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1
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第三辑
导数（选填题）………………………………………………………………………
01
立体几何（选填题）…………………………………………………………………
07
直线与圆（选填题）…………………………………………………………………
16
圆锥曲线（选填题）…………………………………………………………………
22
2
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数列（选填题）………………………………………………………………………
36
3
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导数（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
10
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
利用导数求函数的
单调区间（不含
参）；求已知函数
的极值点
2024 年新高考I 卷
13
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
两条切线平行、垂
直、重合（公切
线）问题；已知切
线（斜率）求参数
2024 年新高考II
卷
11
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
函数对称性的应
用；函数单调性、
极值与最值的综合
应用；利用导数研
究函数的零点；判
断零点所在的区间
2023 年新高考I 卷
11
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
函数奇偶性的定义
与判断；函数极值
点的辨析
1
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C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
2023 年新高考II
卷
6
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则
a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
由函数在区间上的
单调性求参数
2023 年新高考II
卷
11
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数
既有极大值也有
极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
根据二次函数零点
的分布求参数的范
围；根据极值求参
数
2022 年新高考I 卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
用导数判断或证明
已知函数的单调
性；比较指数幂的
大小；比较对数式
的大小
2022 年新高考I 卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a
的取值范围是 ．
求过一点的切线方
程；求某点处的导
数值
2022 年新高考I 卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
求在曲线上一点处
的切线方程（斜
率）；求已知函数
的极值点；利用导
数研究函数的零点
2022 年新高考II
卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为
， ．
求过一点的切线方
程
近三年新高考数学导数选填题考查情况总结
2
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1.考点：涵盖利用导数求单调区间、极值点（2024 年新课标 Ⅰ 卷）；根据切线求参数（2024 年新
课标 Ⅰ 卷）；函数对称性、单调性与极值最值综合（2024 年新课标 Ⅱ 卷）；函数奇偶性判断（2023
年新课标 Ⅰ 卷）；由单调性求参数（2023 年新课标 Ⅱ 卷）；根据极值求参数范围（2023 年新课标
Ⅱ 卷）；用导数比较大小（2022 年新课标 Ⅰ 卷）；求切线方程（2022 年新课标 Ⅰ 卷、Ⅱ 卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值 5 - 6 分，注重考查导数工具在研究函数性质（单调性、极值、最值
等）及切线问题中的应用，对运算和逻辑推理能力要求较高。
1. 题型与分值：预计仍为选择题或填空题，分值 5 - 6 分。
2. 考查方向：持续考查导数与函数性质的结合，如根据函数单调性、极值情况求参数；可能增加与函数图
象（如切线、零点分布）、不等式的综合；也可能出现新颖的函数形式，考查对导数知识的灵活运用和创
新思维。
1. 八大常用函数的求导公式
（
为常数）
；例：
，
，
，
，
，
，
，
2. 导数的四则运算
（1）和的导数：
（2）差的导数：
（3）积的导数：
（前导后不导
前不导后导）
（4）商的导数：
，
3. 复合函数的求导公式
函数
中，设
（内函数），则
（外函数）
4. 导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数
的几何意义是曲线
在某点
处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
3
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直线的点斜式方程：已知直线过点
，斜率为
，则直线的点斜式方程为：
5. 用导数判断原函数的单调性
设函数y=f ( x)在某个区间内可导，如果f '( x)>0 ，则f ( x)为增函数；如果f '( x)<0 ，则f ( x)为减
函数.
6. 判别f ( x0)是极大（小）值的方法
当函数f ( x)在点x0 处连续时，
（1）如果在x0 附近的左侧f '( x)>0 ，右侧f '( x)<0 ，则f ( x0)是极大值；
（2）如果在x0 附近的左侧f '( x)<0 ，右侧f '( x)>0 ，则f ( x0)是极小值.
