，且E(X ) = 2 ，则P(X = 1) 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，则 .故选：A
设随机变量 ，且 ．若8名党员中有 名男党员，从这8人中选4名代表，
2.记选出的代表中男党员人数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，则 ，解得 或 ，又因为 ，则
，可得 ，则 ．所以 ，故选： ．3．一批产品的次品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 20次． 表示抽到的次品
的件数，则 ．
【答案】 /
【详解】由题意可得， 服从二项分布，即 ，则 .
故答案为：
4．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命
中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【详解】依题意， 的分布列为：
0 1
0.2 0.8
因此 .故选：D
5．甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场比赛时，该队获胜，
比赛结束），根据以往比赛成绩可知；甲队每场比赛获胜的概率为 ．比赛结果没有平局，且各场比赛
结果相互独立，则甲队获胜的概率为 ．
【答案】
【详解】设事件A为“甲队最终获得胜利”，
①比赛进行三场，甲队均胜， ；
②比赛进行四场，甲队前三场恰好胜二场，输一场，第四场胜， ；
③比赛进行五场，甲队第五场胜，前四场恰好胜二场，输二场， ，则 ．故答案为：
6．为舒缓高考压力，某中学高三年级开展了“葵花心语”活动，每个同学选择一颗葵花种子亲自播种在
花盆中，四个人为一互助组，每组四人的种子播种在同一花盆中，若盆中至少长出三株花苗，则可评为
“阳光小组”．已知每颗种子发芽概率为0.8，全年级恰好共种了500盆，则大概有 个小组能评为
“阳光小组”．（结果四舍五入法保留整数）
【答案】410
【详解】由题意知，每一盆至少长出三株花苗包括“恰好长出三株花苗”和“长出四株花苗”两种情况，
其概率为 ，即一盆花苗能被评为“阳光小组”的概率为 ，且
被评为“阳光小组”的盆数 服从二项分布 ，所以500盆花苗中能被评为“阳光小
组”的有 .故答案为：410
题组四：古典概型与超几何分布
经典例题：
例1．若一个随机变量的分布列为 ，其中 则称 服从超几
何分布，记为 ，并将 记为 ，则 .
【答案】
【详解】根据题意， ， .故答案为： .
例2．一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为 ， ，1，2．所以， ．或 ．
故选：D．
例3．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取
3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为 ．
【答案】
【详解】以这些分点 包括直径的两端点 为顶点，一共能画出 个三角形，其中钝角三角形有7个，
所以 ，1，2，3， ， ， ，
，所以 ．故答案为： .
例4．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于
0.5，n至少为 ．
【答案】15
【详解】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝ ，
所以 ，解得n≥15.故答案为：15.
变式训练：
1．若随机变量X服从超几何分布 ，则X的均值 ．
【答案】
【详解】由题意知： .故答案为： .
2．设随机变量 （ 且 ），当 最大时， .
【答案】2【详解】由随机变量 ，则 ，因为
最大，所以有 ，即
整理得 ，
又 ，所以 ，则 ，故答案为：2
3．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率
为 ，若记取出3个球中黑球的个数为 ，则 ．
【答案】
【详解】设黑球的个数为 ，由 得 ，记取出3个球中黑球的个数为 ， 的取值可以为
1，2，3； ， ， ，则 分布列如下：
1 2 3
所以 ，则 ．
故答案为： .4．袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概
率是 ．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)= ．
【答案】
【详解】设袋中有 个黑球，则白球有 ，由题意可得： ，解得 或
（舍去），故X的可能取值有 ，则有：
，
可得X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故 .故答案为： .
5．已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球（取到每个球都是等可能的），用随机变
量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的数学期望为 ．
X 0 1 2
P a b
【答案】1
【详解】由题意可得： ，解得 或 （舍去），
则 ，即X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
故X的数学期望 .故答案为：1.
达标检测：1．一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数
为随机变量 ，则 的均值 ．
【答案】2
【详解】任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量 ，则 的可能取值为1，2，3
则 ， ，
则 ，故答案为：2
2．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取
出3个球，则取出3个球的得分Y的均值 为 ．
【答案】
【详解】 的可能取值为 ，且 ， ，
，所以得分Y的均值 ，故答案为：
3．生产方提供 箱的一批产品，其中有 箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任
取 箱产品进行检测，若至多有 箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率为 （结果
用最简分数表示）.
【答案】
【详解】以 箱为一批产品，从中随机抽取 箱，用 表示“ 箱中不合格产品的箱数”，
则 服从超几何分布，其中 . . ，
∴该批产品被接收的概率为： .故答案为： .
