2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接十二 统计与成对数据的统计分析
--------------■高考命题·解读■-----------------
核心考点
五年考情
考点1.众数、中位数、平均数
及方差的计算
2025·全国二卷 2023·新课标Ⅰ卷 2023·全国乙卷
2021·新高考全国Ⅰ卷 2021·新高考全国Ⅱ卷
2021·全国乙卷
考点2.独立性检验
2025·全国一卷 2024·全国甲卷 2023·全国甲卷
2022·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅰ卷
🎯【命题解读】（考前必看）
统计与成对数据的统计分析作为高考的必考内容，预计以“一小一大”的格局呈现.
（1）小题一般比较简单，出现在选择题或填空题中比较靠前的位置，命题角度主要有：统计数据的分析，
多以统计图表(折线图或柱状图)的形式提供数据，进行数据的特征分析，如均值、方差、最值点及趋势分析等.
（2）解答题属于中档以上题目，题目涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.命题角度主要有三个
方面：一是统计图表与分布列的综合；二是统计数据的数字特征与回归分析、独立性检验等的综合，注重数据
的分析与应用；三是统计图表与函数内容的结合，包括函数解析式的求解与应用等，这有可能重新成为命题的
热点.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 (人教A 版必修第二册P180·T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000 户居民的日用
电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300 户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市
居民用户日用电量的平均数( )
A.一定为5.5 kW·h
B.高于5.5 kW·h C.低于5.5 kW·h
D.约为5.5 kW·h
【教材母题2】(人教A 版必修第二册P184·T1)数据x1，x2，…，xm的平均数为x，数据y1，y2，…，yn的平均数
为y，证明：＝x ＋y.
【教材母题3】(人教A 版必修第二册P188·T6)数据x1，x2，…，xn的平均数为x，数据y1，y2，…，yn的平均数
为y，a，b 为常数.如果满足y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b.证明：y＝ax＋b.
1
【教材母题4】(人教A 版必修第二册P224·T2)四名同学各掷骰子5 次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四
名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6 的是( )
A.平均数为3,中位数为2
B.中位数为3,众数为2
C.平均数为2,方差为2.4
D.中位数为3,方差为2.8
【教材母题5】 (人教A 版必修第二册P215·T2)数据x1,x2,…,xn的方差为sx
2,数据y1,y2,…,yn的方差为s y
2,a,b 为常
数.证明:
（1）如果y1=x1+b,y2=x2+b,…,yn=xn+b,那么s y
2=sx
2;
（2）如果y1=ax1,y2=ax2,…,yn=axn,那么s y
2=a2sx
2.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国二卷）样本数据2，8，14，16，20 的平均数为（ ）
A．8
B．9
C．12
D．18
（2）(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中
yi=xi+c(i=1,2,…,n),c 为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
（3）(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则( )
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
（4）(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为( )
A.0.01 B.0.1
C.1 D.10
2
【教材母题6】 (人教A 版必修第二册P216·T2)甲、乙两台机床同时生产一种零件,在10 天中,两台机床每天
生产的次品数分别为:
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差,从计算结果看,哪台机床的性能更好?
【🚀衔接高考】
（1）(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10 位社
区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的
正确率如图,则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
（2）(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10 次配对试验,每次配对
试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产
品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.
①求z,s2;
②判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z≥2√
s
2
10
,
则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提
高).
3
【教材母题7】(人教A 版必修第二册P197·T1)从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的
用电量都在50～350 kW·h 之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示.
（1）直方图中x 的值为________；
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________.
【教材母题8】(人教A 版必修第二册P204·例3)如表是100 户居民用户的月均用水量数据(单位:t),估计月均用
水量的样本数据的80%和95%分位数.
分组
频数累计
频数
频率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
13
0.13
[10.2,13.2)
9
0.09
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合计
100
1.00
4
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过
大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于c 的人判定为阴性.
此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).
假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c 和误诊率q(c);
（2）设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]上的最小值.
【教材母题9】(人教B 版必修第二册P84·例2)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水
方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100 个家庭的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,1),[1,2),
[2,3),[3,4),[4,5]分成5 组,制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a 的值;
5
（2）设该市有10 万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t 的家庭数;
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
【🚀衔接高考】
（1） (2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调
查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间
（2）(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产
量(单位:kg)并整理得表:
亩产量
[900,950)
[950,1 000)
[1 000,1 050)
频数
6
12
18
亩产量
[1 050,1 100)
[1 100,1 150)
[1 150,1 200)
频数
30
24
10
根据表中数据,下列结论中正确的是( )
A.100 块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100 块稻田中亩产量低于1 100 kg 的稻田所占比例超过80%
C.100 块稻田亩产量的极差介于200 kg 至300 kg 之间
D.100 块稻田亩产量的平均值介于900 kg 至1 000 kg 之间
6
【教材母题10】 (北师大版必修第一册P182T1)下面是2003 年4 月21 日至5 月15 日上午10 时,北京市非典型
性肺炎疫情新增数据走势图.
（1）哪一天新增确诊的人数最多?哪一天新增疑似的人数最多?