7. 常见的指对放缩
，
，
，
8. 常见的三角函数放缩
9. 其他放缩
，
，
，
，
，
，
10. 常见函数的泰勒展开式
（1）
，其中
；
（2）
，其中
；
（3）
，其中
；
（4）
，其中
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
4
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（8）
．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
，则（ ）
5
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A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知函数
，其导函数记为
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【名校预测·第二题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期试题）
已知曲线
的切线与曲线
也相切，若该切线过原点，则
．
【名校预测·第三题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期试题）
已知函数
，若经过点
且与曲线
相切的直线有三条，则
的取值范围是 ．
【名校预测·第四题】（2025 届湖南省长沙市雅礼中学高三4 月试题）
当
时，关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
（多选）已知函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则下列命题正确的是（ ）
A．当
时，
B．函数
有3 个零点
C．
的解集为
D．
，都有
【名师押题·第一题】已知函数
，若
与曲线
相切，则实数
．
【名师押题·第二题】已知函数
是
上的增函数，则
的最小值是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【名师押题·第三题】已知函数
恰有2 个极值点，则实数a 的取值范围为 .
【名师押题·第四题】（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有三个零点
B．
，使得点
为曲线
的对称中心
C．
既有极大值又有极小值
D．
，
，
【名师押题·第五题】（多选）函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
的极小值为0
B．若
有3 个零点
，
，
，则
C．若
，则
为奇函数
D．当
时，
在区间
上单调递增
立体几何（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
5
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆
锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的
高均为
，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
圆锥表面积的有关计
算、
锥体体积的有关计算、
圆柱表面积的有关计算
2024 年新高考II
7
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
求线面角
7
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卷
的体积为
，
，
，则
与平面ABC 所成角的正切值
为（ ）
A．
B．1 C．2 D．3
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2023 年新高考I 卷
12
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，
能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方
体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（
）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱
体
D．底面直径为
，高为
的圆柱
体
正棱锥及基有关计算
多面体与球体内切外接
问题
2023 年新高考I 卷
14
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台
中
，则该棱台的体积为 ．
台体体积的有关计算
2023 年新高考II
卷
9
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶
点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周
上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长
度或距离
圆锥表面积的有关计算
二面角的概念及辨析
2023 年新高考II
卷
14
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4
的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截
去一个底面边长为2，高为3 的正四棱锥，所
得棱台的体积为 ．
正棱台及基有关计算
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
8
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2022 年新高考I 卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四
棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.
若该球的体积为
，且
，则该正
四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
由导数求函数的最值
(不含参)
多面体与球体内切外接
问题
锥体体积的有关计算
球的体积的有关计算
2022 年新高考I 卷
9
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方
体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
求异面直线所成的角
求线面角
2022 年新高考II
卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三
棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
球的表面积的有关计算
多面体与球体内切外接
问题
2022 年新高考II
卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四
边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
锥体体积的有关计算
证明线面垂直
9
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A．
B．
C．
D．
近三年新高考数学立体几何选填题考查情况总结
考点：涵盖几何体体积（圆柱、圆锥、棱台、棱锥等，如2024 年新课标Ⅰ卷圆锥体积、2023 年新课
标Ⅰ卷正四棱台体积）、表面积（圆锥侧面积等，如2023 年新课标Ⅱ卷）、空间角（线面角，如2024 年
新课标Ⅱ卷）、球的表面积（2022 年新课标Ⅱ卷）及几何体性质综合（如2022 年新课标Ⅰ卷正四棱锥体
积范围）。
题型：以选择题为主，分值5 分，侧重考查空间想象能力、公式运用及计算能力。
2025 年新高考立体几何选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。
考查方向：延续对几何体体积、表面积的考查，可能涉及空间角（如线面角、二面角）、球与几何体
的切接问题，或出现新颖几何体，强化空间想象与运算求解能力的考查。
1. 平面初等几何基础
（1）三角形的面积公式：
（2）正方形的面积公式：
（3）长方形的面积公式：
（4）平行四边形的面积公式：
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（5）菱形的面积公式：
（
，
为菱形的对角线）
（6）梯形的面积公式：
（
为上底，
为下底，
为高）
（7）圆的周长和面积公式：
，
2. 立体几何基础公式
（1）所有椎体体积公式：
（2）所有柱体体积公式：
（3）球体体积公式：
（4）球体表面积公式：
（5）圆柱：
（6）圆锥：
3. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：
（2）已知三条面对角线求体对角线：
4. 球体问题
（1）球体体积公式：
，球体表面积公式：
（2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心
体心，直径
体对角线
已知长宽高
，
，
求体对角线，公式为：
，
（3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
，其中
为直棱柱的高，
为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
（4）墙角问题
可转化为类型Ⅰ
（5）侧棱
底面问题
可转化为类型Ⅱ
5. 异面直线所成角
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=
（其中
（
）为异面直线
所成角，
分别表示异面直线
的方向向量）
6. 线面角
直线
与平面所成角，
(
为平面
的法向量).