4．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛
选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽
取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
【答案】【分析】根据题意讨论先抽取2道题有几道多选题，结合超几何分布分析运算.
【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为 ，则 的可能取值为：0，1，2，可得：
，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为 .
故答案为： .
题组五：正态分布
经典例题：
例1．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 .
【答案】
【详解】随机变量 服从正态分布 ，且 ，
所以 ，所以 ，故答案为：
例2．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，且 ，
则 ．
【答案】3
【详解】因为 ，所以 ．又因为
，则 ，所以 .故答案为：3.
例3．已知随机变量 ，且 ，则 ，则二项式 展开式中含
的项为 .
【答案】
【详解】因为随机变量 ，且 ，所以 ，则 ，其展开式 ，令 ，解得 ，故二项式 展开式中含
的项为 .故答案为：
例4．某校期末统考数学成绩服从正态分布 ．按 ， ， ， 的比例将考试成绩划
为 四个等级，其中分数大于或等于83分的为 等级，则 等级的分数应为 ．（用区间表
示）
【答案】
【详解】设考试成绩为 ，由题意可知， ， ， ， ，
所以 ，所以 等级的分数应为 ，
故答案为： ．
例5．为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以
选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩 （满分100分）服从正态分布 ，
成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入
集训队的人数为 ．附： ， ，
．
【答案】13
【详解】正态分布 ,可知 , 分及以上的人数为 人,则 ，
由正态分布曲线的对称性可得： ，得
，所以 ，则 ，则分 及以上的人数为
人.故答案为： .
变式训练：
1．已知 且 ， ，则 ．
【答案】0.1【详解】由 知，正态曲线关于直线 对称．因为 ，所以
．又 ，所以
．故答案为：0.1．
2．某工厂生产的产品的某项指标 服从正态分布 ，若 ，则
.
【答案】
【详解】由正态曲线的性质可知， ，因为
，所以 ，根据对称性可知， .故答案为： .
3．已知随机变量 ，设函数 ，且 满足 ，则 .
【答案】2
【详解】 , ,又 ,
, ,有 与 关于 对称,则 .故答案为2.
4．已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中常数项为 .
【答案】60
【详解】由题意随机变量 服从正态分布 ，且 ，所以 ，解得
，所以 的展开式中的常数项为 .故答案为60.
5．某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值 近似服从正态分布 .为了调查参加
测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段 内抽取学生，且
.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段 内的人数为
人
（附： ， ， ）
【答案】11
【详解】因为 ， ，
， ，即 ，由已知，该班在 内抽取了11人，
他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案为11.
达标检测：
1．已知随机变量 ，且 ，则 ．
【答案】
【详解】因为 ，且 ，所以 ，故 ，
故 ．故答案为： .
2．某工厂生产一批零件（单位： ），其尺寸 服从正态分布 ，且 ，
，则 ．
【答案】
【详解】因为 服从正态分布 ，且 ， ，
则 ，所以， .故答案为： .
3．某地区调研考试数学成绩 服从正态分布 ，且 ，则成绩在 的概率
为 ．
【答案】 /
【详解】由正态分布知，均值 ，且 ，所以 ，则数学成绩在
的概率为 ，故答案为： .4．已知某批产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 的产品为“可用产品”，
则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .(参考数据：若 ，则
.)
【答案】0.84
【详解】由题意知，该产品服从 ，则 ，所以
，
即抽到“可用产品”的概率为0.84，故答案为：0.84
5．在某次大型人才招聘活动中，共有2000人参加笔试，笔试成绩位于区间 ， ，
的人数分别为683，272，45，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标
准差约为 （参考数据：若 ，则 ）
【答案】10
【详解】由题意知，设笔试成绩 ，由70分及以上的人数为 ，得
，故 的值可估计为70，由参考数据知
，而 ，故
的值可估计为90，故 约为 ，故答案为：10
6．某厂生产的3D NAND闪存的质量指标值服从正态分布 ，该指标值大于82的等级为优质，则
该厂生产的3D NAND闪存的优质率为 .（参考数据： ，
， ）【答案】
【详解】由题意， ， ，故 .
故答案为：
7．研究人员在调查某园区内种植的某种植物的株高时，发现株高 （单位： ）服从正态分布
，若 ，则在该园区内随机抽取一株这种植物，株高超过 的概率约为
．
【答案】0.2
【详解】因为 ，所以 ,
解得 ．又由 得 ，
所以 ，
故株高超过的概率约为0.2．故答案为：0.2
