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第九章 统计与成对数据的统计分析
§9.2 用样本估计总体
【考情分析·探规律】
考点 考情分析（2021-2024） 命题趋势
2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国甲卷
2023·全国乙卷、2023·新课标Ⅰ卷
会用统计图表对总体进行估
2023·新课标Ⅱ卷、2022·全国乙卷
计，会求n个数据的第p百分位
样本的数字特征 2022·全国甲卷、2022·天津
数.2.能用数字特征估计总体集中
2022·新高考全国Ⅱ卷、2022·北京
趋势和总体离散程度。
2021·天津、2021·全国甲卷、
2021·全国乙卷、2021·新高考全国Ⅰ卷
【知识梳理】
1.百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于或等于这个
值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
2.平均数、中位数和众数
1
(1)平均数：x＝ ( x ＋ x ＋ … ＋ x ).
n 1 2 n
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数
时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
n n
1 1
(1)方差：s2＝ Σ ( x －x ) 2 或 Σ
x2 －x2
.
n i n i
i=1 i=1
√ n
1
(2)标准差：s＝❑ Σ (x −x) 2.
n i
i=1
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y ，Y ，…，Y ，总体平均数为Y，则总体方差S2＝
1 2 N
N
1
Σ (Y－Y)2.
N i
i=1(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y ，Y ，…，Y，其中Y 出
1 2 k i
k
1
现的频数为f(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝ Σ f(Y－Y)2.
i N i i
i=1
【名师点拨】
1.若x ，x ，…，x 的平均数为x，那么mx ＋a，mx ＋a，…，mx ＋a的平均数为mx＋a.
1 2 n 1 2 n
2.数据x ，x ，…，x 与数据x ′＝x ＋a，x ′＝x ＋a，…，x ′＝x ＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不
1 2 n 1 1 2 2 n n
变.
3.若x ，x ，…，x 的方差为s2，那么ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( )
(2)一组数据的第p百分位数可以不唯一.( )
(3)方差与标准差具有相同的单位.( )
(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.( )
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是( )
A.平均数 B.众数
C.百分位数 D.标准差
3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班 8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，
87，93，则该组数据的平均数和众数分别是( )
A.86，84 B.84.5，85
C.85，84 D.86.5，84
4.已知一组从小到大排列的数据为 a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则
2a＋b＝ .
【必练核心题型】
题型一 样本数字特征的估计
【典例】1.(多选)随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样
本数据：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有( )
A.平均数为101 B.极差为9
C.方差为8 D.第60百分位数为101【典例】2.如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，
下列判断正确的是( )
A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12
【变式训练】
变式1.(多选)某次比赛通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为 7，12，13，17，18，20，
32，则( )
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为19
C.该组数据的平均数为17
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
变式2.若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，
95，则这组数据的众数是 ；中位数是 .
题型二 总体集中趋势的估计
【典例】1.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学
习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考
情况，随机抽取了 100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，
110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比【典
例】)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
【变式训练】
变式1.某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻
炼的时间，并以此作为样本，按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行
分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在[50，60)内的学生有10人.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).题型三 总体离散程度的估计
【典例】1.某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配
对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量
处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 x，y(i＝1，
i i
2，…，10).试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率x 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
i
伸缩率y 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
i
记z＝x－y(i＝1，2，…，10)，z ，z ，…，z 的样本平均数为z，样本方差为s2.
i i i 1 2 10
(1)求z，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z
√ s2
≥2❑ ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，
10
否则不认为有显著提高).
【变式训练】
变式1.某校随机抽取了100名学生参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名学生的成绩(单
位：分)，然后按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，
已知b＋0.03＝2a.