（2）哪一天新增治愈的人数最多?哪一天新增死亡的人数最多?
（3）从图中,你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗?
【🚀衔接高考】
(多选)(2020·新高考全国Ⅱ卷)我国新冠疫情防控进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11 天复
工复产指数折线图,下列说法正确的是( )
A.这11 天复工指数和复产指数均逐日增加 B.这11 天期间,复产指数增量大于复工指数的增量
7
C.第3 天至第11 天复工复产指数均超过80% D.第9 天至第11 天复产指数增量大于复工指数的增量
【教材母题11】 (湘教版选择性必修第二册P185 例4)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据,
见表1,试建立转化率y 关于反应时间x 的回归方程(回归系数保留三位小数).
表1
时间x
/min
60
80
100
120
140
150
160
170
转化率
y/%
6.13
9.99
15.02
20.92
31.11
38.85
47.25
55.05
【🚀衔接高考】
（1） (2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位:℃)的关系,在20 个
不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是(
)
A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x
（2）（2025·上海高考）2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子
米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会
男子
米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率；
（3）若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为
，年份x 的平均数为2006，预测2028 年冠军队的成
绩（精确到0.01 秒）．
8
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读】通过阅读《拓展阅读——相关系数与向量夹角的余弦》(人教B 版选择性必修第二册P111),可从中提
炼出如下结论:相关系数r 可表示为两个向量夹角的余弦.
【🚀衔接高考】
（1）(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积
量,随机选取了10 棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i
根部横截面积xi
材积量yi
1
0.04
0.25
2
0.06
0.40
3
0.04
0.22
4
0.08
0.54
5
0.08
0.51
6
0.05
0.34
7
0.05
0.36
8
0.07
0.46
9
0.07
0.42
10
0.06
0.40
总和
0.6
3.9
并计算得
10
∑
i=1
xi
2=0.038,
10
∑
i=1
yi
2=1.615 8,
10
∑
i=1
xiyi=0.247 4.
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
③现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的
材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
n
∑
i=1
( xi−x)
2n
∑
i=1
( yi−y)
2
,√1.896≈1.377.
9
（2）(2020·全国Ⅱ卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种
野生动物的数量,将其分成面积相近的200 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20 个作为样区,调查
得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数
量,并计算得
20
∑
i=1
xi=60,
20
∑
i=1
yi=1 200,
20
∑
i=1
(xi-x)2=80,
20
∑
i=1
(yi-y)2=9 000,
20
∑
i=1
(xi-x)(yi-y)=800.
①求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地
块数);
②求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
③根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准
确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数r=
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
n
∑
i=1
( xi−x)
2n
∑
i=1
( yi−y)
2
,√2≈1.414.
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】(人教A 版必修第二册P206)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的
形态有关.在图中的三种分布形态中,平均数和中位数的大小存在什么关系?
10
【探究2】(人教B 版选择性必修第二册P106)假设y 与x 具有相关关系,而且回归直线方程为^y=^bx+^a,完成下列
任务:
（1）将^a=y-^b x代入回归直线方程,并求出x=x时^y的值;
（2）判断一次函数^y=^bx+^a的单调性由谁决定,指出函数的单调性与正相关、负相关之间的联系;
（3）通过计算说明,当x 每增大一个单位时,^y将如何变化,并总结出这一结论的实际意义.
【探究3】(人教A 版必修第二册P218T11 拓展)分层随机抽样的平均数和方差公式:已知总体划分为3 层,通过分
层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:l,x,s1
2;m,y,s2
2;n,z,s3
2.记总的样本平均数为w,样本
方差为s2,证明:
（1）w=
l
l+m+n x+
m
l+m+n y+
n
l+m+n z;
（2）s2=
1
l+m+n{l[s1
2+(x-w)2]+m[s2
2+(y-w)2]+n[s3
2+(z-w)2]}.
【🚀新题预测】
(2026·湖南长沙模拟)树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150 分)的统计数据如表:
性别
参加考试人数
平均成绩
标准差
男
30
100
16
女
20
90
19
在按比例分配分层随机抽样中,已知总体划分为2 层,把第一层样本记为x1,x2,x3,…,xn,其平均数记为x,方差记为s1
2;
把第二层样本记为y1,y2,y3,…,ym,其平均数记为y,方差记为s2
2;把总样本数据的平均数记为z,方差记为s2.
（1）证明:s2=
1
m+n{n[s1
2+(x-z)2]+m[s2
2+(y-z)2]};
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
11
（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N(μ,σ2),以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ
和σ 的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A,B,C,D 四个等级,试确定
各等级的分数线(精确到1).
附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,√302≈17,√322≈18,√352≈19.
【探究4】(人教A 版选择性必修第三册P129 讲解拓展)独立性检验中统计量χ2公式:χ2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
.
【🚀衔接高考】
（2025·全国一卷）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000 人，
得到如下列联表：
超声波检查结果组别
正
常
不正常
合计
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P 的估计值；
（2）根据小概率值
的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附
，
0.005
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
12
13
