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冲刺2026年高考数学分题型专项突破
狂练小题（三）
（题组1）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（2026·福建泉州·一模）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0或 D．0或
【答案】C
【详解】设复数 ，则 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 .
2．（2026·四川德阳·二模）已知集合 ，若 ，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知集合 ，
因为 ，所以 .
3．（2026·湖北宜昌·二模）若椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由题意可求出 之间的关系，结合离心率 ，即可求得答案.
【详解】设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，
由于椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，故 ，即 ，
故椭圆 的离心率为 .
4．（2026·湖北黄冈·一模）函数 的图象关于点 对称，且直
线 与函数 图象的相邻两交点间距离为 ，则正实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线 与函数 图象的相邻两交点间距离为 ，求得最小正周期；根据正
切函数的对称性求得 ，从而求得其最小值.
【详解】因为直线 与函数 图象的相邻两交点间距离为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以 .
由函数 的图象关于点 对称，
得 ，所以 .
所以正实数 的最小值为 .
5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在 上的偶函数 满足 ，且当时， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【详解】因为 是偶函数，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 是以4为周期的函数，
所以 ．
6．（2026·北京平谷·一模）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气
臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量 与时间 （单位：年）的关系为 ，
其中 是臭氧的初始含量， 为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和
释放进行控制，经过 年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过 年，臭氧
含量只剩下初始含量的 ， 约为（）（参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意， 年臭氧剩一半可得衰减常数 ，代入臭氧剩 的条件
，再利用参考数据计算出 .
【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为 ，
已知经过 年臭氧含量剩下一半，即 ，
两边同时取对数得： ，所以 ，要求臭氧含量剩初始含量的 ，即 ，所以 ，即 ，
由 ， ，得 ，
代入得： 年，
因此，经过约 年臭氧含量只剩下初始含量的 .
7．（2026·福建龙岩·一模）已知线段 是圆 的一条动弦，且 .若点
为直线 上的任意一点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．35
【答案】A
【分析】利用圆的性质求出弦 中点 的轨迹，再根据向量运算将 转化为与点
相关的形式，最后结合点到直线的距离公式求出最小值.
【详解】设弦 中点为 ，根据圆的性质， ，
，
所以点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
其方程为 .
因为 ，
所以 ，
的最小值为圆心 到直线 的距离 减去圆 的半径2.
，
.
故选：A.8．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）已知 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数和对数运算，先估算出 的取值范围，再用对数运算来估算
和 ，即可得到判断
【详解】由 ， ，则有 ， ，
由 ，有 ，
由 ，得 ，即 ，
则有 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（25-26高三上·广西·期末）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
， ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B． 的面积为
C． D．
【答案】AB
【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可.
【详解】对于A，根据余弦定理 ，
得 ，因此 ，故A正确；
对于B，根据三角形面积公式 ，
可得 ，故B正确；
对于C，根据正弦定理， ，
可得 ，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，故D不正确．
故选：AB.
10．（2026·湖北荆州·一模）在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
， ，点E，F，G分别为棱 的中点，则（ ）
A．
B． 平面
C．异面直线 与 所成角的正切值为2
D．直线 与平面 所成角为
【答案】CD
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判断A；求出平面 的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角
的向量求法可判断CD.
【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
， ，
故 不垂直，A错误；
设平面 的法向量为 ， ,
则 ，可取 ，而 ，
，故 和平面 不平行，B错误；
， ， ,
设异面直线 与 所成角为 ，则 ， ，
则 ，C正确；
设平面 的法向量为 ， , ，
则 ，可取 ，而 ，则 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
故直线 与平面 所成角为 ，D正确.
11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知圆 ，抛物线 的
焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点 时， ，直线l与E相交于A，B两点，
则（ ）
A．
B．若 ，则直线PF与圆C相切
C．若M为C上一点，则 的最小值为1
D．存在直线l，使得A，B两点关于 对称
【答案】ABD
【分析】根据焦半径公式求得 判断A，求出直线 的方程，然后利用圆心到直线的
距离等于半径判断B，设 ，利用二次函数性质求得 最小值为4，进而利用圆
的性质求得 最小值为 判断C，设 ，与抛物线方程联立，利用韦
达定理求出中点坐标，代入 求出 ，与 判断D.
【详解】因为当P运动到点 时， ，所以 ，故A正确；
抛物线 ，其焦点 ，圆 的圆心 ，半径为 ，
设 ，则 ，
解得 ，则 ，
故直线PF的方程为 ，因为圆心 到直线PF的距离为
，
所以直线PF与圆C相切，故B正确；
由上可知， ，即 的最小值为4，
所以 的最小值为 ，故C错误；
假设存在直线l使得A，B两点关于 对称，
设直线 ， ， ，
由 ，消去x得， ，
则 ，解得 ，
又 ， ，
则 ，解得 ，符合题意，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·河南南阳·一模）已知函数 的图象恒过定点 ，且函数
的图象在 处的切线也经过点 ，则 ______．
【答案】 /【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数 的图象在 处的切
线方程，代入点 的坐标，可得 .