7. 二面角
的平面角
（
，
为平面
，
的法向量）.
8. 点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆
锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面
ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台
中，
，则该棱台的体
积为 ．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
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典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都
在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期第三次模拟试题）
底面半径为3 的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2 的圆锥，所得圆台的侧面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下学期模拟试卷）
一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的
底面半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第三题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知两个正四棱锥组合成的简单几何体
中，顶点
，
分别位于平面
的两侧．其中正
方形
的边长为2，两个正四棱锥的侧棱长均为3．则四棱锥
的外接球的表面积为 ．
【名校预测·第四题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期试题）
（多选）已知边长为2 的等边三角形
，点
均在平面
的上方，
，且
与
平面
所成角分别为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体
的体积为定值
B．
面积的最小值为
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C．四面体
体积的最大值为1
D．当四面体
的体积最大时，其外接球的表面积为
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
，P 为
的中点，
点
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则四面体
的体积为定值
B．若
，则点
的轨迹为一段圆弧
C．若
的外心为O，则
为定值2
D．若
且
，则存在点E 在线段
上，使得
的最小值为
【名师押题·第一题】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧
面的面积为
，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第二题】如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为
，杯底的半径为，高
为
，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），
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水恰好充满水杯，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第三题】已知正四棱台
的上底面
的边长为2，现有一个半球，球心
为正方形
的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球
相切，则该半球的
表面积为 .
【名师押题·第四题】（多选）如图，在直棱柱
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
，点
为
的中点，动点
在侧面
内（包含边界），则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．平面
与平面
所成角的余弦值为
C．若
，则点
轨迹的长度为
D．若点
在直线
上，则
的最小值为
【名师押题·第五题】（多选）如图，棱长为2 的正方体
中，点E，F 分别在棱
上，且
，
，其中
，点
是平面
内的一个动点（异于点
），且
，则（ ）
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A．
B．直线
与平面
所成的角的余弦值为
C．当
变化时，平面
截正方体所得的截面周长为定值
D．点
为
中点时，三棱锥
的外接球的表面积为
直线与圆（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2023 年新高考I 卷
6
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与
圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
切线长；给值求值
型问题；余弦定理
解三角形；已知点
到直线距离求参数
2023 年新高考II
卷
15
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于
圆的弦长与中点弦
16
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A，B 两点，写出满足“
面积为
”的
m 的一个值 ．
2022 年新高考I 卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆
和
都相切的一
条直线的方程 ．
判断圆与圆的位置
关系；圆的公切线
