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培优冲刺 03 导数压轴小题归类
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题型一：切线条数................................................................................................................................................................1
题型二：公切线....................................................................................................................................................................2
题型三：切线逼近型............................................................................................................................................................2
题型四：“切线法”数学思想............................................................................................................................................3
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型............................................................................................................4
题型六：多参：构造单变量型............................................................................................................................................4
题型七：同构求参................................................................................................................................................................5
题型八：极值型求参............................................................................................................................................................5
题型九：零点型求参............................................................................................................................................................6
题型十：三个零点型求参....................................................................................................................................................6
题型十一：多参：凸凹反转型............................................................................................................................................7
题型十二：三角函数型........................................................................................................................................................7
题型一：切线条数
应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，点 为平面内一点，则下列说法错误的是
（ ）
A．当 ， 时，过点 可作曲线 的三条切线
B．当 ， 时，过点 可作曲线 的三条切线
C．若过点 不能作曲线 的切线，则 ，
D．若过点 可作曲线 的两条切线，则 ，
2.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 ，过点 作 的切线 ，若 （），则直线 的条数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数 ，过点 作函数 的两条切线 ，切点分别为 ，下列关
于直线 斜率 的正负，说法正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
4.若过点 可作函数 图象的两条切线，则必有（ ）
A． B．
C． D．
题型二：公切线
1.若直线 与曲线 相切，直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B．1 C．e D．
2.已知函数 ，若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知两条不同的直线与曲线 都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4.若曲线 与曲线 有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
题型三：切线逼近型
1.已知函数 的图象与函数 的图象有且仅有两个不同的交点，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．2.已知函数 ，若函数 有4个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3.若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数 ，对于定义域内的任意 恒有 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：“切线法”数学思想
式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，常用方法有：
（1）换元法；
（2）函数单调性法；
（3）复合函数法；
（4）数形结合；
（5）导数法；
（6）基本不等式.
1.已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
2.已知实数 满足 ，其中 是自然对数的底数，则 的最小值为
A． B． C． D．
3.若 ＝ ＝1，则(x－x)2＋(y－y)2的最小值为（ ）
1 2 1 2
A． B．
C． D． e4＋5e2＋54.已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1.已知函数 ，若 恒成立，则 的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
2.已知正数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
3.已知 ， 为实数， ， ，若 恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4.已知m，n为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型六：多参：构造单变量型
1.已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．33.若实数 满足 ，则 （ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
4.已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型七：同构求参
1.已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知关于x的不等式 在 上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
3.已知不等式 对 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知关于 的不等式 恒成立，其中 为自然对数的底数， ，则（ ）
A． 既有最小值，也有最大值 B． 有最小值，没有最大值
C． 有最大值，没有最小值 D． 既没有最小值，也没有最大值
题型八：极值型求参
可导函数 在点 处取得极值的充要条件是 ，且在 左侧与右侧
的符号不同。函数的极值点通常转化为其导数的零点问题，进而可转化为两个
函数的焦点个数问题，可进一步求导结合单调性画出大致图像，数形结合分析
参数范围。
1.已知函数 存在极小值点 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.若函数 有两个极值点 ，且 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． 的范围是C． D．
3.已知函数 有两个极值点 、 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数 ，若 存在两个极值点 ， ，当 取得最
小值时，实数 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型九：零点型求参
解决函数零点问题时通常可以采用参变分离，将问题转化为两个简单函数的交点问题，借助导数确定函数
的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可解决；有时也可借助单调性及函数零点存在定理加以解决.
利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确
定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通
过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想
研究；③构造辅助函数研究.
1.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，若方程
有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.函数 有两个零点 ，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集中，有
且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4.若函数 存在零点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
题型十：三个零点型求参
处理多变量函数值域问题的方法有：
（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.
（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方
法时要关注代数式和积关系的转化.
（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线
性规划来处理.
1.已知方程 有4个不同的实数根，分别记为 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数 ，（ ）的三个零点分别为 ， ， ，其中 ，
的取值范围为（）
A． B．
C． D．
3.已知函数 的三个零点分别为 ，其中 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数 有三个零点 、 、 且 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：多参：凸凹反转型
1.已知正数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
2.已知大于1的正数 ， 满足 ，则正整数 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．113.已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A． B． C． D．
4.）已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A． B． C． D．
题型十二：三角函数型
1.已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2.函数 的图象与函数 图象的所有交点的横坐标之和为
___________.
3.已知函数 ，则 _____；若直线 （ ）与函数
的图象有交点，则 的取值范围为______.
4..函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