【详解】对函数 ，令 ，则 ，得 .
所以 .
函数 的定义域为 ， .
，所以 .
所以函数 的图象在 处的切线方程为 .
因为该切线过点 ，所以 ，解得 .
13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，
，则 ______．
【答案】2n
【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得 ，然后根据通项与前n项和的关系
可得数列的通项公式．
【详解】因为 ，等式两边同时除以 ，
得 ，当 时， ，
所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列，
所以 ，即 ，
所以当 时， ，
当 时， 也符合上式，所以 ．
14．（25-26高三上·贵州黔南·期末）第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者
奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事.若要把4名新加
入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少能分配到1名志
愿者，共有_____种分配方法.设这4名志愿者中被分配到A场馆的人数为 ，则 的数学
期望为_____.
【答案】 36 /
【分析】根据题意有两名志愿者去同一场馆，进而根据排列组合分组分配问题得共有
（种）分配方法；再结合 的可能取值为1，2，求解对应概率计算期望即可.
【详解】4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的场馆，每个场馆至少1名志愿者，
故有两名志愿者去同一场馆，有 种情况，再将这个2人小组和另外2名志愿者（共三
个整体）分配到三个不同的场馆中,
故共有 （种）分配方法.
的可能取值为1，2，且 ， ，
所以 .
（题组2）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（2026·浙江宁波·二模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据一元二次不等式化简集合 ,即可根据元素与集合的关系求解.
【详解】由 可得 ，
结合 ，由于 ,故
故
2．（2026·湖北荆州·一模）已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标公式和充分条件及必要条件求解.
【详解】充分性分析： ， ， ，
， ，故充分性成立；
必要性分析： ， ，
， ，
， ， ，故必要性不成立.
故“ ”是“ ”的充分不必要条件
3．（2026·广东·一模）已知 为虚数单位，复数 ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得.
【详解】因 ，
则 .
4．（2026·江苏·一模） 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】二项展开式的通项公式为 ，
整理得： ，
令 ，解得： ，
展开式中常数项为： .
5．（2026·贵州安顺·一模）记 为各项均不相同的等差数列 的前n项和，若 ，
是 与 的等比中项，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】由等差数列的基本量表示与等比中项概念列方程组求出首项和公差，写出通项公
式求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
则由题可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，故选：A.
6．（2026·湖北宜昌·二模）三棱锥 满足 ，且
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由底面三角形的已知边角求出其外接圆半径，结合侧棱相等得到高，再利用球
心在高的线上且到顶点和底面顶点距离相等求出球半径，最后计算表面积.
【详解】设点 在底面 的投影为 ，因为 ，
所以点 是 的外心，则 ，且 底面 ，球心 在 上，
由正弦定理得 外接圆的直径径 ，解得半径 ，
即 ，则 ，
设 ，外接圆半径为 ，则 ，
则 ，且 ，
则 ，解得 ，则外接球半径 ，
则三棱锥 外接球的表面积为 .7．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线 ， ， 分别为左、右焦
点，过 且倾斜角为60°的直线 与 在第一象限的交点为 ， 的平分线与线段
交于点 ．若 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.
【详解】因为直线 的 ，由角平分线性质定理可知 ，
所以 ，由双曲线的定义可知 ，所以
，
在 中由余弦定理可得 ，
即 ，整理得 ，
两边同除以 可得 ，解得 或 （舍去）．
故选：C
8．（2026高三·全国·专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要
的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点
定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点函数”，
给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在 上均存
在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义得到 ， ， ，得到三个具体的等式，
构造函数，通过研究函数的单调性可比较大小.
【详解】由已知可得， ，即 ，所以 ，即
.
由 得 .
由 得 .
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以 ，即 .
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递减.
又 ， ，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减.
又 ， ，
所以 .
综上可得， .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·辽宁抚顺·一模）在 中，角 的对边分别为 外接圆的半
径为2，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 面积的最大值为
D．若 ，角 的平分线交 于点 ，则
【答案】BCD
【分析】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对C，根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定
理求出 ，利用三角形面积关系 ，求出答案.
【详解】对于A，因为 ，所以
，
所以 ，又 ，即 ，
则 ，
又 ，所以 ，解得 ，故 ，故A错误；
对于B，因为 ， 外接圆的半径 ，所以 ，故B
正确；
对于C，因为 ，即 ，
又 ，所以 ，得 ，当且仅当 时，取等号，
所以 ，即 面积的最大值为 ，故C正确；
对于D，由 结合 ，解得 ，
由 ，即 ，
解得 ，故D正确.