方程
2022 年新高考II
卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的
直线与圆
有公共点，则a
的取值范围是 ．
由直线与圆的位置
关系求参数；求点
关于直线的对称
点；直线关于直线
对称问题
近三年新高考数学直线与圆选填题考查情况总结
考点：涵盖切线问题（切线长、方程，如2023 年新课标Ⅰ卷）、弦长与面积（利用圆的性质求参数，
如2023 年新课标Ⅱ卷）、圆与圆位置关系（公切线方程，如2022 年新课标Ⅰ卷）、点线对称及位置关系
求参数（如2022 年新课标Ⅱ卷）。
题型：以填空题为主，分值5 分，侧重考查直线与圆的几何性质、方程求解及位置关系的综合运用，
注重计算与推理能力。
2025 年新高考直线与圆选填题高考预测
题型与分值：预计为填空题，分值5 分。
考查方向：延续对切线（方程、性质）、弦长面积的考查，可能涉及点线对称问题，或与其他知识综
合（如几何最值），强化几何直观与运算求解能力，注重对直线与圆位置关系的深度理解与应用。
1.两点间的距离公式
，
，
2.中点坐标公式
，
，
为
的中点，则：
3.三角形重心坐标公式
17
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4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；
，直线递增，
，直线递减，
（2）倾斜角：直线向上的部分与
轴正方向的夹角，范围为
（3）直线的斜率与倾斜角的关系：
不存在
5.两点间的斜率公式
，
，
6.直线的斜截式方程
，其中
为斜率，
为
轴上的截距
7.直线的点斜式方程
已知点
，直线的斜率
，则直线方程为：
8.直线的一般式方程
9.两条直线的位置关系
（1）平行的条件
①斜截式方程：
，
，
②一般式方程：
，
，
（2）重合的条件
①斜截式方程：
，
，
②一般式方程：
18
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，
，
（3）垂直的条件
①斜截式方程：
，
，
②一般式方程：
，
，
10.点到直线的距离公式
点
，直线
，点到直线的距离为：
11.两条平行线间的距离公式
，
，
12.圆的标准方程
，其中圆心坐标为
，半径为
13.圆的一般方程
（
）
配方可得：
，
圆心坐标为
，半径为
14.表示圆的充要条件：
15.点与圆的位置关系
已知点
，圆的方程为：
若
，点
在圆内
若
，点
在圆上
若
，点
在圆外
16.直线与圆的位置关系
直线
，圆
19
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代数关系
，其中
为联立方程根的个数，
几何关系
，其中
为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
18.圆与圆的位置关系
设圆
的半径为
，设圆
的半径为
，两圆的圆心距为
若
，两圆外离，若
，两圆外切，若
，两圆内切
若
，两圆相交，若
，两圆内含，若
，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4 条；两圆外切，公切线的条数为3 条；
两圆相交，公切线的条数为2 条；两圆内切，公切线的条数为1 条；
两圆内含，公切线的条数为0 条；
19.弦长公式
设
，
，
则
或：
20.圆上一点到圆外一点的距离的最值
21.圆上一点到圆上一点的距离的最值
22.圆上一点到直线距离的最值
23.过圆内一点的最长弦和最短弦
20
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最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满足
“
面积为
”的m 的一个值 ．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆
和
都相切的一条直线的方程
．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
已知
，
，若直线
上存在点P，使得
，则的取值范围为
.
【名校预测·第二题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025 学年高三下学期数学试题）
设直线
被圆
所截弦的中点的轨迹为
，则曲线
与直线
的位置关系
是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期数学试卷）
已知直线：
与圆
：
交于
，
两点，则
的一个充分不必要条件是
（ ）
21
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A．
B．
C．
D．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 学年数学试题）
设
，过定点A 的动直线
和过定点B 的动直线
交于点P，点P 到直线
的距离为d，则d 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第五题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025 届高三下数学试卷）
（多选）已知圆
，直线
（其中
为参数），则下列选项正确
的是（ ）
A．圆
的半径
B．直线与圆
相交
C．直线不可能将圆
的周长平分
D．直线被圆
截得的最短弦长为
【名师押题·第一题】已知过原点的直线与圆
相交于
两点，若
，则直线
的方程为 ．
【名师押题·第二题】若圆
被直线
所截得的弦长为10，过点
作圆
的切线，其中一个切点为
，则
的值为 .
【名师押题·第三题】已知点
，圆
上一动点P，以线段PF 为直径的圆
交
轴于
A，B 两点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第四题】已知圆
与圆
相交于两点
，
则四边形
的面积等于 .
