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专题2-5 函数导数压轴小题归类
目录
题型01 整数解型..................................................................................................................................................................1
题型02 函数零点构造型....................................................................................................................................................2
题型03 同构: 方程零点型同构...........................................................................................................................................3
题型04 同构: 不等式型同构求参.......................................................................................................................................4
题型05 恒成立求参：移项讨论型......................................................................................................................................5
题型06 恒成立求参：虚设零点型......................................................................................................................................5
题型07 “倍缩”型函数求参数.............................................................................................................................................6
题型08 恒成立求参：“等式”型......................................................................................................................................7
题型09 双变量型不等式范围最值......................................................................................................................................8
题型10 双变量型：凸凹反转型..........................................................................................................................................9
题型11 多参型：代换型.....................................................................................................................................................10
题型12 多参型：二次构造放缩型....................................................................................................................................10
题型13 多参型：韦达定理求参型....................................................................................................................................11
题型14 多参型：单峰函数绝对值型................................................................................................................................12
题型15 导数与三角函数....................................................................................................................................................12
高考练场.............................................................................................................................................................................. 13
题型01 整数解型
【解题攻略】
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参
数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过
导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、
方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合
的思想找到解题的思路.
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数
，
，若对任意的
，
存在实数
满足
，使得
，则
的最大值是
A．3
B．2
C．4
D．5
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数
在区间
内存在极值点，
且
恰好有唯一整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】在关于
的不等式
（其中
为自然对数的底数）的
解集中，有且仅有两个大于2 的整数，则实数
的取值范围为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022 学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知
偶函数
满足
，且当
时，
，若关于x 的不等式
在
上有且只有150 个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数
，若关于
的
不等式
恰有两个整数解，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型02 函数零点构造型
【解题攻略】
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点
，
关于直线
对称，则
；
②若
的图象关于直线
对称，则
；
③若
，则
的图象关于直线
对称；
④若
，则
的图象关于点
对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数
，若实数
互不相等，且
，则
的取值范围为______．
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数
，若实数
满足
，
，则
的取值范围为___________ .
2
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【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数
，
，若
，
其中
，则
的取值范围是______.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数
已知
，且
，若
的最小值为
，则a 的值为___________．
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数
，
，若方程
有4 个
不同的实根
，
，
，
，则
的取值范围是______．
题型03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通
过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现
与
，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破
口。
如
变形得到
，从而构造
进行求解.
常见同构：
①
；
②
；
③
④
；
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m 是方程
的一个根，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若方程
在
上有实根，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知
是方程
的一个根，则
（ ）
3
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A．
B．
C．2
D．3
【变式1-2】（2023 上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知
且
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023 上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
题型04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x 的不等式
在
上恒成立，则正数m 的最大值为（ ）
A．
B．0
C．e
D．1
【典例1-2】（2020 上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式
对
恒成立，则实
数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 下·河南·高三校联考阶段练习）若关于
的不等式
在
上恒
4
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成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022 上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于
的不等式
恒成立，其中为
自然对数的底数，
，则（ ）
A．
既有最小值，也有最大值
B．
有最小值，没有最大值
C．
有最大值，没有最小值
D．
既没有最小值，也没有最大值
【变式1-3】（2022 上·安徽亳州·高三统考期末）已知
，若
时，
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
一般地，已知函数
，
（1）若
，
，有
成立，故
；
（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
（4）若
，
，有
成立，故
；
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意
，不等式
恒成立，则
实数a 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知
，且
时，
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
，
，若
有最
小值，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022 上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当
时，不等式
有解，则实数
m 的范围为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
题型06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种
整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式
子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无
关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变
量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为
止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023 学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等
式
对
恒成立，则
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023 学年高三上学期10 月月考数学试题）若关于
的
不等式
对一切正实数
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】设实数
，若对任意
，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】若对任意
，不等式
恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
如果函数
在定义域的某个区间
（
）上的值域恰为
（
），则称函数
为
上的k 倍域函数，
称为函数
的一个k 倍域区间．
6
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把函数
存在区间
，使得函数
为
上的
倍域函数，结合函数的单调性，转化为
是解答的关键.
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019 届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若
满足条件：存在
，使
在
上的值域为
，则称
为“倍缩函数” .若函数
为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021 学年高三3 月数学试题）设函数
的定义域为
，
若函数
满足条件：存在
，使
在
上的值域是
，则
称为“倍缩函数”，若
函数
为“倍缩函数”，则实数的取值范围是________.
【变式1-1】（2020 年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数
的定义域为D，若满足条件：存
在
，使
在
上的值域为
，则称
为“倍胀函数”.若函数
为“倍胀
函数”，则实数t 的取值范围是________.