(1)求a，b的值，并估计参加竞赛的学生成绩的第30百分位数；
(2)已知成绩在[80，90)内所有学生的平均成绩为84分，方差为6，成绩在[90，100]内所有学生的平均
成绩为98分，方差为10，求成绩在[80，100]内所有学生的平均成绩x和方差s2.【限时训练】 （限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的( )
A.极差 B.平均数
C.中位数 D.众数
2.若一组数据x ，x ，…，x 的方差为9，则数据2x ＋1，2x ＋1，…，2x ＋1的方差为( )
1 2 n 1 2 n
A.9 B.18
C.19 D.36
3.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则( )
A.a＝0.1
B.车速众数的估计值是70
C.车速平均数的估计值大于其中位数的估计值
D.车速中位数的估计值是62.5
4.某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.
成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数，方差 B.中位数，方差
C.中位数，众数 D.平均数，众数
5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通
过体重(kg)除以身高(m)的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度上可以反映人体密度.一般情况下，
我国成年人的身体质量指数在18.5~23.9内属正常范围.已知A，B，C三人的体质指数的平均值为20，方差
为3.D，E两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为( )
17 14
A. B.
5 5
17 14
C. D.
3 3
6.已知数据x ，x ，x ，…，x 满足x－x ＝1(2≤i≤10)，若去掉x ，x 后组成一组新数据，则新数据与
1 2 3 10 i i－1 1 10
原数据相比，下列说法错误的是( )
A.中位数不变
B.若x ＝1，则数据x ，x ，x ，…，x 的第75百分位数为7.5
1 1 2 3 10
C.平均数不变
D.方差变小
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的
件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是( )
A.极差是4
B.众数小于平均数
C.方差是1.8
D.数据的80%分位数为4
8.移动互联网时代，智能终端市场商机无限，全球商家强势抢攻市场.通过同比数据发现，中国智能手机市
场呈现出积极的增长趋势.据报载，2023年11月，中国市场智能手机新机激活量为2 871万台，同比增长
本期数据−去年同期数据
12.9%(同比增长率＝ ×100%)，具体分为7个品牌排名，统计数据如表所示，
去年同期数据
则下列说法正确的有( )
排名 品牌 当月新机激活量/万台 同比新机激活量增长/万台
No.1 A 604.4 13.0
No.2 B 524.3 160.5No.3 C 403.1 45.0
No.4 D 401.4 172.9
No.5 E 383.3 －47.5
No.6 F 376.3 －44.8
No.7 G 178.2 28.0
A.该月7个品牌同比新机激活量增长数据的极差为125.4
B.该月7个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数
C.该月D品牌新机激活量同比增长率大于75%
D.去年同期中国市场智能手机新机激活量小于2 600万台
三、填空题(每小题5分，共10分)
3
9.一组数据按从小到大的顺序排列为 2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的 ，则该组数
5
据的第40百分位数是 .
10.已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)第8届中国－南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开
幕.本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国
家、地区和国际组织参会，2 000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行
评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表：
分数 [90，92) [92，94) [94，96) [98，100]
频数 10 10 20 20
(1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；(6分)
(2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(7分)12.(15分)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生.为分析他们的
英语成绩，该老师计划用按比【典例】分配的分层随机抽样的方法抽取 18名学生，统计他们英语考试的
分数.
(1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为 01~60，按照以下随机
数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一
行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；(5分)
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322
8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943
(2)已知甲班的样本平均数为x ＝72，方差为s2＝92，两班总的样本平均数为x＝76，方差为s2＝96.
1 1
①求乙班的样本平均数x 和方差s2；(5分)
2 2
√s2 ＋s2
②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果|x －x |≥2❑ 1 2，则认为两班学生的英语成绩有明
1 2
9
显差异，否则不认为有明显差异)(5分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中
位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为( )
A.12 B.20
C.25 D.27
2 024 2 024
14.已知实数x ，x ，…，x ，则使 ∑ |x－k|和 ∑ (x −k) 2 最小的实数k分别为x ，x ，…，x 的
0 1 2 024 i i 0 1 2 024
i=0 i=0
( )
A.中位数，标准差 B.平均数，中位数
C.中位数，平均数 D.标准差，平均数