【名师押题·第五题】已知
，
，点P 满足
，当
取到最大值时，
的
面积为（ ）．
22
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A．
B．
C．
D．
圆锥曲线（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考I 卷
11
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽
的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C 的一部
分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足:横坐
标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积为4，则（ ）
A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
由方程研究曲线
的性质
求平面轨迹方程
2024 年新高考I 卷
12
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直线交C 于A，
B 两点，若
，则C 的离心率
为 ．
求双曲线的离心
率
2024 年新高考II
5
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
求平面轨迹方程
23
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卷
（
），从C 上任意一点P 向x
轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中
点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
轨迹问题--椭圆
2024 年新高考II
卷
10
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，
过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
直线与抛物线交
点相关问题
切线长
根据抛物线方程
求焦点或准线
2023 年新高考I 卷
5
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆
的离心率
分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
由椭圆的离心率
求参数
2023 年新高考I 卷
16
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为
．
利用定义解决双
曲线中焦点三角
形问题
求双曲线的离心
率
2023 年新高考II
5
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆
根据直线与椭圆
24
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卷
的左、右焦点分别为
，
，直
线
与C 交于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
的位置关系求参
数
椭圆中三角形的
面积
2023 年新高考II
卷
10
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O 为坐标原
点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N
两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
求直线与抛物线
的交点坐标
与抛物线焦点弦
有关的几何性质
抛物线定义的理
解
根据焦点或准线
写出抛物线的标
准方程
2022 年新高考I 卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O 为
坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交
C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
判断直线与抛物
线的位置关系
求直线与抛物线
相交所得弦的弦
长
根据抛物线方程
求焦点或准线
2022 年新高考I 卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆
，C 的上顶点为A，两
个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直
于
的直线与C 交于D，E 两点，
，
则
的周长是 ．
椭圆中焦点三角
形的周长问题
根据离心率求椭
圆的标准方程
2022 年新高考II
卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O 为
抛物线定义的理
25
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坐标原点，过抛物线
焦点F
的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象
限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
解
求直线与抛物线
的交点坐标
数量积的坐标表
示
已知两点求斜率
2022 年新高考II
卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l
与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l
与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，且
，则l 的方程为
．
根据弦长求参数
由弦中点求弦方
程或斜率
近三年新高考数学圆锥曲线选填题考查情况总结
考点：涵盖求圆锥曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线）、离心率计算、轨迹方程、直线与圆锥曲线位
置关系（弦长、面积、交点性质），涉及定义、几何性质及代数运算（如2024 年新课标Ⅰ卷求轨迹方程、
Ⅱ卷直线与抛物线交点；2023 年新课标Ⅰ卷椭圆离心率、Ⅱ卷椭圆中直线与椭圆关系；2022 年新课标Ⅰ卷
抛物线性质、Ⅱ卷椭圆弦长）。
题型：以选择题为主，分值5-6 分，侧重考查圆锥曲线基本性质与直线和曲线综合问题的分析能力。
2025 年新高考圆锥曲线选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6 分。
考查方向：延续离心率、轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的考查，可能强化双曲线渐近线、抛物
线焦点弦性质，或与几何最值、参数范围结合，注重定义和性质的综合运用。
1. 点关于线对称的一般性结论
点(x,y)关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标为
26
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2. 直径端点圆的方程
若圆的直径端点
，则圆的方程为
3. 解析几何中的切线方程
①过圆
上任意一点
的切线方程为
②过椭圆
上任意一点
的切线方程为
③过双曲线
上任意一点
的切线方程为
④设 P(x0, y0) 为抛物 线 y
2=2 px 上的点, 则过该点的切线方程为y y0= p(x + x0)
4. 解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆
的切点弦方程为
②椭圆
的切点弦方程为
③双曲线
的切点弦方程为
④抛物线
的切点弦方程为
⑤二次曲线的切点弦方程为
5. 相切的条件
①椭圆
与直线
相切的条件是
②双曲线
与直线
相切的条件是
6. 斜率关系
若A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线
AC、BD 的斜率存在且不等于零,并有
,(
,
分别表示AC 和BD 的斜率)
27
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7. 常见不等式
已知椭圆方程为
，两焦点分别为
，
，设焦点三角形
中
，
则
(
)
8. 椭球体积
椭圆
绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
9. 纵坐标之和
y=kx+m 与椭圆
相交于两点，则纵坐标之和为
10. 渐近线围成的四边形面积
过双曲线
上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
11. 帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
12. 斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB 的斜率为定值
13. 椭圆和双曲线的结论汇总
椭圆
双曲线
标准方程
焦点
焦点
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焦半径
为离心率，
为点
的横坐标.
为离心率，
为点
的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点，
为焦点.
为双曲线上一点，
为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
如图，直线过焦点
与椭圆相交于
两点.则
的周长为
.
（即
）
如图，直线过焦点
与双曲线相交于
两点.则
.
焦点弦
倾斜角为
的直线过焦点
与椭圆相交
于
两点.
焦点弦长
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为
的直线过焦点
与双曲线相
交于
两点.
焦点弦长
.
与
数量关系
直线过焦点
与椭圆相交于
两点，
则
.
