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主讲人-乘风老师
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一.十字交叉法
应用场景：比值混合问题
什么是混合？混合即是相加(分子分母都满足A+B=C)
例：将100克50%浓度的盐水和200克20%浓度的盐水，混合在一起，混合
后的浓度为多少？
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l
十字交叉法的知三求一
在十字交叉中，会涉及到四个量：①②混合前的比值,③混合后的比值，④混合前
比值中分母的比值，知道其中的任意三个量可求剩下的一个量
推导：
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•
数量关系中可能涉及到十字交叉的题型
1.溶液问题
2.平均数问题
3.增长率问题
4.折扣问题
5.工程问题
6.行程问题
7.利率问题
8.倍数问题
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1.有一瓶浓度为15%的盐水500克，每次加入34克浓度为60%的盐水，则至少
加 次该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。
A.6
B.7
C.8
D.9
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2.实验室有浓度分别为25%、15%的盐水共1000克，分别倒出一部分，倒出的盐水混
合后浓度为19%；之后将剩余盐水混合，得到550克浓度为21%的盐水，问原来浓度
为15%的盐水质量比浓度为25%的少：
A.10克
B.20克
C.100克
D.200克
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3.甲乙两队举行智力抢答比赛，两队平均得分为92分，其中甲队平均得分为88分，
乙队平均得分为94分，则甲乙两队人数之和可能是:
A.20
B.21
C.23
D.25
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4.某高校本年度毕业学生3060名，比上年度增长2%。其中本科生毕业数量比上年度
减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校本年度本科生毕业
数量是：
A.1900人
B.1930人
C.1960人
D.1990人
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5.沈阳某公司欲派出18人的考察团到深圳观摩学习，向机票代理商团购机票，商务
舱定价为1600元/张，经济舱定价为880元/张。由于买的数量较多，代理商给予优
惠，商务舱按定价的9折优惠，经济舱按6折优惠，结果付的钱比按定价少32%，他
们一共买了( )商务舱机票。
A.2张
B.3张
C.4张
D.5张
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6.企业年初为甲、乙和丙三个研发团队分配总计1亿元的研发预算，其中甲团队分
配的预算是乙团队的1.5倍。但全年甲、乙、丙团队实际使用研发资金分别为其预
算额的1.1倍、1.6倍和1.8倍，实际使用研发资金1.4亿元。问实际使用资金最多和
最少的团队，实际使用资金相差多少万元？（ ）
A.1440
B.1520
C.1600
D.1680
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7.甲、乙、丙三家科技企业2021年的收入之和比2020年提升了20%。其中甲企业的
收入上升了400万元，乙企业的收入下降了100万元且是甲企业收入的一半，丙企业
的收入上升了30%且其2020年的收入与甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020年
甲企业的收入比乙企业高多少万元？
A.900
B.1100
C.400
D.600
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8.汽车在平直的公路上运动，它先以速度V行驶了2/5的路程，接着以30km/h的速度
驶完余下的3/5路程，若全程平均速度是40km/h，则V是多少？
A.60km/h
B.70km/h
C.80km/h
D.90km/h
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二.牛吃草问题
题型识别：原有一片草地，草在不断生长，有若干头牛吃草，N头牛T天
吃完
公式：设原有草量为Y，牛吃草的速度为N，草生长的速度为X，草吃光
的时间为T，则满足：Y=（N-X）*T
推导：
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1.有一块草地，可供10头牛吃8天，可供8头牛吃12天，那么可供6头牛吃几天？
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2.有一块草地，可供10头牛吃8天，可供8头牛吃12天，那么可供6头牛吃几天？
列表法：
N
N-X
T
N*T
注：N*T的差÷T的差即为草生长的速度
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• 牛吃草问题的本质（变形）
本质：原来有一个量，有一个变量使这个量增加，另一个变量使这个量减少
思考：原来有一个量，有一个变量使这个量减少，另一个变量也使这个量减少，这
样的情况能不能用牛吃草求解？
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3.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票
到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
A.10
B.12
C.15
D.18
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4.某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机
向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水20立方米，若同时使用2台抽水机15分钟能
把水抽完，若同时使用3台抽水机9分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该
轮船已进水（ ）立方米。
A.360
B.450
C.540
D.600
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5.由于天气逐渐变冷，庄园里的蔬菜每天以均匀的速度减少。经计算，庄园里的蔬
菜可供20个大人吃5天，或供32个小孩吃6天。如果大人每天吃的蔬菜是小孩的2倍，
那么可供11个大人吃几天？
A.12
B.10
C.8
D.6
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6.某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有定量的自然损
耗，如果提货方每天运走1.5吨产品，则50天运完；如果提货方每天运走2吨产品，
则40天运完。那么这批农副产品有多少吨?
A.75
B.80
C.100
D.110