10．（2026·湖北黄冈·一模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码
领域中得到应用．已知大衍数列 满足 ， ，则正确的有
（ ）A． B．
C． D．数列 的前20项和为110
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可得 ， ， ，
，故A正确；
对于B，因为 为偶数，所以 ，
因为 为奇数，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，因为 为偶数，所以 ，
又因为 为奇数， ，
所以 ，所以 ，
所以
，故C错误；
对于D，数列 的前 项的和为 ，
所以
，故D正确.
11．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
．若 ， 为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对 进行变形可判断A，分析 的对称性和周期性可判断B，
由已知变形得到 和 的两个方程并联立可判断C，先计算得到
的值，由 的周期性及 和 的值计算可判断D.
【详解】对于A，由 ，可得 ，
两式相减可得 ，故A正确；
对于B，由 为偶函数，可得 ，
即 ，所以 的图象关于直线 对称，
由 ，两边求导得 ，即 ，
所以 是以4为周期的周期函数，
则有 ，无法推出 ，故B错误；
对于C，由 ，两边求导得 ，
即 ，令 ，可得 ，
又 ，令 ，可得 ，
并联立 ，解得 ，故C正确；对于D，由 ，当 时， ，又 ，可得 ，
当 时，可得 ，
由 ，即 ，
所以 ，令 ，可得 ，
所以 ，令 ，可得 ， ， ，
由A知 的周期为4，则 ，所以 ，
，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量 ， ，则
______.
【答案】 /
【详解】由题意得 .
13．（2026·北京·模拟预测）直线 与圆 交于 ， 两点，
若 是 ， 的等差中项，则 的最小值为____________．
【答案】6
【分析】由等差中项的条件确定直线过定点 ，且定点 在圆 内，所以 时，
的值最小.
【详解】由题意得 ，即 ，直线 ，
整理得 ，令 ，解得 ，故直线过定点 ，设圆 的圆心为 ，半径 ，
且圆心 到 的距离 ，
定点 在圆 内，所以当 时， 的值最小，
即 .
14．（2025·宁夏银川·三模）已知正方体 的棱长为1，点P在正方体的内
切球表面上运动，且满足 平面 ，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】根据平面 平面 可得点 的轨迹是平面 与正方体内切球的交线，
根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值.
【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点 ，内切球半径 .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，同理可得 平面 ，
∵ 平面 ， ，∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，故点 的轨迹是平面 与正方体内切球的交
线，此交线为圆，记圆心为 .如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
∴点 到平面 的距离为 ，
∴圆 的半径为 ，
由 得， ，
∴ ，∴ 的最小值为 .
故答案为： .
（题组3）
（限时时间：40分钟 试卷满分：73分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（2026·河北张家口·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，所以 ，
所以 .
2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关
于实轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，故复数 在复平面内所对应的点的坐标为
，
因为在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，故复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，即 .
3．（2026·北京密云·一模）已知 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【详解】对于A，因为 ，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向
不变， ，故A错.
对于B，因为函数 在 上单调递增， ，所以 ，故B正确
对于C， 已知 且 ，说明 ，那么 ，不等式两边同除以 ，不等式
方向不变，所以 ，故C正确.
对于D，已知 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以
，故D正确.
4．（2026·山东淄博·一模）有5名同学 ， ， ， ， 参加唱歌比赛，抽签决出出场
顺序.若 和 都不是第1个出场，且 不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数
为（ ）
A．42 B．50 C．54 D．60
【答案】D
【分析】根据题意，分 是第1个和 不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合
排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，分 是第1个和 不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论：
当 是第1个时，此时剩余的 全排列，共有 种不同的排法；
当 不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从 中选一人为第1个，有 种选法；
再排 ，有三个位置可选，有 种排法，最后三人全排列，有 种排法，
所以共有 种不同的排法，
由分类计数原理得，共有 种不同的排列情况.5．（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 .
已知 ， ，所以 .
则 ，即 .
因 表示点 到原点的距离，而点 是直线 上的点，
故 的最小值即为原点到直线 的距离 ，
因为点 在直线 上，所以 可无限大，
所以 的取值范围是 .
6．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆 上有两个动点 满足 ，
为线段 的中点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ， 为椭圆的右焦点，则 ，再根据
代入数据即可求得答案．
【详解】设 ， ， 为椭圆的右焦点，由题意，椭圆的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
∴ ，
同理可得， ，
而 ，
即 ，解得 ，则 的最大值为1.
7．（2026·河南许昌·模拟预测）在正四棱台 中， ，若侧面
与底面的夹角为 ，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过作图，利用正四棱台的性质可得 为侧面与底面所成的二面角的平面角，
结合条件，求出正四棱台的高，再由棱台的体积公式求解.