直线过焦点
与双曲线相交于
两
点，则
.
已知点
是椭圆上一点，
坐标原点，
则
.
已知点
是双曲线上一点，
坐标原点，
则
.
焦三角形
如图，
是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
如图，
是双曲线上异于实轴端点的一
点，已知
，
，
，则
（1）
；
（2）离心率
.
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垂径定理
如图，已知直线与椭圆相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
如图，已知直线与双曲线相交于
两
点，点
为
的中点，
为原点，则
.
（注：直线与双曲线的渐近线相交于
两点，其他条件不变，结论依然成
立）
周角定理
如图，已知点
椭圆长轴端点（短轴端
点），
是椭圆上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是椭圆上关于原
点对称的两点，
是椭圆上异于
的一
点，若直线
的斜率存在且不为
零，
如图，已知点
双曲线实轴端点，
是
双曲线上异于
的一点，
则
.
推广：如图，已知点
是双曲线上关于
原点对称的两点，
是双曲线上异于
的一点，若直线
的斜率存在且不
为零，
.
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直线过焦点
与椭圆相交于
两点，点
，
则
（即
）.
直线
过焦点
与双曲线相交于
两点，点
，
则
（即
）.
切线方程
已知点
是椭圆上一点，则椭圆
在点
处的切线方程为
.
已知点
是双曲线上一点，则双
曲线在点
处的切线方程为
.
14. 补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为
的直线过定点
，双曲线方程为
，过点
与双曲线相
切时的斜率为
.
（1）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当
时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当
时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当
时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，
是双曲线
的焦点，过点
作
垂直双曲线的其中一条渐近
线，垂足为
，
为原点，则
.
3．点
是双曲线
上任意一点，则点
到双曲线的渐近线的距离之积为定值
.
4．点
是双曲线
上任意一点，过点
作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线
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相交于
两点，
为原点，则平行四边形
的面积为定值
.
15. 抛物线的结论
如图，抛物线方程为
，准线
与
轴相交于点
，过焦点
的直线与抛
物线相交于
，
两点，
为原点，直线的倾斜角为
.
1．
2．焦半径：
，
，
.
3．焦点弦：
.
4．
的数量关系：
，
.
5．三角形
的面积
.
6．以焦点弦
为直径的圆与准线相切；以焦半径
为直径的圆与
轴
相切.
7．直线
的斜率之和为零（
），即
.
8．点
三点共线；点
三点共线.
9．如图，点
是抛物线
，
为原点，若
，则直线
过定点
.
16. 补充结论2
1.已知椭圆
（a＞b＞0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
.则
（1）
;
32
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（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
;
（3）
的最小值是
.
2.与
共轭的双曲线方程为
，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆
心，C 为半径的圆上；③
。
3.与
有相同焦点的双曲线方程为
4.与
有相同焦点的椭圆方程为：
5.与
有相同焦点的双曲线方程为：
6.与
有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在
轴上时：
②焦点在
轴上时：
7.与
有相同的渐近线方程为：
；
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C 的一部分.已
知C 过坐标原点O.且C 上的点满足:横坐标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积
为4，则（ ）
33
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A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行
于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
典例4
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
典例5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为 ．
典例6
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
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的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知抛物线
的焦点为
，
，
是抛物线上两点，且
，弦
的中点
在
的准线的射影为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，A 是双曲线C 的左顶点，以
为直
径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P，Q 两点，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025 数学试题）
设
为双曲线
的一个实轴顶点，
为
的渐近线上的两点，满足
，
，则
的渐近线方程是 ．
【名校预测·第四题】（贵州省贵阳市第一中学2025 届高三下学期数学试卷）
（多选）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
：
的焦点为
，直线与
交于
，
两点，
是
上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若过点
，则
为钝角
B．若
，则的斜率为
C．若
，则点
的纵坐标为1 时，
最小
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D．若四边形
为平行四边形，则过定点
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025 届高三下学期4 月月考数学试题）
（多选）已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，左，右顶点分别为
，
，
点
在
的右支上，
的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
是面积为2 的正三角形，则
C．在
中，
恒成立
D．若
，则
内切圆半径的取值范围为
【名师押题·第一题】已知椭圆
的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且
的面积等于
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第二题】已知椭圆
的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为
F，直线
与
交于点P，若
，则
．（S 表示面积）
【名师押题·第三题】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的左支
上，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则当
取最小值12 时，
面积的最大
值为 ．
【名师押题·第四题】（多选）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状
如图所示，其标准方程为：
，其中
是参数．已知某笛卡尔叶形线过点
，点
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是该曲线上的一点，则（ ）
A．当
时，
取到最大值
B．
的取值范围是
C．直线
是曲线的一条切线
D．若
是曲线的渐近线，则
【名师押题·第五题】（多选）已知
，
分别为双曲线
：
的左、右焦点，点
在
的左支上，且
与
交于另一点
，
为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
的坐标为
，则
的离心率的取值范围为
B．若
，
，则
C．若
，
，则
的最小值为4
D．若
，
，则
恒为定值
数列（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024 年新高考II 卷
12
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，
则
.
