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高三开学摸底考试卷
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B C D C A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD BCD BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．4
13．3
14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）依题意，由 ，可得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
整理，得 ， ，
∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ；
（2）依题意及（1），由 可得 ，
则 ，
，
两式相减，可得
，
∴ ，故得证．
16．（15分）【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，
则 ，可得 ，
所以 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）是平行四边形， 平面 ， ， ，
，且 .
假设线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，
以 为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，则 ，
可得 ， ，
设 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
故 ，
整理得 ，解得 或 ，所以 或 .
17．（15分）【详解】（1）用 表示甲第i个问题回答正确， 表示甲第i个问题回答错误，则 ;
.
记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
.
即甲同学能进入下一轮的概率为 .
（2）由题意知 的可能取值：0，1，2，
∴; ,
，
，
∴ 的分布列为：
0 1 2
∴ ,
即数学期望 为 .
18．（17分）【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
则 ： ；
（2）（ⅰ）设直线 ： ， ， ，
联立 ，得 ，则有 ， ，
且 ，则 ，
则
，
设 ，
则 ，
则 .
（ⅱ）设 ，则 ，
设直线 ， ： ， ，
即分别为： ， ，
由 ，则 到直线 ， 的距离相等，
联立 ，有 是其中一组解，
又 与 等价，
不妨设 ，则有 ，
即 ，即 ，
可得 ，又 ，即 ，
则有 ，
通分并整理得：
.
代入得
.
化简得 .
故 ，则 ，则 .
19．（17分）【详解】（1）由题意， ， ，
恒成立，所以 在 上单调递增，可得 的值域为 ，
因此只需 ，
即可得 ，即 ，
则 的取值集合为 ．
（2）（i）记函数 ，
则 ，
由 得 或 ；由 得 ；
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
其中 ，因此当 时， ，不存在零点；
由 在 单调递减，易知 ，而 ，
由零点存在定理可知存在唯一的 使得 ；
当 时， ，不存在零点．
综上所述，函数 有0和 两个零点，即集合 中元素的个数为2．
（ii）由（i）得 ，假设长度为 的闭区间 是 的一个“封闭区间” ，
则对 ， ，
当 时，由（i）得 在 单调递增，，即 ，不满足要求；
当 时，由（i）得 在 单调递增，
，
即 ，也不满足要求；
当 时，闭区间 ，而 显然在 单调递增，
，
由（i）可得 ， ，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为 的闭区间 ，使得 是 的一个“封闭区间”．
