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数列
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
数列
2024 全国新高考I 卷19
2024 全国新高考Ⅱ卷
12、19
2023 全国新高考I 卷7、
20
2023 全国新高考Ⅱ卷8、
18
2022 全国新高考I 卷17、
2022 全国新高考Ⅱ卷3、
17
关于数列的考查，命题比
较灵活.随着整卷题量的减
少，更趋于综合化，难度
有增大趋势.应注意以下几
个方面的问题：
1.等差数列、等比数列基
本量的计算；
2.数列的求和问题；
3.数列的应用、数列与其
它知识的交汇问题；
4.数列与不等式的证明；
5.数列的新定义问题.
1.等差等比数列及求和在高考中主要
考查基本量的基本运算，是常规求和
方法发的基本应用。包括：错位相减
求和，奇偶性求和，列项求和等。
2.情景化与新定义是高考的一个新的
考点，一般采用学过的知识去解决新
定义问题，因加以重视，是高考的一
个方向，并且作为压轴题的可能性比
较大，难度大。
3.知识的综合是未来高考的一个重要
方向，主要是数列与统计概率相结
合，数列作为一个工具与解析几何，
函数结合等，属于中等难度。
题型一 等差数列及其前n 项和
1．已知等差数列
满足
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知等差数列
的前n 项和为
，且
，则
（ ）
A．0
B．10
C．15
D．30
3．将数列
中与数列
相同的项剔除，余下的项按从小到大的顺序排列得到数列
，则数列
前10 项的和为（ ）
1
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A．205
B．234
C．239
D．290
4．（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递减数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
5．已知数列
的前n 项和为
，且
，则
= ．
6．在等差数列
中，公差
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
是
与
的等比中项
B．
是
与
的等比中项
C．
是
与
的等比中项
D．
是
与
的等比中项
7．（多选）已知数列
满足
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，则
是等差数列
B．若
，
，则
是等差数列
C．若
，
，则
是等比数列
D．若
，
，则
是等比数列
题型二 等比数列及其前n 项和
1．记等比数列
的前
项和为
，若
，则公比
（ ）
2
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A．
B．
C．
或1
D．
或1
2．已知
是各项均为正数的等比数列，且
，
，
成等差数列，则
的值是（ ）
A．
B．
C．9
D．16
3．在计算机科学中，八进制是一种数字表示法，它使用0～7 这八个数字来表示数值．例如，八进制数
3750 换算成十进制数是
，那么八进制数
转换成十进制数
时，
（ ）
（参考数据：
）
A．7
B．8
C．9
D．10
4．已知数列
满足
，
.若数列
是公比为2 的等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知等比数列
的公比为
，前
项和为
．则下列说法中错误的是（ ）
A．数列
是摆动数列
B．
C．
D．
成等比数列
6．已知等差数列
的公差
，且
成等比数列，则数列
的前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．505
D．1013
3
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7．已知
为数列
的前
项和，且
，若
对任意正整数
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三 等差、等比数列的性质
1．（多选）已知数列
是公差不为0 的等差数列，前
项和为
，满足
，下列选项正确的
有（ ）
A．
B．
C．
最小
D．
2．（多选）数列
的前
项和为
，已知
，则（ ）
A．
是递增数列
B．
C．当
时，
D．当且仅当
时，
取得最大值
3．已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．已知等差数列
、
的前
项和分别为
、
，若
，对
，
，
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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5．已知数列
和
都是等差数列，且前n 项和分别为
，
，若
，则
.
6．已知数列
的前
项和为
，其中
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）已知数列
是等差数列，公差
，前n 项和为
，且
，则（ ）
A．
时，
最小
B．
时，
最小
C．
最小时，
或9
D．
最小时，
或9
8．（多选）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，若
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
中的最大值是
D．数列
无最大值
9．已知数列
的前
项和
满足
，则
的取值范围是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
10．已知
别为等差数列
的前
项和，
，设点
是直线
外一点，点
是直线
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四 数列求和
1．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．记
为等比数列
的前
项和，已知
，
，数列
是公差为1 的等差数列，且
．
(1)求数列
和
的通项公式．
(2)求数列
的前
项和
．
6
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3．（多选）数列
的前
项和
，且
，
，则（ ）
A．数列
为等比数列
B．
C．
D．
4．已知数列
满足
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；
（ii）若
成立，求m 的取值范围．
5．在①
，
；②
这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横
线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且对任意正整数
，有________.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
6．已知数列
的前
项和为
，且满足
，若
.
7
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(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，
（ⅰ）试比较
与
的大小，并说明理由；
（ⅱ）若数列
的前项和为
，求证：
.
7．已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等差数列，
，
数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
8．已知正项数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
；
(2)在数列
的每相邻两项
、
之间依次插入
、
、
、
，得到数列
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，求
的前
项和
．
8
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题型五 数列与不等式综合
1．正项数列
的前
项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
(3)在（2）的条件下，若对于任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
2．已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)在（2）的条件下，令
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
3．已知等差数列
的各项均为正数，其前
项和为
，且
，函数
．
(1)求
；
(2)若
恒成立，求a 的值；
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(3)设
，求证：
．
4．设整数
，
且
，函数
．
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，证明：
．
题型六 数列与其他知识综合
1．甲、乙两企业，2019 年的销售量均为p(2019 年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n 年的总销
量为
，乙企业第
年的销售量比前一年的销售量多
．
(1)求甲、乙两企业第n 年的销售量的表达式；
(2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的
，则该企
业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由．
2．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则
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挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为
，派出专识题的概率为
.
已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为
，且各轮答题正确与否相互独立.
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
(2)记该选手在第
轮答题结束时挑战依然未终止的概率为
，
（i）求
；
（ii）证明：存在实数
，使得数列
为等比数列.
3．ACE 球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分
的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE 球，则换人发球，若未
发出ACE 球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE 球的概率均为
，记
“第
次发
球的人是甲”．
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
和
．
4．曲线
的方程
中，用
替换
，
替换
得到曲线
的方程
，把
这种
的变换称为“伸缩变换”，
，
分别称为
轴和
轴的伸缩比.
(1)若曲线
的方程为
，伸缩比
，求
经过“伸缩变换”后所得到曲线
的标准方程；
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(2)若曲线
的方程为
，经过“伸缩变换”后所得到曲线
是离心率为
的椭圆，求
的值；
(3)对抛物线
作变换
，得抛物线
；对抛物线
作变
换
，得抛物线
，如此进行下去，对抛物线
作变换
，得抛物线
，若
，记数列
的前
项和为
，
求证：
.
5．已知函数
．数列
的首项
．以后各项按如下方式取定：记曲线
在
处的切线为
，若
，则记
与
轴交点的横坐标是
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
6．如图所示，
，
，…，
，…是曲线
上的点，
，
，…，
，…是
轴正半轴上的点，且
，
，…，
，…均为等腰直
角三角形（
为坐标原点）．
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(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，集合
，
，若
，
求实数的取值范围．
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