【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为 ，连接 ，则 平面
，
取 的中点 ，连接 ，易知 ，且 ，
过 作 交 于 ，则 平面 ，又 平面 ，则
，
故可得 平面 ，则 ，则 为侧面与底面所成的二面角的平面角，
则 ，
又 ，则 ， ，由 ，得到 ，即 ，
又 ，
所以四棱台的体积为 .
8．（2026·贵州毕节·二模）已知函数 的图象过点 ，且无
限接近直线 ，但又不与该直线相交，则 的值为（ ）
A． B．4 C． 或 D．
【答案】A
【分析】由函数所过的点和 推知 ，根据对数函数的图象无限靠近 轴，类
比分析得到 ，从而列方程组得解.
【详解】由题知， ，即 ，
又 ，则 ，解得 ，
由对数函数性质， 无限接近 ，
则 时， ，即 ，
故 ，解得 ，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，
随机事件 存在如下关系： ．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为 ，选择户外运动
的概率为 ．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为 ；如果
第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为 ．则张同学（ ）
A．第二天去室内健身的概率为
B．第二天去户外运动的概率为
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
【答案】ACD
【详解】设 表示张同学第一天选择室内健身， 表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动， 表示张同学第二天选择户外运动.
则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，因为 ，故B错误；
对于C，因为 ，故C正确；对于D，因为 ，故D正确.
10．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为
， ，过点 的直线与 的左支相交于 两点， ， ，则
（ ）
A． B．
C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
【答案】AC
【分析】设 结合双曲线的定义与勾股定理即可得 的值，从而进行判断.
【详解】
如图，由 ，可设 .因为 ，所以 .
对于A、B：设 则 ，解得 ，所以
，故A正确，B错误；对于C：在 中，由 ，得 ，则 ，从而双
曲线 的离心率为 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以直线 的斜率为 ，故D 错误.
11．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若数列 满足：
，则称数列 为有限稳定数
列，记 为数列 前 项和，下列结论正确的是（ ）
A．首项为1，公比为 的等比数列是有限稳定数列
B．若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列，其公比的取值范围为（0，1）
C．若数列 满足 ，则数列 是有限稳定数列
D．若数列 是有限稳定数列，则数列 是有限稳定数列
【答案】AD
【分析】对A，列出该数列相邻两项差绝对值和式子观察即可；对B，找出该等比数列公
比为1时，也满足有限稳定数列条件，排除即可；对C，取 ，计算该数列是否是
有限稳定数列；对D，数列 是有限稳定数列，则 有界，根据证明即可.
【详解】对A，设 ，
则相邻两项差的绝对值 ，
设 ，
则 ，故该数列是有限稳定数列，A对；
对B，若该等比数列公比为1，则相邻两项差为0，是有限稳定数列，
因此公比的取值范围应为 ，故B错；
对C，取 ，满足 ，
但相邻两项差绝对值和 ，随n增大趋向于无穷大，无界，
因此该数列不是有限稳定数列，C错；
对D， 若数列 是有限稳定数列， 有界，进而 有界，
而 ，
所以 有界，即数列 是有限稳定数列，D对.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某工厂为研究某种产品的产量 （吨）与所需某
种原材料的质量 （吨）的相关性，在生产过程中收集 组对应数据 ，如下表所示．（残差 观测值 预测值）
3 4 5 6
2.5 4 4.5
根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，据此计算出在样本 处
的残差为 ，则表中 的值为__________．
【答案】
【分析】根据残差求得 时的预测值，从而求得 ，再根据样本中心一定在回归直线上
即可得到答案.
【详解】由题意可得 时的预测值为 ，
所以 ，解得 ，即经验回归方程为 ，
又因为 ， ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
13．（2026·山东潍坊·模拟预测）若函数 在区间
有且仅有两个零点，则实数 的最大值为__________.
【答案】
【分析】借助降幂公式与辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦函数性质计
算即可得.
【详解】
，
当 时， ，
由题意可得 ，即 ，故实数 的最大值为 .
故答案为： .
14．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪
（记为 ），点 ， 在 的边上，线段 把草坪分成面积相等的两部分．如
果沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米．
【答案】20
【分析】分别讨论 在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管
的最短长度.
【详解】由 ，可得 是直角三角形，其面积 ，
不妨设 ，
①若 在 上，如图：
设 ，
则有 ，解得 ，
，即 ，
当且仅当 时等号成立；
②若 在 上，如图：
设 ，则有 ，解得 ，
，即 ，
当且仅当 时等号成立；
③若 在 上，如图：
设 ，
则有 ，解得 ，
，即 ，
当且仅当 时等号成立；
因为 ，所以 的最小值为20，即水管的最短长度为20米.