等差数列通项公
式的基本量计
算；求等差数列
前n 项和
2023 年新高考I 卷
7
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
充要条件的证
明；判断等差数
列；由递推关系
证明数列是等差
数列；求等差数
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为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
列前n 项和
2023 年新高考II 卷
8
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
等比数列前n 项
和的基本量计
算；等比数列片
段和性质及应用
2022 年新高考II 卷
3
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1 是中国
古代建筑中的举架结构，
是
桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为
举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相
等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的
斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
等差数列通项公
式的基本量计
算；已知斜率求
参数
近三年新高考数学数列选填题考查情况总结
考点：聚焦等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，如2024 年新课标Ⅱ卷12 题考查等差数
列通项与求和；2023 年新课标Ⅱ卷8 题涉及等比数列前n 项和计算。此外，还考查等差数列的条件判断
（2023 年新课标Ⅰ卷7 题）及性质应用（2022 年新课标Ⅱ卷3 题结合斜率）。
题型：以选择题为主，分值5 分，侧重对数列基本量计算、性质理解与推理能力的考查。
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2025 年新高考数列选填题高考预测
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5 分。
考查方向：延续对等差、等比数列通项与求和的考查，可能强化性质应用，或与函数、不等式等简单
结合，注重基本运算与推理能力，如通过通项公式求特定项，或利用求和公式判断数列性质。
1. 等差数列通项公式：
或
2. 等差中项：若
，
，
三个数成等差数列，则
，其中
叫做
，
的等差中项
3. 若
，
为等差数列，则
，
仍为等差数列
4. 等差数列前n 项和公式：
或
5. 等差数列的前
项和中，
，（
为奇数）
6. 等比数列通项公式：
7. 等比中项：若
，
，
三个数成等比数列，则
,其中
叫做
，
的等比
中项
8. 若
，
为等比数列，则
，
仍为等比数列
9. 等比数列前
项和公式：
10. 已知
与
的关系
11. 分组求和
若
为等差数列，
为等比数列，则
可用分组求和
12. 裂项相消求和
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典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
，
，则
.
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
（ ）．
A．120
B．85
C．
D．
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则
（ ）
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A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025 学年高三调研数学试卷）
设等差数列
的前
项和为
，且
，则
取最小值时，
的值为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．15 或16
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025 学年高三下学期3 月月考数学试题）
已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．511
B．61
C．41
D．9
【名校预测·第三题】（福建省福州第一中学2024-2025 学年高三数学试题）
设
是无穷数列，
，则“
是等差数列”是“
是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【名校预测·第四题】（山东省泰安第一中学2024-2025 学年高三下学期4 月月考数学试题）
已知数列
满足：
，
．若数列
满足
，则数列
的前20 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【名校预测·第五题】（广东省华南师范大学附属中学2024-2025 学年高三数学试题）
（多选）已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
，若
，则下列说法正确的
是（ ）
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A．当
最大
B．使得
成立的最小自然数
C．
D．
中最小项为
【名师押题·第一题】已知等比数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．15
【名师押题·第二题】已知正项等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．16
B．32
C．27
D．81
【名师押题·第三题】已知数列
是首项和公比均大于0 的无穷等比数列，设甲：
为递增数列；乙：
存在正整数
，当
时，
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【名师押题·第四题】已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【名师押题·第五题】已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
42