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022 学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数
的定义域为
，若存在
，使得
在区间
上的值域为
，则称
为“
倍函
数”.已知函数
为“3 倍函数”，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022 吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数
的定义域为
，若满足条件：存在
，使
在
上的值域为
（
且
），则称
为“
倍函数”，若函数
为“3 倍函数”，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
一般地，已知函数
，
7
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若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集．
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数
，
，若
，使得
，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知
，
是函数
的两个极值点，
且
，当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数
，
，其中
．若对任意的正实数
，
，不等式
恒成立，则a 的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．e
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数
，
，若
，
使得
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学2020-2021 学年高三数学试题）已知函数
，
，对任意的
，总存在
使得
成立，则
a 的范围为_________．
题型09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
一般地，已知函数
，
不等关系
(1)若
，
，总有
成立，故
；
(2)若
，
，有
成立，故
；
8
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(3)若
，
，有
成立，故
；
(4) 若
，
，有
成立，故
．
【典例1-1】（2023 下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数
有两
个零点
，且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
有极小值点
【典例1-2】（2023 下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数
，若
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2019 下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数
，
，曲线
上总存在两点
，
，使曲线
在
两点处的切线互
相平行，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2019 下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x
2
﹣lnx+a＝0 存在两个不相等的实数根x1和
x2，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2021 上·高三单元测试）已知直线
分别与函数
和
的图象交于点
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。
9
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【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1 的两个实数a，b 满足
，则正整数n 的最大
值为（ ）．
A．7
B．9
C．11
D．12
【典例1-2】（2023 上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式1-1】.已知实数
，
满足
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2021-2022 学年高三上学期10 月联考数
学试题）已知函数
有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 多参型：代换型
【解题攻略】
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：
，可用
两边同除
，
令
整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数
，对于正实数a，若关于t 的方程
恰有三个不同的正实数根，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数
恒成立，则实数
的取值范围是_________
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数
，（a,b,c 为实数且
）的导数为
，记
，若对任意
，不等式
恒成立，则
的最大值
为____________
10
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【变式1-2】已知存在
，若要使等式
成立（e=2.71828…），则
实数
的可能的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【变式1-3】（江苏省扬州中学2022-2023 学年高三考试 数学）若正实数
满足
，则函数
的零点的最大值为______.
题型12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数
求
出相应函数的最值
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于
的不等式
恒成立，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知为自然对数的底数，
为实数，且不等式
对任意的
恒成立.则当
取最大值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设
，
，若关于
的不等式
在
上恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数
，若
时，
恒有
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
11
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【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知
，
，关于
的不等式
无实数解，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023 上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数
既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2023 上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数
既
有极大值也有极小值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数
有两个极值点
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知
在
上恰有两个极值点
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数
的两个极值点分别是
，则下
列结论正确的是（ ）
A．
或
B．
C．存在实数a，使得
D．
题型14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020 学年高三数学试题）若存在实数
，对任意实数
，使不等式
恒成立，则实数
的取值范围为________.
12
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【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020 学年高三1 月（一卷）数学（理）试题）设函数
，若对任意的实数
和
，总存在
，使得
，则实数
的最大值
为__________．
【变式1-1】设函数
，若对任意的实数
，总存在
使得
成立，则实
数
的取值范围是________．
【变式1-2】若
，
，
，对任意
，总存在唯一的
，使得
成立，则实数a 的取值范围____________．
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022 学年高三适应性测试一模数学试题）设函数
.
若
在
上的最大值为2，则实数a 所有可能的取值组成的集合是________.
题型15 导数与三角函数
【典例1-1】函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知函数
，若对于任意的
，均有
成立，则实数a 的最小值为
A．
B．1
C．
D．3
【变式1-1】函数
的图象与函数
图象的所有交点的横坐标之和
为___________.
【变式1-2】已知
，且
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知函数
，若f(x)在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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高考练场
1.（黑龙江省实验校2020 届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数
在区间
内存在极值点，且
恰好有唯一整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数
，
，若
，
，
则
的最小值为___________.
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
4.（2021·广东深圳·高三练习）设
，若存在正实数
，使得不等式
成立，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2021 下·四川眉山··高三练习）若
，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023 学年高三上学期10 月学情调研测试数学试题）当
时，不等式
有解，则实数m 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（陕西省汉中中学2022 高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在
，使
在
上的值域为
，则称
为“倍缩函数”.若函数
为“倍缩函
数”，则实数t 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8. （湖北省十堰市东风高级中学2021-2022 学年高三数学试题）已知
，
，若存在
，
，使得
成立，则实数
的取值范围
是______.
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9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若
，令
，则的最小值属于（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数
，若
有两个零点
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11.（四川省泸县第五中学2021-2022 学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y 使等式
成立，（其中
）则实数m 的取值范围是________.
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知
，
，对于
，
恒成立，
则
的最小值为（ ）
A．
B．－1
C．
D．－2
13.（2022 下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知
，
是函数
的两个极值点，
且
，当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数
，
，
，若对任意的实数
，
，总存在实数
，使得不等式
成立，则
的最大值是_______．
15.已知函数
．若关于x 的不等式
的解集为
，则实数a 的取
值范围为___________．
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